空間與軸對稱問題有限元分析演示文稿當前1頁，總共22頁。（優選）空間與軸對稱問題有限元分析當前2頁，總共22頁。空間問題1常應變四面體單元形函數

與平面三角形單元相對應，四面體單元內任一點可用“體積坐標”來表示。各子四面體體積與三角形單元一樣，體積坐標為Ti

=Vi/V,三個是獨立的，它有“本1，它0，總和1”的性質。P123四面體總體積(右旋體積正)1234P234P124P134P剩下來的工作基本和三角形常應變單元類似。

作業：自學單元列式內容。當前3頁，總共22頁。空間問題2十結點（二次）四面體單元形函數

類似于平面六結點二次三角形單元，采用試湊法建立結點的形函數。T1T2T3O12345678N1=a×785×234=a×(T1-1/2)×T1為使N1滿足本點為1，可得a=2，代回后得N1=T1(2T1-1)余者類似，也可按如下通式得到：式中p為形函數階次，分子為不通過i點的平面方程左端項，分母中括號內為i點體積坐標。請大家自行驗證！當前4頁，總共22頁。空間問題3形成四面體的對角線劃分方法

先劃分成六面體再分為四面體1243568714671246143748761）六面體劃分為5個四面體A5型1467間連6根對角線1567當前5頁，總共22頁。空間問題3形成四面體的對角線劃分方法

1）六面體劃分為5個四面體1243568712352568243835872358B5型2358間連6根對角線相鄰六面體必須一個為A5另一個為B5共同點相對面對角線相互空間交叉當前6頁，總共22頁。空間問題3形成四面體的對角線劃分方法

2）先劃為五面體再劃分為6個四面體12435687124356435687連47、76、636874、5673、4763連23、25、632351、3562、3642A6型以折面3564分當前7頁，總共22頁。空間問題3形成四面體的對角線劃分方法

2）先劃為五面體再劃分為6個四面體12435687連35、52、633562、5673、2351連47、46、633764、6874、3642A6型以折面2376分243687123567兩種A6劃分結果完全相同當前8頁，總共22頁。空間問題3形成四面體的對角線劃分方法

2）先劃為五面體再劃分為6個四面體12435687連23、35、452453、4753、2351連45、46、674562、5674、6874B6型以折面2475分245687124357當前9頁，總共22頁。空間問題3形成四面體的對角線劃分方法

2）先劃為五面體再劃分為6個四面體12435687連47、76、544753、5674、6874連32、25、542351、4352、4562B6型以折面3465分124356435687兩種B6劃分結果也完全相同作業：P.95給出了由六面體8個角點點號，按式(4.1.25)求A6和A5型四面體結點號的方法。請考慮B6和B5型的計算公式。當前10頁，總共22頁。空間問題4六面體類單元的形函數

1）八結點單元12345678ξηζ類似平面問題矩形線性單元，由試湊法可建立形函數如下：2）二十結點單元和平面問題一樣，基于試湊法，可以根據上述八結點低階單元形函數構造各頂點形函數。ξηζ123456789101112141720作業：32結點三次單元當前11頁，總共22頁。空間問題5五面體類單元的形函數

1）試湊法建立六結點形函數用于與六面體單元聯合，解決邊界形狀不規則物體的分析。課堂練習：建立15結點五面體單元形函數。2）三維等參元列式基本思想和平面問題一樣，具體列式參看P.101～P.104。L1L2ζ312645當前12頁，總共22頁。軸對稱問題工程中有一類結構，它們的幾何形狀、約束條件及作用的荷載都對稱于某一固定軸(可視為子午面內平面物體繞軸旋轉一周的結果)，其力學分析稱為軸對稱問題。典型例子為煙囪、儲液罐等受恒載作用。1離散化由于可視為子午面內平面物體繞軸旋轉一周的結果，2應力與應變對軸對稱問題進行分析一般取柱坐標系，對稱軸為Z軸，徑向為r軸，環向為θ軸。因此軸對稱問題分析可在子午面內劃分單元，實際是取子午面內圖形繞對稱軸旋轉所得“圓環形單元”對物體進行離散。因此可用的單元與平面問題一樣。當前13頁，總共22頁。軸對稱問題在柱坐標下軸對稱問題的幾何方程為根據具體單元,代入所建立的位移模式,即可得應變矩陣B。軸向位移徑向位移教材上有推導的示意圖，參考彈性力學。由于算子中有1/r，所以三角形環單元B不再是常數矩陣。當前14頁，總共22頁。軸對稱問題根據具體單元，即可得應變、應力矩陣等。σ–Dε

=0式中對稱對線彈性問題，在上述應變分量條件下，物理方程為以三角形環單元為例，其位移模式為當前15頁，總共22頁。軸對稱問題根據軸對稱問題的算子矩陣，單元應變矩陣為應力矩陣：由于應變矩陣的特點，應力分量中除剪應力為常量外，其余三項正應力均不再是常數。當前16頁，總共22頁。軸對稱問題由于B中含有坐標變量，因此積分運算較平面問題復雜，精確積分參見Zienkiewicz(FiniteElementMethod,5thEd，2000)。教材上對三角形環單元具體介紹了ke和FEe的有關計算過程。請自學相關內容。單元剛度矩陣仍可按照平面問題的方法建立，但需注意體積積分應在整個環上進行。實踐證明采用近似積分也能達到一定的精度，具體對于三角形環單元用形心處坐標代替應變矩陣中的坐標變量。如何進一步改進積分精度？當前17頁，總共22頁。軸對稱問題等參元分析教材上P.111具體給出了單剛和等效荷載結果。單元位移場：單元描述：圓柱坐標系下雅可比矩陣：應變矩陣：當前18頁，總共22頁。如果軸對稱體上作用的非軸對稱荷載，如煙囪上作用的風荷載及地震荷載等，此時結構的位移、應變和應力將不再是軸對稱的，需按照空間問題求解。軸對稱問題非軸對稱荷載此時求解費用將大大增加，如何進行簡化？采用半解析有限元方法，將此類問題化為若干軸對稱問題疊加進行求解。此處將軸對稱體上作用的一般荷載P(r,z,θ)沿三個坐標軸方向分解，并沿θ方向展開成付氏級數：軸對稱對稱反對稱扭轉當前19頁，總共22頁。軸對稱問題非軸對稱荷載非軸對稱荷載的分解：

R0、Z0

與θ無關，是軸對稱荷載；T0

與θ無關、沿θ

方向，是扭轉荷載；Ri(r,z)cosiθ等是關于θ=0平面的對稱荷載；Ri(r,z)siniθ等是關于θ=0平面的反對稱荷載；對稱反對稱當前20頁，總共22頁。軸對稱問題非軸對稱荷載將位移作類似的分解：

u0、w0

軸對稱位移；v0

扭轉位移；ui(r,z)cosiθ、wi(r,z)cosiθ

、vi(