洛陽(yáng)市2020—2021學(xué)年第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知是，直線總經(jīng)過(guò)點(diǎn)（）A. B. C. D.3.已知，則的值為（）A.1 B.2 C.7 D.4.已知圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，，三點(diǎn)，則圓的方程為（）A. B.C. D.5.已知水平放置的平面四邊形，用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖是邊長(zhǎng)為1的正方形，如圖所示，則的周長(zhǎng)為（）A.2 B.6 C. D.86.已知為不同的直線，為不同的平面，有下列四個(gè)命題：①②③④.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.47.已知點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則的值分別為（）A1，3 B.， C.-2，0 D.，8.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.9.如圖網(wǎng)格中是某幾何體的三視圖（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），則該幾何體的體積為（）A.2 B. C.4 D.10.已知函數(shù)為偶函數(shù)，那么函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.11.已知圓，圓，兩圓公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.12.已知是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)，在平面的同側(cè)，AE⊥平面，平面，且.點(diǎn)Q為DF的中點(diǎn)，點(diǎn)P是CE上的動(dòng)點(diǎn)，則PQ長(zhǎng)的最小值為（）A. B.2 C. D.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是，，，則此三角形邊上的中線所在直線的方程為_(kāi)_____.14.四棱錐中，底面是正方形，各條棱長(zhǎng)均為2.則異面直線與所成角的大小為_(kāi)_____.15.已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_(kāi)_____.16.在棱長(zhǎng)為9的正方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，滿(mǎn)足，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且平面，則四棱錐外接球的表面積為_(kāi)_____.三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知點(diǎn)，到直線的距離相等.（1）求實(shí)數(shù)值；（2）已知，試求上點(diǎn)的坐標(biāo)，使得，，構(gòu)成以為直角頂點(diǎn)的直角三角形.18.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是底面的中心.（1）求證:平面;（2）求點(diǎn)到平面的距離.19.已知函數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程恰有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.如圖.在三棱錐中,平面,,于點(diǎn),于點(diǎn),,.(1)求；(2)求直線與平面所成角的正弦值.21.已知奇函數(shù)與偶函數(shù)滿(mǎn)足：.（1）求函數(shù)與解析式；（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.點(diǎn)，圓，動(dòng)點(diǎn)P在圓B上，Q為PA中點(diǎn)，直線.（1）求點(diǎn)Q的軌跡E的方程；（2）若直線l與曲線E交于不同兩點(diǎn)S，T，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，當(dāng)△OST的面積為，∠SOT為銳角時(shí)，求斜率k的值；（3）若k=1，當(dāng)過(guò)直線l上的點(diǎn)C能作曲線E的兩條切線時(shí)，設(shè)切點(diǎn)分別為M，N，直線MN是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

洛陽(yáng)市2020—2021學(xué)年第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試卷（解析）第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】可根據(jù)特殊元素與集合的關(guān)系作答.【詳解】A.為偶數(shù)，故，故B.，故B錯(cuò)C.，故錯(cuò)D.,故D錯(cuò)故選：A2.已知是，直線總經(jīng)過(guò)點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把整理成，根據(jù)方程特點(diǎn)可得答案.【詳解】由得，對(duì)于總成立，，所以，即總經(jīng)過(guò)點(diǎn)是.故選：B.3.已知，則的值為（）A.1 B.2 C.7 D.【答案】A【解析】【分析】由求出a、b，表示出，進(jìn)而求出的值.【詳解】,.故選：A【點(diǎn)睛】指對(duì)數(shù)混合運(yùn)算技巧：(1)指數(shù)的運(yùn)算一般把各個(gè)部分都化成冪的結(jié)構(gòu)，利用冪的運(yùn)算性質(zhì)；(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算一般把各個(gè)部分都化成冪的同底結(jié)構(gòu)，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；.(3)有時(shí)會(huì)進(jìn)行指、對(duì)數(shù)互化.4.已知圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，，三點(diǎn)，則圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓的方程為，解方程組即得解.【詳解】設(shè)圓的方程為，把點(diǎn)，，代入得，解得，，，所以圓的方程是．故選：D．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓的方程，一般利用待定系數(shù)法，先定式（一般式和標(biāo)準(zhǔn)式），再定量.5.已知水平放置的平面四邊形，用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖是邊長(zhǎng)為1的正方形，如圖所示，則的周長(zhǎng)為（）A.2 B.6 C. D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法可換元原圖形，根據(jù)原圖形計(jì)算周長(zhǎng)即可.【詳解】由直觀圖可得原圖形如圖，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法可知，,在中,,又,所以四邊形的周長(zhǎng)為,故選：D6.已知為不同的直線，為不同的平面，有下列四個(gè)命題：①②③④.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判斷定理判斷①，根據(jù)線面垂直，面面垂直的性質(zhì)定理判斷②③④.【詳解】①不成立，缺少這個(gè)條件；②不成立，不滿(mǎn)足線面垂直的判斷定理；③不成立，缺少條件；④正確，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理判斷.故選：A7.已知點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則的值分別為（）A.1，3 B.， C.-2，0 D.，【答案】B【解析】【分析】點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則利用垂直關(guān)系，以及線段的中點(diǎn)在直線上，列式求解.【詳解】，若點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則直線與直線垂直，直線的斜率是，所以，得.線段的中點(diǎn)在直線上，則，得故選:B8.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為，成立，求函數(shù)的值域.【詳解】在區(qū)間內(nèi)有解，轉(zhuǎn)化為，成立，，時(shí)，.故選：C9.如圖網(wǎng)格中是某幾何體的三視圖（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），則該幾何體的體積為（）A.2 B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體，計(jì)算體積即可.詳解】還原幾何體如圖，為四棱柱，底面積為，高為2故體積為：2故選：A10.已知函數(shù)為偶函數(shù)，那么函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)是偶函數(shù)求出，代入中求解定義域即可【詳解】為偶函數(shù)，故對(duì)稱(chēng)軸為，故則且解之得故選：B11.已知圓，圓，兩圓公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】首先判斷兩圓的位置關(guān)系，再判斷公切線條數(shù).【詳解】圓，圓心，半徑，圓，圓心，半徑，圓心距，，所以?xún)蓤A相外切，公切線條數(shù)是3條.故選：C12.已知是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)，在平面的同側(cè)，AE⊥平面，平面，且.點(diǎn)Q為DF的中點(diǎn)，點(diǎn)P是CE上的動(dòng)點(diǎn)，則PQ長(zhǎng)的最小值為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，以A為原點(diǎn)，AD為x軸正方向，AB為y軸正方向，AE為z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，把PQ轉(zhuǎn)化為，利用二次函數(shù)求最小值.【詳解】如圖示，以A為原點(diǎn)，AD為x軸正方向，AB為y軸正方向，AE為z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0,0,0）、D（2,0,0）、C（2,2,0）、E（0,0,2）、F（2,0,2）、Q（2,0,1）、設(shè)P（x,y,z）,由點(diǎn)P是CE上的動(dòng)點(diǎn)，知,即，故P(x,x,2-x),所以當(dāng)時(shí)故PQ長(zhǎng)的最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】向量法解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵：(1)建立合適的坐標(biāo)系；(2)把要用到的向量正確表示；(3)利用向量法證明或計(jì)算.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是，，，則此三角形邊上的中線所在直線的方程為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】先求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，再求直線的方程.【詳解】，，線段的中點(diǎn)是，即，，所以三角形邊上的中線所在直線的方程為，即.故答案為：14.四棱錐中，底面是正方形，各條棱長(zhǎng)均為2.則異面直線與所成角的大小為_(kāi)_____.【答案】60°【解析】【分析】根據(jù)AB∥CD,得到異面直線與所成角即為∠VCD,由△VCD為等邊三角形，即可求解.【詳解】

如圖示，因?yàn)槭钦叫危訟B∥CD,所以異面直線與所成角即為∠VCD.又各條棱長(zhǎng)均2，所以△VCD為等邊三角形，所以∠VCD=60°，異面直線與所成角的大小為60°.故答案為：60°【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面直線的問(wèn)題化歸為共面直線問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：(1)平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；(2)認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；(3)計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；(4)取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．15.已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】可求出分段函數(shù)在時(shí)的解析式，分兩種情況解不等式，求并集.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，則當(dāng)時(shí)，，故，，則，則，則，則此時(shí)綜上有故答案為：【點(diǎn)睛】利用給定性質(zhì)求函數(shù)在某一段的解析式，此類(lèi)問(wèn)題的一般做法是：①“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”，即在哪個(gè)區(qū)間求解析式，就設(shè)定在哪個(gè)區(qū)間.②利用給定的性質(zhì)，將要求的區(qū)間轉(zhuǎn)化到給定解析式的區(qū)間上.③利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入，解出16.在棱長(zhǎng)為9的正方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，滿(mǎn)足，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且平面，則四棱錐外接球的表面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】以為原點(diǎn)，，，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由平面可得P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)四棱錐的特點(diǎn)可得外接球的直徑可得答案.【詳解】以為原點(diǎn)，，，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，由，則，，，設(shè)，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則，得，因?yàn)槠矫妫裕矗獾茫裕善矫妫业酌媸钦叫危运睦忮F外接球的直徑就是，由，得，所以外接球的表面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐外接球的表面積的求法，關(guān)鍵點(diǎn)是建立空間直角坐標(biāo)系，確定球的半徑，考查了學(xué)生的空間想象力和計(jì)算能力.三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知點(diǎn)，到直線的距離相等.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）已知，試求上點(diǎn)的坐標(biāo)，使得，，構(gòu)成以為直角頂點(diǎn)的直角三角形.【答案】（1）或；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【解析】【分析】（1）由點(diǎn)到直線的距離公式建立等式求解的值；（2）可求出以為直徑的圓的方程，與直線的方程聯(lián)立即得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）由點(diǎn)到直線的距離公式知：，即，或，或.（2），的中點(diǎn)為，以為直徑的圓的方程為，直角三角形的直角頂點(diǎn)是以為直徑的圓與直線的交點(diǎn).設(shè)，故滿(mǎn)足由知，，直線，又在上聯(lián)立方程消去得：，或.或點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】①，，構(gòu)成以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，等價(jià)于以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，且，，三點(diǎn)不共線.②處理圓與直線交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，可由圓心到直線的距離與半徑作比較，得出位置關(guān)系.聯(lián)立兩者方程，可求出交點(diǎn)坐標(biāo).18.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是底面的中心.（1）求證:平面;（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接，設(shè)，連接，證明是平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可證明.（2）由題意可得平面平面，過(guò)點(diǎn)作于，在矩形中，連接，可得，由三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解.【詳解】（1）證明：連接，設(shè)，連接.且，是平行四邊形..又平面，平面，平面.（2），，且，平面.平面平面，且交線為.在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作于，則平面，即的長(zhǎng)就是點(diǎn)到平面的距離.在矩形中，連接，，則，.即點(diǎn)到平面距離為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了線面平行的判定定理，點(diǎn)到面的距離，解題的關(guān)鍵是過(guò)點(diǎn)作于，得出的長(zhǎng)就是點(diǎn)到平面的距離，考查了計(jì)算能力.19.已知函數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程恰有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令，分和兩種情況解方程，求出a的值；（2）在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出和的圖像，觀察交點(diǎn)的個(gè)數(shù)求出的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)，即，解得，均滿(mǎn)足條件.當(dāng)時(shí)，，，無(wú)解.故.（2）如圖示，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出和的圖像，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，.故當(dāng)時(shí)，方程恰有三個(gè)解，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】分離參數(shù)法求參數(shù)的范圍：數(shù)形結(jié)合求零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題是轉(zhuǎn)化為，分別做出和的圖像，觀察交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求出的取值范圍.20.如圖.在三棱錐中,平面,,于點(diǎn),于點(diǎn),,.(1)求；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】【分析】(1)利用線面垂直的判定可證得平面,則平面平面,由,進(jìn)而可得平面,即可證得結(jié)論.(2)由平面,則就是在平面內(nèi)的射影,即為與平面所成的角,計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】(1)證明：平面,平面..又,,平面.平面平面.又平面平面,平面,,平面.又平面.(2)由(1)知平面,連結(jié),則就是在平面內(nèi)的射影.就是與平面所成的角.,,,..在中,.與平面所成角的正弦值為.21.已知奇函數(shù)與偶函數(shù)滿(mǎn)足：.（1）求函數(shù)與的解析式；（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）用代替代入中，得到另外一個(gè)式子，用方程思想求解與的解析式即可.（2）化簡(jiǎn)不等式，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求值域的問(wèn)題.【詳解】（1）用代替代入中，得，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，上式與聯(lián)立，可得，.（2）即，.令，則.，，，，.，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】對(duì)于恒成立問(wèn)題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f