PAGEPAGE12函數的奇偶性基礎過關練題組一函數奇偶性的概念及圖象特征1.對于定義域是R的任意奇函數f(x),下列結論正確的是()A.f(x)-f(-x)>0B.f(x)-f(-x)≤0C.f(x)·f(-x)≤0D.f(x)·f(-x)>02.(多選)下列說法中正確的有 ()A.圖象關于原點成中心對稱的函數一定是奇函數B.奇函數的圖象一定經過原點C.若偶函數的圖象不經過原點,則它與x軸交點的個數一定是偶數D.圖象關于y軸成軸對稱的函數一定是偶函數3.若y=f(x)(x∈R)是奇函數,則下列坐標表示的點一定在y=f(x)圖象上的是 ()A.(a,-f(a))B.(-a,-f(a))C.(-a,-f(-a))D.(a,f(-a))4.(2021江蘇南通如東高一上期中)函數f(x)=-4x2+1題組二函數奇偶性的判斷5.已知f(x)=x4,則f(x)()A.是奇函數B.是偶函數C.既不是奇函數又不是偶函數D.既是奇函數又是偶函數6.(2021江蘇蘇州外國語學校高一月考)下列函數中,既是奇函數又是增函數的為 ()A.y=x2B.y=x5+1C.y=1xD.y=x7.若函數f(x)=1,x>0,-1,A.是偶函數B.是奇函數C.既是奇函數又是偶函數D.既不是奇函數又不是偶函數8.判斷下列函數的奇偶性:(1)f(x)=xx(2)f(x)=x2(3)f(x)=2x(4)f(x)=x題組三函數奇偶性的應用9.(2021江蘇常州第二中學高一月考)已知f(x)為偶函數,當x>0時,f(x)=2x-3,則當x<0時,f(x)= ()A.-2x-3B.2x+3C.-2x+3D.2x-310.(2021江蘇南通海門中學高一月考)若函數f(x)=x(2x+1)(x-aA.1211.函數f(x)為定義在R上的奇函數,當x≥0時,f(x)=4x+m,則f-12= (A.1B.-2C.-1D.-312.(2021山東壽光一中高一月考)設偶函數f(x)的定義域為[-5,5],當x∈[0,5]時,f(x)的圖象如圖所示,則不等式f(x)<0的解集是 ()A.(2,5)B.(-5,-2)∪(2,5)C.(-2,0)∪(2,5)D.(-5,0)∪(2,5)13.(2020江蘇南通西亭高級中學高一月考)已知定義在實數集R上的偶函數f(x)在區間[0,+∞)上是增函數,若f(1-a)<f(2),則實數a的取值范圍是 ()A.-1<a<3B.a<-1或a>3C.-3<a<1D.a<-3或a>1能力提升練題組一函數奇偶性的概念及圖象特征1.(多選)()若f(x)為R上的奇函數,則下列四個說法正確的是 ()A.f(x)+f(-x)=0B.f(x)-f(-x)=2f(x)C.f(x)·f(-x)<0D.f(2.(2020山東青島二中高一上期中,)函數f(x)=1-x2x3題組二函數奇偶性的判斷3.()函數y=f(x)與y=g(x)有相同的定義域,且對定義域中的任意x,有f(x)+f(-x)=0,g(x)g(-x)=1,g(0)=1,則F(x)=2f(x)g(x)-1A.是奇函數B.是偶函數C.既是奇函數又是偶函數D.既不是奇函數又不是偶函數4.(2020黑龍江哈三中高一上第一次階段性驗收,)下列函數是偶函數的是 ()A.f(x)=x3-1xB.f(x)=1C.f(x)=(x-1)1+xD.f(x)=|2x+5|+|2x-5|5.(多選)(2021山東省實驗中學高一上期中,)設函數f(x)的定義域為(-1,1),且滿足①x∈(-1,0)時,f(x)>0;②f(x)+f(y)=fx+y1+xy,x,y∈(-1,1).下列說法正確的是A.f(x)是奇函數B.f(x)是偶函數C.f(x)在定義域上是減函數D.f(x)在定義域上是增函數題組三函數奇偶性的綜合應用6.(2020山西大學附屬中學校高一月考,)若函數f(x)=x3+2x2+3x,x≥0,xA.2,3B.-2,3C.-2,-3D.2,-37.(2020江蘇常州高一期中,)若函數f(x)=(x-3)·(ax-b)為偶函數,且在(0,+∞)上單調遞增,則f(2-x)>0的解集為 ()A.{x|-2<x<2}B.{x|x>5或x<-1}C.{x|0<x<4}D.{x|x>4或x<0}8.(多選)(2021江蘇太倉高級中學高一月考,)已知函數f(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數,當x∈(-∞,0)時,f(x)=x-1,若f(a)f(-a)=4,則實數a的值可以為 ()A.-3B.-1C.1D.39.(2020江蘇蘇州木瀆高級中學高一期末,)已知函數f(x+1)是偶函數,當x1,x2∈(1,+∞)時,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)>0恒成立,設a=f-12,b=f(2),c=f(3),則a,b,c的大小關系為 (A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<b<c10.(多選)(2021江蘇蘇州外國語學校高一上檢測,)已知函數y=f(x-1)的圖象關于直線x=1對稱,且對y=f(x),x∈R,當x1,x2∈(-∞,0]時,f(x2)-f(x1)x2-x1<0成立,若f(2ax)<f(2x2A.-2B.-1C.1D.211.(多選)(2020江蘇如皋第一中學高一期中,)函數f(x)對任意x,y∈R,總有f(x+y)=f(x)+f(y),當x<0時,f(x)<0,f(1)=13,則下列命題正確的是 ()A.f(x)是R上的減函數B.f(x)在[-6,6]上的最小值為-2C.f(x)是奇函數D.若f(x)+f(x-3)≥-1,則實數x的取值范圍為[0,+∞)12.(2020江蘇海安高級中學高一期中,)設函數f(x)=-1,-2≤x≤0,x-1,0<x≤2.若函數g(x)=f(x13.(2020山東泰安第一中學高一期末,)設函數f(x)=x2+|x-a|,a為常數.(1)若f(x)為偶函數,求a的值;(2)設a>0,g(x)=f(x)x,x∈(0,a]為減函數,14.()設函數f(x)=x2-2|x-a|+3,x∈R,a∈R.(1)王鵬同學認為,無論a取何值,f(x)都不可能是奇函數,你同意他的觀點嗎?請說明你的理由;(2)若f(x)是偶函數,求a的值;(3)在(2)的情況下,畫出y=f(x)的圖象并指出其單調遞增區間.15.(2020江蘇揚州中學高一上期中,)已知函數f(x)=x2+2|x-a|-4(其中a為實數).(1)若a=2,結合圖象寫出函數f(x)的單調遞增區間;(2)判斷函數f(x)的奇偶性,并說明理由;(3)若對任意實數x,不等式f(x)≥-1恒成立,求實數a的取值范圍.答案全解全析5.4函數的奇偶性基礎過關練1.C顯然A,B不正確.對任意奇函數f(x),有f(-x)=-f(x),則f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0,故C正確,D不正確.2.ACD由奇、偶函數的圖象特征易知A,C,D正確.故選ACD.3.B∵y=f(x)為奇函數,∴f(-a)=-f(a),∴點(-a,-f(a))一定在函數y=f(x)的圖象上.4.D函數f(x)的定義域為{x|x≠0},關于原點對稱,且f(-x)=f(x),所以f(x)=-4x2+12x45.B函數f(x)的定義域為R,關于原點對稱,f(-x)=(-x)4=x4=f(x),所以f(x)為偶函數.故選B.6.Dy=x2是偶函數,故A錯誤;y=x5+1既不是奇函數又不是偶函數,故B錯誤;y=1x在(-∞,0),(0,+∞)上是減函數,故C錯誤y=x3既是奇函數又是增函數,故D正確.故選D.7.B作出函數f(x)的圖象,如圖所示,可以看出該圖象關于原點對稱,故f(x)為奇函數.8.解析(1)f(x)=xx-1的定義域為(-∞,1)∪∴f(x)=xx-(2)依題意得x2-1≥0且1-x2≥0,則x2-1=0,解得x=±1.∴函數f(x)的定義域為{-1,1},關于原點對稱,且f(x)=0,∴f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),∴f(x)既是奇函數又是偶函數.(3)函數f(x)的定義域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不關于原點對稱,∴f(x)既不是奇函數又不是偶函數.(4)易知函數f(x)的定義域D=(-∞,0)∪(0,+∞),關于原點對稱.任取x∈D,當x>0時,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);當x<0時,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x).∴函數f(x)為奇函數.9.A當x<0時,-x>0,所以f(-x)=-2x-3,又f(x)為偶函數,所以f(-x)=f(x),所以f(x)=-2x-3(x<0).故選A.10.A∵函數f(x)為奇函數,∴f(-x)=-f(x),∴-x∴(-2x+1)(-x-a)=(2x+1)(x-a),∴(2a-1)x=0,∴a=12.故選11.C由函數f(x)為定義在R上的奇函數,得f(0)=0,即40+m=0,解得m=-1,所以f(x)=4x-1(x≥0).所以f12=所以f-12=-f12.B由題圖知,當x∈[0,5]時,不等式f(x)<0的解集是(2,5),又f(x)為偶函數,所以當x∈[-5,0)時,不等式f(x)<0的解集是(-5,-2),所以f(x)<0的解集是(-5,-2)∪(2,5).故選B.13.A因為f(x)是定義在實數集R上的偶函數,且f(1-a)<f(2),所以f(|1-a|)<f(2).因為函數f(x)在區間[0,+∞)上是增函數,所以|1-a|<2,解得-1<a<3.故選A.能力提升練1.AB∵f(x)在R上為奇函數,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0,故A正確;f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x),故B正確;當x=0時,f(x)·f(-x)=0,故C不正確;當x=0時,f(x)f(-x)的分母為2.A函數f(x)的定義域為{x|x≠0},關于原點對稱,且f(-x)=-1-x2x3=-f(x),所以f(x)為奇函數,其圖象關于原點對稱,故排除B,C.當x>1時,f(x)<0,當0<x<1時,f(x)>0,3.B由已知得g(x)≠1,所以在F(x)中,x≠0.F(-x)=2f(-x)g(-x)-1+f(-x)=-2g(x)f(x)1-g(x)-f(x)=24.D在選項A中,f(x)=x3-1x的定義域為{x|x≠0},關于原點對稱,且f(-x)=-x3+1x=-f(x),所以f(x)是奇函數;在選項B中,f(x)=1-x2|x-2|-2=1-x2-x(-1≤x≤1,x≠0),且f(-x)=1-x2x=-f(x),所以f(x)是奇函數;在選項C中,f(x)=(x-1)·1+x1-x的定義域為{x|-1≤x<1},不關于原點對稱,所以f(x)既不是奇函數又不是偶函數;在選項D中,f(x)=|2x+5|+|2x-5|(x∈R),且5.AC令x=y=0,則f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0,令y=-x,則f(x)+f(-x)=f(0)=0,又因為x∈(-1,1),關于原點對稱,所以f(x)為奇函數,故A正確,B錯誤;任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=fx1因為-1<x1<x2<0,所以x1-x2<0,0<x1x2<1,1+x1>0,1-x2>0,所以1-x1x2>0,所以x1-x21-x所以-1<x1由條件①得fx1所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(-1,0)上單調遞減,因為f(x)為奇函數,所以f(x)在(-1,1)上單調遞減,故C正確,D錯誤.故選AC.6.B∵f(x)為奇函數,∴f(-x)=-f(x).當x<0時,-x>0,則(-x)3+2(-x)2+3(-x)=-x3-ax2-bx,即-x3+2x2-3x=-x3-ax2-bx,∴a=-2,b=3.故選B.7.B∵f(x)=(x-3)(ax-b)=ax2-(3a+b)x+3b為偶函數,∴f(-x)=ax2+(3a+b)x+3b=ax2-(3a+b)x+3b,∴3a+b=0,即b=-3a,∴f(x)=(x-3)(ax+3a)=a(x-3)(x+3)=ax2-9a,∵f(x)在(0,+∞)上單調遞增,∴a>0,∵f(2-x)=a(-x-1)(5-x)>0,∴(x+1)(x-5)>0,解得x<-1或x>5,∴不等式的解集為{x|x<-1或x>5}.故選B.8.BC由題意可分兩種情況討論:①當a>0時,f(a)f(-a)=[f(-a)]2=(-a-1)2=4,解得a=1或a=-3(舍去);②當a<0時,f(a)f(-a)=[f(a)]2=(a-1)2=4,解得a=-1或a=3(舍去).綜上,a的值為-1或1.故選BC.9.A因為x1,x2∈(1,+∞),[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)>0恒成立,所以函數f(x)在區間(1,+∞)上單調遞增.由于函數f(x+1)是偶函數,所以函數f(x+1)的圖象關于y軸對稱,所以函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱,所以a=f-1因為2<52<3,函數f(x)在區間(1,+∞)上單調遞增所以f(2)<f52<f(3),即b<a<c,故選10.BC因為函數y=f(x-1)的圖象關于直線x=1對稱,所以函數y=f(x)的圖象關于直線x=0(即y軸)對稱,所以函數f(x)是偶函數.又當x1,x2∈(-∞,0]時,f(x2)-f(x1)x2-x1<0成立,所以函數f(x因為f(2ax)<f(2x2+1)對任意的x∈R恒成立,所以|2ax|<|2x2+1|對任意的x∈R恒成立.當x=0時,不等式化為0<1,恒成立;當x≠0時,不等式化為|a|<|2x2+1||2x|=x+12x,又|2x2+1||2x|=|x故選BC.11.BCD令x=y=0,則f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0,令y=-x,則f(0)=f(x)+f(-x),即-f(x)=f(-x),易知f(x)的定義域為R,關于原點對稱,所以函數f(x)是奇函數,C正確;任取x1,x2∈R,且x1<x2,則x1-x2<0,因為當x<0時,f(x)<0,所以f(x1-x2)<0,則f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函數f(x)是R上的增函數,A錯誤;因為函數f(x)是R上的增函數,所以函數f(x)在[-6,6]上的最小值為f(-6),易得f(-6)=f(-3)+f(-3)=2f(-3)=-2f(3),f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3×13=1,故f(-6)=-2,所以f(x)在[-6,6]上的最小值為-2,B正確由f(x)+f(x-3)≥-1,得f(2x-3)≥f(-3),因為函數f(x)是R上的增函數,所以2x-3≥-3,解得x≥0,故實數x的取值范圍為[0,+∞),D正確.故選BCD.12.答案1解析∵函數g(x)=f(x)-ax,x∈[-2,2]為偶函數,∴g(2)=g(-2),∴f(2)-2a=f(-2)+2a,∴1-2a=-1+2a,∴a=12當a=12時,g(x)=f(x)-1=-檢驗,當x∈(0,2]時,-x∈[-2,0),g(-x)=-1-12(-x)=-1+12x=g(x),滿足g(x)13.解析(1)因為f(x)為偶函數,且x∈R,所以f(-x)=f(x),即(-x)2+|-x-a|=x2+|x-a|,即|-x-a|=|x-a|,即|-x-a|2=|x-a|2,所以4ax=0對一切x∈R恒成立,所以a=0.(2)因為a>0,且x∈(0,a],所以g(x)=f(x在(0,a]上任取x1,x2且滿足0<x1<x2≤a,則g(x1)-g(x2)=x1+a=x1-x2+a(因為0<x1<x2≤a,所以x1-x2<0,0<x1x2<a2,又g(x)在區間(0,a]上為減函數,所以x1x2-a<0,即a>x1x2,所以a≥a2,又a>0,所以0<a≤1.14.解析(1)我同意王鵬同學的觀點.理由如下:假設f(x)是奇函數,則由f(a)=a2+3,f(-a)=a2-4|a|+3,可得f(a)+f(-a)=0,即a2-2|a|+3=0,顯然a2-2|a|+3=0無實數解,故f(x)不可能是奇函數.(2)若f(x)為偶函數,則有f(a)=f(-a),即a2+3=a2-4|a|+3,解得a=0.經驗證,此時f(x)=x2-2|x|+3是偶函數.(3)由(2)知f(x)=x2