（挑戰壓軸）專題1.5勾股定理與分類討論

UMHf】

【類型一等腰三角形的腰和底不明確時需分類討論】

【例1】（2021春?南昌期末）如圖，在△力BC中，已知：NACB=90°,AB=\Ocm,AC

=6cm,動點P從點B出發，沿射線BC以Icm/s的速度運動，設運動的時間為，秒，連

接B4,當△ASP為等腰三角形時，/的值為

【變式1】（2020秋?張店區期末）如圖，在RtaABC中，ZACB=

90°,AB=5cm,AC=3cm,動點P從點B出發沿射線BC以lcm/s的速度移動，設運動

的時間為f秒，當AABP為等腰三角形時，，的取值為

【變式2】（2021秋?永春縣期末）如圖△ABC中，ZACB

=90°,AC=\2,BC=5.

（1）求A3的長;

（2）若動點尸從點C開始以每秒1個單位的速度，按C-Af8的路徑運動，設運動的

時間為，秒，當/為何值時，△BCP為等腰三角形？

C建類型二直角三角形的直角邊和斜邊不明確時需分類討

論】【例2】（2021?齊齊哈爾）直角三角形的兩條邊長分別為3和4,則這個直角三角

形斜邊上的高為

【變式1】（2021秋?槐蔭區期中）若RtaABC的兩邊。，人滿足右區+（〃-4）2=0,則

它的第三邊。為（）

A.5B.V?C.娓D.5或⑦

【變式2】（2020春?南昌期末）如圖，在RtZ\48C中，ZACB=90°,AC=4,BC=2,

以AB為邊向外作等腰直角三角形AB。，則CD的長可以是

（2021秋?蘭考縣期末）已知：如圖，在RtZ\ABC中,

ZACB=90°,AB=5cm,AC^3cm,動點P從點B出發沿射線BC以\cm/s的速度移動,

設運動的時間為ts.

（1）求BC邊的長；

（2）當AAB尸為直角三角形時，求f的值.

備用圖【例3】（2021秋?寬城區期末）

定義：如圖，點M、N把線段分割成AM、MN、NB,若以AM、MN、NB為

邊的三角形是一個直角三角形，則稱點“、N是線段A8的勾股分割點.

（1）已知“、N把線段A8分割成AM、MN、NB,若AM=2,MN=4,8N=2相，則

點M、N是線段AB的勾股分割點嗎？請說明理由.

（2）已知點"、N是線段AB的勾股分割點，且AM為直角邊，若AB=12,AM=5,求

BN的長.

MNB【變式1】（2021秋?鄭州期中）定義：如圖，點M,N

把線段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB為邊的三角形是一個直角三

角形，則稱點M,N是線段AB的勾股分割點.

（1）已知M,N把線段AB分割成AM,MN,NB,若4W=2.5,MN=65,BN=6,則

點M,N是線段AB的勾股分割點嗎？請說明理由.

（2）已知點M,N是線段A8的勾股分割點，且AM為直角邊，若AB=14,4M=4,求

BN的長.

AMNB[錦靂溫.]

1.(2021秋?象山縣期中)在RtzXABC中，ZA=90°,BC=5,AB=3.如果點尸在AC

邊上，且點尸到RtZXABC的兩個頂點的距離相等，那么AP的長為.

2.(2021秋?平頂山期中)如圖，在RtZXABC中，/A8C=90°,AB=20,BC=15,點、D

為AC邊上的動點，點。從點C出發，沿C4往A運動，當運動到點A時停止，設點。

運動的時間為，秒，點。運動的速度為每秒2個單位長度.

(1)當f=2秒時，求AD的長；

(2)在。運動過程中，△CB。能否為直角三角形？若不能，說明理由，若能，請求出f

的值.

(2021秋?東海縣期中)如圖，在RtZ\ABC中，Z

ACB=90°,AB=1OCTO,AC6cm,動點P從點B出發沿射線BC以lcm/s的速度運動,

設運動時間為f(s).

(1)當△ABP為直角三角時,

求/的值;

(2)當AABP為等腰三角形時，求f的值.

4.(2021春?饒平縣校級期中)定義：如圖，點M、N把線段AB分割成AM、MN、NB,

若以AM、MN、N8為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段AB的勾股分割

點?

(1)已知M、N把線段AB分割成AM、MN、NB,若AM=1.5,MN=25,BN=2,則

點M、N是線段A3的勾股分割點嗎？請說明理由.

(2)已知點M、N是線段AB的勾股分割點，且AM為直角邊，若A8=24,AM=6,求

8N的長.

MNB5.（2020秋?梁園區期末）如圖，在等邊△ABC

中，AB=AC=HC=6cm,現有兩點用、N分別從點A、8同時出發，沿三角形的邊運動，

已知點M的速度為lcm/s,息N的速度為Icmls.當點N第一次回到點8時，點M、N

同時停止運動，設運動時間為fs.

（1）當f為何值時，M、N兩點重合；

（2）當點朋、N分別在AC、BA邊上運動，△AMN的形狀會不斷發生變化.

①當/為何值時，△AMN是等邊三角形；

②當f為何值時，AAMN是直角三角形；

（3）若點M、N都在BC邊上運動，當存在以為底邊的等腰△AMN時，求f的值.

（挑戰壓軸）專題1.5勾股定理與分類討論

【類型一等腰三角形的腰和底不明確時需分類討論】

【例1】（2021春?南昌期末）如圖，在△ABC中，已知：ZACB=90°,AB=10cm,AC

=6a〃，動點P從點8出發，沿射線8c以lc〃?/s的速度運動，設運動的時間為f秒，連

接玄，當△ABP為等腰三角形時，f的值為.

一4

【解答】解：在aABC中，ZACB=9O°,

由勾股定理得：HC=^/AB2_AC2=A/1Q2_62=

:△48尸為等腰三角形，

當A8=4P時，則BP=2BC=16s,即f=16；

當8A=8P=IOcin時，則f=10；

當以=PB時，如圖：設8P=B4=x,則PC=8-x,

由勾股定理得:

小+十』戶,

(8-x)2+62=X2>

解得尤=生，

4

-/=25

4

綜上所述：/的值為16或10或空.故答案為：16或10或空.

44

【變式1]（2020秋?張店區期末）如圖，在RtAAfiC中，NACB=90°,AB=5cm,AC

=3C7〃，動點P從點8出發沿射線BC以Icm/s的速度移動，設運動的時間為“少，當^

ABP為等腰三角形時，f的取值為

【解答】解：在Rt△ABC中，BC2=AB1-AC2=52-32=16,

BC—4(cm):

①當時，如圖1,r=5；

②當A8=AP時，如圖2,BP=2BC=8cm,r=8；

③當BP=AP時，如圖3,AP=BP=tcm,CP=(4-/)cm,AC=3cm,

在RtZ\ACP中，AP^^AC^+CP2,

所以?=32+(4-t)2,

解得：f=空,

8

綜上所述：當△A8P為等腰三角形時，r=5或，=8或/=空.

8

故答案為：5或^=8或?=空.

8

【變式2】(2021秋?永春縣期末)如圖△A8C中，NACB=90°,AC=\2,BC=5.

(1)求4B的長；

(2)若動點P從點C開始以每秒1個單位的速度，按的路徑運動，設運動的

時間為，秒，當，為何值時,

【答案】(1)13(2)t=5s或20s或Z包或旦匕時，/SBCP為等腰三角形

132

【解答】解：(1)VZACB=90°,

二/\ABC是直角三角形，

在.中，山勾股定理得：AB=｛卜。2+BC2=q]22+52=13,

：.AB的長為13；

(2)當點P在AC上時，CP=CB=5,f=5(s)；Ak

當點P在AB上時，分三種情況：

①當BP=BC=5,如圖1所示：

則AP=13-5=8,12+8=20(s)；

②當CP=CB=5時，

過點C作CMlAfiTM,如圖2所示:

則BM=PM=LBP,

2

?：XAC-BC=1AB'CM,

22

.CM=A^BC=12X^=60(

AB1313

在RtZ\8CA/中，由勾股定理得：BM=7BC2-CM2=任碌）2=卷

.?.8P=28M=改，

13

."P=13-改=119,

1313

/.r=12+Al^.=-2Z5($).

1313

③當PC=P8時，如圖3所示：

則/B=NBCP,

：/B+/A=90°,ZBCP+ZACP=90°ZA^ZACP,

：.AP=PC,

，AP=PB=LB=衛，

22

.*.r=12+12=J7.(s)；

22

綜上所述，當r=5s或20s或275$或3口時,△BCP為等腰三角形

132

【類型二直角三角形的直角邊和斜邊不明確時需分類討論】

【例2】（2021?齊齊哈爾）直角三角形的兩條邊長分別為3和4,則這個直角三角形斜邊上

的高為.

［答案］烏必^區

5—4―

【解答】解：設直角三角形斜邊上的高為八，

當4是直角邊時，斜邊長=而互］=5,

則JiX3X4=2X5X/?,

22

解得：h=絲,

5

當4是斜邊時，另一條直角邊長=擰7=夜,

則JLX3XJ7=上X4X/?,

解得：/?=色互，

4_

綜上所述：直角三角形斜邊上的高為12或塑，

_54

故答案為：——―

54

【變式1］（2021秋?槐蔭區期中）若RtaABC的兩邊a,人滿足右區+（/>-4）2=0,則

它的第三邊。為（）

A.5B.V?C.娓D.5或⑦

【答案】D

【解答】解：:RtZiABC的兩邊a,b滿足（〃-4）2=0,

.?.a-3=0且6-4=0.

.'.a=3,b=4.當b為直角邊時，山勾股定理知：c="2+52=62+42=5,即c=5；

當〃為斜邊時，由勾股定理知：。=五2-22=7&2-§2=干,即c="叼；

綜上所述，c為5或板.

故選：D.

【變式2】（2020春?南昌期末）如圖，在RtZ\48C中，ZACB=90°,AC=4,BC=2,

以AB為邊向外作等腰直角三角形AB。，則CD的長可以是.

【解答】解：(1)如圖1所示，當乙48。=90°,48=8。時，作。E_L8C,與C8的

延長線交于點E,

,：ZCAB+ZABC^90°,ZABC+ZDBE=90",

：./CAB=4DBE,

在△8ED和△AC8中，

，ZE=ZACB=90°

<ZDBE=ZCAB-

BD=AB

:.缸BEDQ4ACB(/LAS),

：.BE=AC=4,DE=BC=2,

/.CE=2+4=6,

?-CD=V^W=2Vio;

(2)如圖2所示，當/BAO=90°,AB=AD時，過

點。作OE_LCA,與。的延長線交于點E,

圖2

；NC48+NA8C=90°,ZBAC+ZDAE=90a,

/ABC=ZDAE,

在△QEA和△ACS中，

rZE=ZACB=90o

，ZDAE=ZABC./.△DEA^AACB(AAS),

AD=AB

：.DE=AC=4,AE=BC=2,

,CD=V62+42=2V13;

(3)如圖3所示，連接CO.當AC=8O時，過點。作OEL4c于E,DF±CB,與CB

的延長線交于產，

?：NC=NDFC=NDEC=90°,

/.NEDF=90°,

VZADE+ZBDE^90°,NBDF+NBDE=90°,/\

：.NADE=NBDF,號:―\7t—~^A

在△?!￡)￡：和△80尸中，尸;、\：/

fZAED=ZBFD

<ZADE=ZBDF-圖3D

AD=BD

：.2ADEBDF(AAS),

：.AE=BF,DE=DF,

'：DE±AC,DF工CF,

：.ZDCE=ZDCF^45a,

...△OEC是等腰直角三角形，

：.AC+BC=AE+CE+CF-BF=2CE.

：.CE=3,

ACD=372.

綜上所述，CQ的長是2萬或3y或2萬；

故答案為：2/誣或3我或2萬.

【變式3](2021秋?蘭考縣期末)已知：如圖，在Rtz^ABC中，乙4cB=90°,AB=5cm,

AC=3aw,動點P從點B出發沿射線BC以\ank的速度移動，設運動的時間為ts.

(1)求8c邊的長；

(2)當△河P為直角三角形時求的

值.備用圖

【答案】(1)4cm(2)4s或組

4

【解答】解：(1)在Rt^ABC中，由勾股定理得：BC={AB2_AC2=352-32=4(。")；

(2)由題意得：BP=tcm,分兩種情況：

①當NAP8=90°時，如圖1所示：

點P與點C重合，

BP=BC=4cm,

.'.f=4；

②當NBAP=90°時，如圖2所示：

貝|JCP=(/-4)cm,ZACP=90Q,

在RtZ\ACP中，由勾股定理得：4戶=4。，(7尸，

在RtZ\48P中，由勾股定理得：AP1=BP2-AB2,

：.AC1+CP1=BP1-AB2,

即32+(Z-4)2=尸-52,

解得：t=生；

4

綜上所述，當△A8P為直角三角形時，/的值為4s或空s.

4

秋?寬城區期末)定義：如圖，點M、N把線段4?分割成AM、MN、NB,若

以AM、MN、N2為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段AB的勾股分割

點.

(1)已知M、N把線段48分割成AM、MN、NB,若AM=2,MN=4,BN=2?,則

點M、N是線段A8的勾股分割點嗎？請說明理由.

(2)己知點/、N是線段AB的勾股分割點，且AM為直角邊，若AB=12,AM=5,求

BN的長.

A方N【答案】(1)M、N是線段A8的勾股分割點(2)絲

7

或.37

-7,

【解答】解：(1)是.

理由："."AM2+BN2=22+(2A/3)2=16,MW2=42=16,

:.AM2+NB2=MN2,

.?.AM、MN、N2為邊的三角形是一個直角三角形.

故點M、N是線段A8的勾股分割點.

(2)設8N=x,貝ljMN=12-AM-8N=7-x,

①當MN為最大線段時，依題意MN2=AM2+NB2,

即(7-x)2=/+25,解得x=衛；

7

②當BN為最大線段時，依題意8M=AM2+A/N2.

即/=25+(7-x)2,解得x=2Z_.

7

綜上所述BN的長為」2或衛二

77

【變式1】(2021秋?鄭州期中)定義：如圖，點M,N把線段45分割成AM,

MN,NB,若以AM,MN,NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M,N是線段

AB的勾股分割點.

(1)已知M,N把線段A8分割成AM,MN,NB,若AM=2.5,MN=65,8N=6,則

點M,N是線段A8的勾股分割點嗎？請說明理由.

(2)已知點M,N是線段AB的勾股分割點，且AM為直角邊，若AB=14,AM=4,求

BN的長.

AMNB［答案］(］)是(2)①

4.2；.②BN=42或5.8

【解答】解：(1)點M、N是線段AB的勾股分割點.理由如下：

'：AM2+BN2=2.52+62=42.25,M/V2=6.52=42.25,：.AM2+NB2=MN2,

：.AM.MN、N8為邊的三角形是一個直角三角形，

點M、N是線段AB的勾股分割點；

(2)設BN=x,則MN=14-AM-BN=10-x,

①當MN為最大線段時，依題意MN2^AM2+NB2,

即(10-X)2=X2+16,

解得x=4.2；

②當BN為最大線段時，依題意BN2^AM2+MN2.

即f=16+(10-%)2,

解得x=5.8.

綜上所述，8N=4.2或5.8.

[?*<e]

1.(2021秋?象山縣期中)在RtZXABC中，ZA=90°,BC=5,AB=3.如果點尸在AC

邊上，且點P到RtZ\ABC的兩個頂點的距離相等，那么AP的長為.

【答案】2或工

一8

【解答】解：在Rt&LBC中,

VZA=90°,BC=5,A8=3,

AAC=^BC2_AB2=4.

若PB=PC,連接PB,

設PA^x,則PB=PC=4-x,

在Rt△附8中，

\'PB2=AP1+A132,

(4-x)2=7+32,

.,.x=—,即PA=--,

88

若B4=PC,則B4=2；

若單=PB,由圖知，在RtZXRW中，不可能.

綜上所述，辦的長為：2或工.

8

故答案是：2或工.

8

A82.（2021秋?平頂山期中）如圖，在RtZ^ABC中，ZAfiC=90°,AB=

20,BC=15,點。為AC邊上的動點，點。從點C出發，沿CA往A運動，當運動到點

A時停止，設點D運動的時間為/秒，點。運動的速度為每秒2個單位長度.

（1）當f=2秒時，求AD的長；

（2）在。運動過程中，△CB。能否為直角三角形？若不能，說明理由，若能，請求出f

的值.

【解答】解：（1）由勾股定理得：^C=VBC2+AB2=V152+202=25,

當t=2秒時，CO=2X2=4,

所以4O=AC-CD=25-4=21；

（2）△C8。能為直角三角形，

理由是：分為兩種情況：①NBOC=90°時，

由勾股定理得：CD-_g￡）2=yj152_122=9，

所以r=a=4.5,

2

②當NCBD=90°時，此時點。和4重合，

B

的值是4.5或12.5

3.（2021秋?東海縣期中）如圖，在RtZVlBC中，ZACB=90°,AB=l0cm,AC=6c，〃,

動點P從點B出發沿射線BC以\cmls的速度運動，設運動時間為f（s）.

求/的值；

（2）當AABP為等腰三角形時，求「的值.

【答案】（1）/=8或空（2）16或10或至

24

（）

【解答】解：（1）當8c為直角三角時.，BC=VAB2-AC2=7102-62=8CM

①當/APB=90°時，點P與點C重合，

BP=BC=8,

?1=8,

②當NBA尸=90°,BP=i,CP=t-8,AC=6,

在RtZVICP中，AP1=()2-+(f-8)2,

在RtZ^BAP中，AB2+AP1=BP2,

：.102+[62+(/-8)2]=*，

解得：r=25,

2

綜上所述，，=8或至；

2

(2)在△ABC中，N4CB=90°,

由勾股定理得：fiC=VAB2-AC2=V102-62=8(切1)，

???△48尸為等腰三角形,

當A8=AP時，則BP=2BC=\6cm,即r=16：

當BA=BP=10cm時，則l=10；

當以=PB時，如圖：設8P=以=1，則PC=8-x,

B二P—gC在RtZXACP中，由勾股定理得：PC2+AC2=AP2,

/.(8-x)2+62—^,

解得尤=至，

4

?,=25

4

綜上所述：，的值為16或10或空.

4

4.(2021春?饒平縣校級期中)定義：如圖，點”、N把線段AB分割成AM、MN、NB,

若以AM、MN、NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段A8的勾股分

割點.

(1)已知M、N把線段AB分割成AM、MN、NB,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2,則

點、M、N是線段A3的勾股分割點嗎？請說明理由.

(2)已知點M、N是線段A8的勾股分割點，且AM為直角邊，若A8=24,AM=6,求

BN的長.

4??MN??B【答案】⑴是⑵BN=8或10

【解答】解：(1)是.

理由：’.工序+8%2=1.52+22=6.25,M7V2=2.52=6.25,

:.AM2+NB2=MN2,

：.AM.MN、N8為邊的三角形是一個直角三角形，

...點M、N是線段AB的勾股分割點.

(2)設BN=x,則MV=24-AM-BN=18-x,

①當MN為最大線段時，依題意MN2=AM2+N82,

即(18-x)2=7+36,

解得x=8；

②當8N為最大線段時，依題意8N2=AA/2+MN2.

即/=36+(18-x)2,

解得x=10,

????

綜上所述，8N=8或10.乂MN