2022年湖南省衡陽市中考數學試卷

選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，在每小題

給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.（3分）-2的絕對值是（）

A.-2B.2C.1D.-1

22

2.（3分）石鼓廣場供游客休息的石板凳如圖所示，它的主視圖是

A.B.

3.（3分）下列選項中的垃圾分類圖標,既是中心對稱圖形，又是軸

對稱圖形的是（）

△

A.1^可回收物B.其他垃圾

c.有害垃圾D.廚余垃圾

4.（3分）為有效防控新冠疫情，國家大力倡導全國人民免費接種疫

苗.截止至2022年5月底，我國疫苗接種高達339000萬劑次.數

據339000萬用科學記數法可表示為QX109的形式,則a的值是

)

A.0.339B.3.39C.33.9D.339

5.(3分)下列運算正確的是()

A.a2+a3—a5B.^?ai—a12C.(〃)4=q7D.=

6.（3分）下列說法正確的是（）

A.”任意畫一個三角形，其內角和為180°”是必然事件

B.調查全國中學生的視力情況，適合采用普查的方式

C.抽樣調查的樣本容量越小，對總體的估計就越準確

D.十字路口的交通信號燈有紅、黃、綠三種顏色，所以開車經過

十字路口時-，恰好遇到黃燈的概率是工

3

7.（3分）如果二次根式G有意義，那么實數a的取值范圍是（）

A.a>1B.C.a<1D.aWl

8.（3分）為貫徹落實教育部《關于全面加強新時代大中小學勞動教

育的意見》精神，把勞動教育納入人才培養全過程，某校組織學

生周末赴勞動教育實踐基地開展鋤地、除草、剪枝、捉魚、采摘

五項實踐活動，已知五個項目參與人數（單位：人）分別是：35,

38,39,42,42,則這組數據的眾數和中位數分別是（）

A.38,39B.35,38C.42,39D.42,35

9.（3分）不等式組｛復工的解集在數軸上表示正確的是（）

10.（3分）下列命題為假命題的是（）

A.對角線相等的平行四邊形是矩形

B.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

C.有一個內角是直角的平行四邊形是正方形

D.有一組鄰邊相等的矩形是正方形

11.（3分）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰

部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美

感.如圖，按此比例設計一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像

的下部設計高度約是（結果精確到0.01/九參考數據：72^1.414,

73^1.732,粕p2.236）（）

A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1Alm

12.（3分）如圖，在四邊形A8CQ中，ZB=90°,AC=6,AB//CD,

AC平分NZMB.設AD^y,則y關于％的函數關系用圖

象大致可以表示為（）

二.填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分.）

13.（3分）因式分解：/+2%+1=.

14.（3分）計算：近義顯=.

15.（3分）計算：上~+_.

a+2a+2

16.（3分）如圖，在△A3C中，分別以點A和點8為圓心，大于二48

2

的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點M和點N,作直線MN交CB

于點D,連接AD若AC=8,8C=15,則△ACQ的周長為

17.（3分）如圖，用一個半徑為6c機的定滑輪拉動重物上升，滑輪

旋轉了120°,假設繩索粗細不計，且與輪滑之間沒有滑動，則重

物上升了cm.（結果保留n）

18.（3分）回雁峰座落于衡陽雁峰公園，為衡山七十二峰之首.王

安石曾賦詩聯“萬里衡陽雁，尋常到此回”.峰前開辟的雁峰廣場

中心建有大雁雕塑，為衡陽市城徽.某課外實踐小組為測量大雁

雕塑的高度，利用測角儀及皮尺測得以下數據：如圖，AE-lOm,

ZBDG=30°,/BFG=60；已知測角儀DA的高度為1.5根,

則大雁雕塑5C的高度約為m.（結果精確到0.1%參考

數據：73^1.732)

三.解答題（本大題共8個小題，19?20題每題6分，21?24題每

題8分，25題10分，26題12分,滿分66分.解答應寫出文字說明、

證明過程或演算步驟.）

19.（6分）先化簡，再求值.

Ca+b）（a-b）+b（2a+b）,其中a=l,b=-2.

20.（6分）如圖，在△ABC中，AB=AC,D、E是BC邊上的點，

且3Z）=CE.求證：AD^AE.

21.（8分）為落實“雙減提質”，進一步深化“數學提升工程”，提

升學生數學核心素養，某學校擬開展“雙減”背景下的初中數學

活動型作業成果展示現場會，為了解學生最喜愛的項目，現隨機

抽取若干名學生進行調查，并將調查結果繪制成如下兩幅不完整

的統計圖：

A:測量

B:七巧板

C：調查活動

D：無字證明

E：數學園地設計

圖①圖②

根據以上信息，解答下列問題：

(1)參與此次抽樣調查的學生人數是人,補全統計圖①

(要求在條形圖上方注明人數)；

(2)圖②中扇形C的圓心角度數為度；

(3)若參加成果展示活動的學生共有1200人，估計其中最喜愛“測

量”項目的學生人數是多少；

(4)計劃在A,B,C,D,E五項活動中隨機選取兩項作為直播

項目，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好選中B,E這兩項活動

的概率.

22.(8分)冰墩墩(BingDwenDwen)、雪容融(ShueyRhonRhon)分

別是2022年北京冬奧會、冬殘奧會的吉祥物.冬奧會來臨之際，

冰墩墩、雪容融玩偶暢銷全國.小雅在某網店選中兩種玩偶.決

定從該網店進貨并銷售.第一次小雅用1400元購進了冰墩墩玩偶

15個和雪容融玩偶5個，已知購進1個冰墩墩玩偶和1個雪容融

玩偶共需136元，銷售時每個冰墩墩玩偶可獲利28元，每個雪容

融玩偶可獲利20元.

(1)求兩種玩偶的進貨價分別是多少？

(2)第二次小雅進貨時，網店規定冰墩墩玩偶進貨數量不得超過

雪容融玩偶進貨數量的1.5倍.小雅計劃購進兩種玩偶共40個，

應如何設計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？

23.(8分)如圖，反比例函數y=@的圖象與一次函數丁=履+人的圖

X

象相交于A(3,1),8(-1,〃)兩點.

(1)求反比例函數和一次函數的關系式；

(2)設直線AS交y軸于點C,點N分別在反比例函數和一次

函數圖象上，若四邊形OCNM是平行四邊形，求點M的坐標.

24.(8分)如圖，AB為。。的直徑，過圓上一點D作。O的切線

CQ交區4的延長線于點C,過點。作O七〃交CZ)于點E,連

接BE.

(1)直線3E與。。相切嗎？并說明理由；

(2)若CA=2,8=4,求的長.

25.(10分)如圖，已知拋物線y=%2-%-2交匯軸于A、3兩點，將

該拋物線位于入軸下方的部分沿％軸翻折，其余部分不變，得到

的新圖象記為“圖象W”，圖象W交y軸于點C

(1)寫出圖象W位于線段A3上方部分對應的函數關系式；

(2)若直線y=與圖象W有三個交點，請結合圖象，直接

寫出。的值；

(3)產為入軸正半軸上一動點，過點尸作尸河〃丁軸交直線3c于

點M,交圖象W于點N,是否存在這樣的點尸，使△CMN與△OBC

相似？若存在，求出所有符合條件的點尸的坐標；若不存在，請說

明理由.

26.（12分）如圖，在菱形A3C。中，AB=4,NR4O=60°，點尸

從點A出發，沿線段AO以每秒1個單位長度的速度向終點。運

動，過點尸作PQ_LAB于點Q,作交直線AB于點M,

交直線BC于點R設△PQM與菱形A3CD重疊部分圖形的面積

為S（平方單位），點尸運動時間為/（秒）.

（1）當點M與點3重合時，求/的值；

（2）當/為何值時，△AP。與全等；

（3）求S與/的函數關系式；

（4）以線段PQ為邊，在尸。右側作等邊三角形尸QE,當2W/W4

時，求點后運動路徑的長.

2022年湖南省衡陽市中考數學試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，在每小題

給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.（3分）-2的絕對值是（）

A.-2B.2C.1D.-1

22

【解答】解：|-2|=2,

故選：B.

2.（3分）石鼓廣場供游客休息的石板凳如圖所示，它的主視圖是

A.

C.

【解答】解：從正面看,可得如下圖形,

故選：A.

3.（3分）下列選項中的垃圾分類圖標,既是中心對稱圖形，又是軸

對稱圖形的是（）

△

A.4可回收物B.工k其他垃圾

C.有害垃圾D.X廚余垃圾

【解答】解：A.既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此

選項不合題意；

B.既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意;

C.既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

D.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

故選：C.

4.（3分）為有效防控新冠疫情，國家大力倡導全國人民免費接種疫

苗.截止至2022年5月底，我國疫苗接種高達339000萬劑次.數

據339000萬用科學記數法可表示為。義109的形式，則a的值是

（）

A.0.339B.3.39C.33.9D.339

【解答】解：339000萬=3390000000=3.39X1（）9,

.,.a—3.39,

故選：B.

5.（3分）下列運算正確的是（）

A.a2+a3—a5B.ai9di—a'2C.（標）4=標pa3-r-a2—a

【解答】解：A選項，〃與不是同類項，不能合并，故該選項不

符合題意；

8選項，原式=標，故該選項不符合題意；

C選項，原式=〃2,故該選項不符合題意；

。選項，原式=。，故該選項符合題意；

故選：D.

6.（3分）下列說法正確的是（）

A.“任意畫一個三角形，其內角和為180。”是必然事件

B.調查全國中學生的視力情況，適合采用普查的方式

C.抽樣調查的樣本容量越小，對總體的估計就越準確

D.十字路口的交通信號燈有紅、黃、綠三種顏色，所以開車經過

十字路口時，恰好遇到黃燈的概率是工

3

【解答】解：A選項，三角形內角和為180°,故該選項符合題意;

8選項，全國中學生人數眾多，適合抽樣調查的方式，故該選項不

符合題意；

。選項，抽樣調查的樣本容量越大，對總體的估計就越準確，故該

選項不符合題意；

。選項，三種信號燈持續的時間一般不相等，故該選項不符合題意;

故選：A.

7.（3分）如果二次根式G有意義，那么實數a的取值范圍是（）

A.a>1B.C.a<.1D.“W1

【解答】解：由題意得：Q-120,

??CI19

故選：B.

8.（3分）為貫徹落實教育部《關于全面加強新時代大中小學勞動教

育的意見》精神，把勞動教育納入人才培養全過程，某校組織學

生周末赴勞動教育實踐基地開展鋤地、除草、剪枝、捉魚、采摘

五項實踐活動，已知五個項目參與人數（單位：人）分別是：35,

38,39,42,42,則這組數據的眾數和中位數分別是（）

A.38,39B.35,38C.42,39D.42,35

【解答】解：將這組數據由小到大排列為：35,38,39,42,42,

眾數為42,中位數為39,

故選：C.

9.)

》

【解答】解:x+2l①

2x<x+3②'

解①得％》-1,

解②得％<3.

則表示為:

故選:A.

10.（3分）下列命題為假命題的是（）

A.對角線相等的平行四邊形是矩形

B.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

C.有一個內角是直角的平行四邊形是正方形

D.有一組鄰邊相等的矩形是正方形

【解答】解：對角線相等的平行四邊形是矩形，故4是真命題，不

符合題意；

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故B是真命題，不符合題意;

有一個內角是直角的平行四邊形是矩形，故C是假命題，符合題意;

有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故。是真命題，不符合題意；

故選：C.

11.（3分）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰

部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美

感.如圖，按此比例設計一座高度為2次的雷鋒雕像，那么該雕像

的下部設計高度約是（結果精確到參考數據：加弋1.414,

73^1.732,遍心2.236）（）

A.0.73mB.1.24機C.1.37mD.1.42m

【解答】解：設下部的高度為初則上部高度是（2-％）m,

???雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部

與全部的高度比，

三，

X2

解得％=遍-1或％=-萩-1（舍去），

經檢驗，％=遙-1是原方程的解，

?'?X=&-C1.24,

故選：B.

12.（3分）如圖，在四邊形A3CQ中，Zfi=90°,AC=6,AB//CD,

AC平分NQAS.設AD^y,則y關于％的函數關系用圖

【解答】解：過。點作OE_LAC于點E

R

'：AB//CD,

，ZACD=ZBAC,

?..AC平分N￡U8,

：.ZBAC^ZCAD,

：.ZACD=ZCAD,貝!lC0=AZ）=y,即△AC。為等腰三角形,

則DE垂直平分AC,

：.AE^CE=1AC^3,NAED=90°,

2

,：ZBAC^ZCAD,/B=NAED=90°,

二.AABC^AAED,

???AC=--A,B

ADAE

???6-=—x,

y3

\,在△ABC中，AB<AC,

故選：D.

二.填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分.）

13.（3分）因式分解：/+2%+1=（%+1）2.

【解答】解：％2+2X+1=（X+1）2,

故答案為：（%+1）2.

14.（3分）計算：&乂瓜=4.

【解答】解：原式=<2X8=W^=4.

故答案為：4

15.（3分）計算：-^-+-=2.

a+2a+2

【解答】解：①+,

a+2a+2

=2a+4

a+2

=2（a+2）

a+2

=2,

故答案為：2.

16.（3分）如圖，在△ABC中，分別以點A和點8為圓心，大于二48

2

的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點〃和點M作直線交C8

于點D,連接AD.若AC=8,8c=15,則△ACO的周長為23.

【解答】解：根據作圖過程可知：

是線段AB的垂直平分線，

：.AD=BD,

/\ACD的周長為：AC+CD+AD^AC+CD+BD=AC+BC^S+\5^

23.

故答案為：23.

17.（3分）如圖，用一個半徑為6cm的定滑輪拉動重物上升，滑輪

旋轉了120°,假設繩索粗細不計，且與輪滑之間沒有滑動，則重

物上升了4ncm.（結果保留n）

【解答】解：由題意得，重物上升的距離是半徑為6CM,圓心角為

120°所對應的弧長,

即120兀X6—4ir,

180

故答案為：4n.

18.（3分）回雁峰座落于衡陽雁峰公園，為衡山七十二峰之首.王

安石曾賦詩聯“萬里衡陽雁，尋常到此回”.峰前開辟的雁峰廣場

中心建有大雁雕塑，為衡陽市城徽.某課外實踐小組為測量大雁

雕塑的高度，利用測角儀及皮尺測得以下數據：如圖，AE-lOm,

/BDG=30°,NBFG=60：已知測角儀DA的高度為1.5m，

則大雁雕塑3c的高度約為10.2m.（結果精確到0.1m.參考

數據：73^1.732)

【解答】解：VZ5FG=60°,N8DG=30°,

：.ZDBF=60°-30°=30°,

，NDBF=/BDF,

：.DF=BF=AE=\O,

口△8/G中，sin/BFG=跑,

BF

.?.改=近，

102

.?.8G=5代=5X1.732仁8.66,

ABC=BG+CG=8.66+1.5^10.2(m).

答：大雁雕塑BC的高度約為10.2m.

故答案為：10.2.

三.解答題(本大題共8個小題，19?20題每題6分，21?24題每

題8分，25題10分，26題12分，滿分66分.解答應寫出文字說明、

證明過程或演算步驟.)

19.(6分)先化簡，再求值.

(a+b)(a-b)+b(2a+h),其中Q=1,b—-2.

【解答】解：解+b)(a-b)+b(2a+b)

—a2-h2+2ah+h2

=a?+2ab,

將。=1,b=-2代入上式得：

原式=P+2X1X(-2)

=1-4

=_3.

20.(6分)如圖，在△ABC中，AB^AC,D、E是8C邊上的點，

且8D=C￡.求證：AD^AE.

A

【解答】證明：???A8=AC,

.?.NB=NC,

在△A8D和中，

fAB=AC

<NB=NC，

BD=CE

：./\ABD^/\ACE(SAS),

：.AD^AE.

21.（8分）為落實“雙減提質”，進一步深化“數學提升工程”，提

升學生數學核心素養，某學校擬開展“雙減”背景下的初中數學

活動型作業成果展示現場會，為了解學生最喜愛的項目，現隨機

抽取若干名學生進行調查，并將調查結果繪制成如下兩幅不完整

A:測量

B:七巧板

C：調查活動

D：無字證明

E：數學園地設計

圖①圖②

根據以上信息，解答下列問題：

（1）參與此次抽樣調查的學生人數是120人,補全統計圖①

（要求在條形圖上方注明人數）；

（2）圖②中扇形。的圓心角度數為90度:

（3）若參加成果展示活動的學生共有1200人，估計其中最喜愛“測

量”項目的學生人數是多少；

（4）計劃在A,B,C,D,E五項活動中隨機選取兩項作為直播

項目，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好選中3,E這兩項活動

的概率.

【解答】解：（1）調查學生總數為36?30%=120（人），

選擇“E.數學園地設計”的有120-30-30-36-6=18（人），

120

故答案為：90；

（3）1200X型=300（人），

120

答：參加成果展示活動的1200名學生中，最喜愛“測量”項目的

學生大約有300人；

(4)在A,B,C,D,E五項活動中隨機選取兩項，所有可能出

現的結果如下：

第演、ABCDE

ABACADAEA

BABCBDBEB

CACBCDCEC

DADBDCDED

EAEBECEDE

共有20種可能出現的結果，其中恰好選中8,E這兩項活動的有2

種，

所以恰好選中bE這兩項活動的概率為2=J_.

2010

22.(8分)冰墩墩(BingDwenDwen)、雪容融(ShueyRhonRhon)分

別是2022年北京冬奧會、冬殘奧會的吉祥物.冬奧會來臨之際，

冰墩墩、雪容融玩偶暢銷全國.小雅在某網店選中兩種玩偶.決

定從該網店進貨并銷售.第一次小雅用1400元購進了冰墩墩玩偶

15個和雪容融玩偶5個，已知購進1個冰墩墩玩偶和1個雪容融

玩偶共需136元，銷售時每個冰墩墩玩偶可獲利28元，每個雪容

融玩偶可獲利20元.

(1)求兩種玩偶的進貨價分別是多少？

(2)第二次小雅進貨時，網店規定冰墩墩玩偶進貨數量不得超過

雪容融玩偶進貨數量的1.5倍.小雅計劃購進兩種玩偶共40個，

應如何設計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？

尸&

【解答】解：(1)設冰墩墩的進價為％元/個，雪容融的進價為y

元/個，

由題意可得：(15x+5y=：L400,

Ix+y=136

解得h=72,

ly=64

答：冰墩墩的進價為72元/個，雪容融的進價為64元/個；

(2)設冰墩墩購進a個，則雪容融購進(40-。)個，利潤為w

元，

由題意可得：w=28a+20(40-a)=8a+800,

二?vv隨a的增大而增大，

???網店規定冰墩墩玩偶進貨數量不得超過雪容融玩偶進貨數量的

1.5倍，

...aWL5(40-a),

解得aW24,

.?.當a=24時，w取得最大值，此時w=992,40-a=16,

答：冰墩墩購進24個，雪容融購進16個時才能獲得最大利潤，最

大利潤是992元.

23.(8分)如圖，反比例函數y=a的圖象與一次函數的圖

X

象相交于A(3,1),B(-1,n)兩點.

(1)求反比例函數和一次函數的關系式；

(2)設直線A8交y軸于點C,點MN分別在反比例函數和一次

函數圖象上，若四邊形OCNM是平行四邊形，求點M的坐標.

【解答】解：(1)把A(3,1)代入y=必得：

X

i=a,

3

??根=3,

...反比例函數關系式為y=3；

X

把B(-1,/?)代入y=3得：

X

〃=且=-3,

-1

:.B(-1,-3),

將A(3,1),B(-1,-3)代入)=履+。得:

[3k+b=l

1-k+b=~3

，一次函數的關系式為2；

答：反比例函數關系式為y=3,一次函數的關系式為y=x-2；

X

(2)在y=%-2中，令％=0得y=-2,

：.C(0,-2),

設3）,N（〃,n-2）,而0（0,0）,

m

四邊形OCNM是平行四邊形，

二.CM、ON的中點重合，

0+m=n+0

，

<沁2二

-2mn-2+0

解得或（皿=蓊，

In=-V3In=V3

?'.M（在，V3）或（-百，-M）;

24.（8分）如圖，AB為OO的直徑，過圓上一點D作OO的切線

CZ）交A4的延長線于點C,過點O作OE〃AO交CD于點E,連

接8E.

（1）直線8E與。。相切嗎？并說明理由；

（2）若CA=2,CD=4,求。E的長.

【解答】解：（1）直線3E與。O相切,

理由：連接OQ,

?.?co與。。相切于點。，

：.ZODE=90°,

'：AD//OE,

：.NAZ)O=ZDOE,/DAO=ZEOB,

'：OD^OA,

：.NAOO=ADAO,

：./DOE=ZEOB,

?：OD=OB,OE=OE,

:.△DOEQABOE(SAS),

：./OBE=/ODE=90°,

,/。8是。。的半徑，

二直線BE與。。相切；

(2)設。。的半徑為八

在RtZ^OOC中，OD+oc2：。。2,

"+42=(r+2)2,

，=3,

.,.AB=2r—6,

.?.8C=AC+48=2+6=8,

由(1)得：△QOE四△8OE,

:.DE=BE,

在Rtz\3C￡中，BGB—CE2,

：.^+BP=(4+DE)2,

.,.64+Z)—(4+PE)2,

：.DE=6,

的長為6.

E

1B

25.(10分)如圖，已知拋物線y=%2-%-2交匯軸于A、3兩點，將

該拋物線位于入軸下方的部分沿％軸翻折，其余部分不變，得到

的新圖象記為“圖象W”，圖象W交y軸于點C

(1)寫出圖象W位于線段A3上方部分對應的函數關系式；

(2)若直線y=與圖象W有三個交點，請結合圖象，直接

寫出。的值；

(3)產為入軸正半軸上一動點，過點尸作尸河〃丁軸交直線3c于

點M,交圖象W于點N,是否存在這樣的點尸，使△CMN與△OBC

相似？若存在，求出所有符合條件的點尸的坐標；若不存在，請說

明理由.

【解答】解：(1)當％=0時，y=-2,

：.C(0,2),

當y=0時，x2-x-2=0,

(%-2)(x+1)=0,

—2>%2=-1,

...A(-1,0),B(2,0),

設圖象W的解析式為：y=a(%+1)(%-2),

把C(0,2)代入得：-2a=2,

??ci-1,

?'?y=~(x+1)(x-2)=-x2+x+2,

J圖象W位于線段A3上方部分對應的函數關系式為:y=-X2+%+2

(-14W2)；

(2)由圖象得直線y=與圖象W有三個交點時，存在兩種

情況：

①當直線y=過點C時，與圖象W有三個交點，此時6=2；

②當直線y=-x+b與圖象W位于線段AB上方部分對應的函數圖

象相切時，如圖1,

x2-2x+h-2—0,

△=(-2)2-4X1X(b-2)=0,

.3=