20/202021北京海淀高三（上）期末數學一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（4分）拋物線的準線方程是A． B． C． D．2．（4分）在復平面內，復數對應的點位于)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（4分）在的展開式中，的系數為A．5 B． C．10 D．4．（4分）已知直線，點和點，若，則實數的值為A．1 B． C．2 D．5．（4分）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積為A．2 B．4 C．6 D．126．（4分）已知向量，滿足，，且，則A． B．0 C．1 D．27．（4分）已知，是兩個不同的平面，“”的一個充分條件是A．內有無數直線平行于 B．存在平面，， C．存在平面，，，且 D．存在直線，，8．（4分）已知函數，則A．是偶函數 B．函數的最小正周期為 C．曲線關于對稱 D．（1）（2）9．（4分）數列的通項公式為，，前項和為給出下列三個結論：①存在正整數，，使得；②存在正整數，，使得；③記，2，3，則數列有最小項．其中所有正確結論的序號是A．① B．③ C．①③ D．①②③10．（4分）如圖所示，在圓錐內放入兩個球，，它們都與圓錐相切（即與圓錐的每條母線相切），切點圓（圖中粗線所示）分別為，這兩個球都與平面相切，切點分別為，，丹德林利用這個模型證明了平面與圓錐側面的交線為橢圓，，為此橢圓的兩個焦點，這兩個球也稱為雙球．若圓錐的母線與它的軸的夾角為，，的半徑分別為1，4，點為上的一個定點，點為橢圓上的一個動點，則從點沿圓錐表面到達點的路線長與線段的長之和的最小值是A．6 B．8 C． D．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）在“互聯網”時代，國家積極推動信息化技術與傳統教學方式的深度融合，實現線上、線下融合式教學模式變革．某校高一、高二和高三學生人數如圖所示．采用分層抽樣的方法調查融合式教學模式的實施情況，在抽取樣本中，高一學生有16人，則該樣本中的高三學生人數為．12．（5分）設等比數列的前項和為若、、成等差數列，則數列的公比為．13．（5分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點，則雙曲線的漸近線方程為；．14．（5分）已知函數是定義域的奇函數，且時，，則，的值域是．15．（5分）已知圓，直線，點，點．給出下列4個結論：①當，直線與圓相離；②若直線圓的一條對稱軸，則；③若直線上存在點，圓上存在點，使得，則的最大值為；④為圓上的一動點，若，則的最大值為．其中所有正確結論的序號是．三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16．（15分）在三棱柱中，側面為矩形，平面，，分別是棱，的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）若，求直線與平面所成角的正弦值．17．（14分）若存在同時滿足條件①、條件②、條件③、條件④中的三個，請選擇一組這樣的三個條件并解答下列問題：（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求和的值．條件①：；條件②：；條件③：；條件④：．18．（14分）某公司在年生產經營某種產品的相關數據如表所示：年份201320142015201620172018201920202021年生產臺數（單位：萬臺）3456691010年返修臺數（單位：臺）3238545852718075年利潤（單位：百萬元）3.854.504.205.506.109.6510.0011.50注：年返修率．（Ⅰ）從年中隨機抽取一年，求該年生產的產品的平均利潤不少于100元臺的概率；（Ⅱ）公司規定：若年返修率不超過千分之一，則該公司生產部門當年考核優秀．現從年中隨機選出3年，記表示這3年中生產部門獲得考核優秀的次數．求的分布列和數學期望；（Ⅲ）記公司在年，年，年的年生產臺數的方差分別為，，．若，，其中，表示，，這兩個數中最大的數．請寫出的最大值和最小值．（只需寫出結論）（注，其中為數據，，，的平均數）19．（14分）已知橢圓的離心率為，且經過點．（Ⅰ）求橢圓的方程及其長軸長；（Ⅱ），分別為橢圓的左、右頂點，點在橢圓上，且位于軸下方，直線交軸于點．若的面積比的面積大，求點的坐標．20．（14分）已知函數．（Ⅰ）求函數的單調區間；（Ⅱ）設，求證：；（Ⅲ）設．若存在使得，求的最大值．21．（14分）設是由個實數組成的行列的數表，滿足：每個數的絕對值是1，且所有數的和是非負數，則稱數表是“階非負數表”．（Ⅰ）判斷如下數表，是否是“4階非負數表”；數表11111111數表1111111（Ⅱ）對于任意“5階非負數表”，記為的第行各數之和，證明：存在，，，2，3，4，，使得；（Ⅲ）當時，證明：對與任意“階非負數表”，均存在行列，使得這行列交叉處的個數之和不小于．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．【分析】拋物線的焦點在軸上，且開口向右，，由此可得拋物線的準線方程．【解答】解：拋物線的焦點在軸上，且開口向右，，，拋物線的準線方程為．故選：．【點評】本題考查拋物線的標準方程，考查拋物線的幾何性質，定型與定位是關鍵．2．【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，求出復數所對應點的坐標得答案．【解答】解：，復數對應的點的坐標為，位于第一象限．故選：．【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題．3．【分析】由二項展開式的通項公式，即可求得的系數．【解答】解：的展開式的通項為，所以的系數為．故選：．【點評】本題主要考查二項式定理的應用，屬于基礎題．4．【分析】由題意利用斜率公式，兩直線平行的性質，求得的值．【解答】解：直線，點和點，直線的斜率為，若，則，求得，故選：．【點評】本題主要考查斜率公式，兩直線平行的性質，屬于基礎題．5．【分析】首先把三視圖轉換為直觀圖，進一步求出幾何體的體積．【解答】解：由三視圖可知，該三棱錐的頂點為正方體的頂點，其直觀圖如圖所示：故該三棱錐的體積為：．故選：．【點評】本題考查的知識要點：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉換，幾何體的體積公式，主要考查運算能力，屬于基礎題．6．【分析】通過向量的模的運算法則，轉化求解向量的數量積即可．【解答】解：向量，滿足，，且，，即，則．故選：．【點評】本題考查向量的數量積的求法，向量模的運算法則的應用，是基礎題．7．【分析】由空間中的線面關系，畫出圖形，逐一分析四個選項得答案．【解答】解：由內有無數直線平行于，不一定得到，與也可能相交，如圖：故錯誤；若存在平面，使，，不一定得到，與也可能相交，如圖：故錯誤；存在平面，，，且，不一定得到，與也可能相交，如圖：故錯誤；存在直線，，，由直線與平面垂直的性質，可得，故正確．故選：．【點評】本題考查空間中面面平行的判定，考查充分條件的應用，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．8．【分析】利用三角函數的倍角公式進行化簡，結合三角函數的性質分別進行判斷即可．【解答】解：，則函數為奇函數，函數的周期，當時，為最大值，則是對稱軸，（1），（2），則（1）（2），故正確的是，故選：．【點評】本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用二倍角公式進行化簡，結合三角函數的性質是解決本題的關鍵．是基礎題．9．【分析】假設存在正整數，，使得，則，轉化為的關系進行分析，即可判斷選項①，利用完全平方式將化簡，可得即，再分析的對稱性，可得，從而可判斷選項②，利用，2，3，，得到，，，且當時，單調遞增，分析即可判斷選項③．【解答】解：若存在正整數，，使得，則，即，令，解得（舍或，即，所以存在，，使得，故選項①正確；因為，即，即，且，，記，對稱軸為，而，2，3，故只有，時，有，但此時不成立，故不存在正整數，，使得，故選項②錯誤；因為，2，3，，則，，，且當時，單調遞增，所以當時，，而，故當時，，又，，所以數列有最小項，故選項③正確．故選：．【點評】本題以數列的有關知識為背景設計問題，要求學生能利用數列的基礎知識探究新的問題，解決此類問題，關鍵是讀懂題意，理解本質．10．【分析】在橢圓上任取一點，連接交于，交于點，連接，，，，，利用△△全等，得到，當點沿圓錐表面到達點的路線長與線段的長之和最小時，即當為直線與橢圓的交點時，求解即可得到答案．【解答】解：如圖所示，在橢圓上任取一點，連接交于，交于點，連接，，，，，在△與△中，，其中為球半徑，，為公共邊，所以△△，所以，設沿圓錐表面到達的路徑長為，則，當且僅當為直線與橢圓的交點時取等號，，故從點沿圓錐表面到達點的路線長與線段的長之和的最小值是6．故選：．【點評】本題以雙球作為幾何背景考查了橢圓知識的綜合應用，涉及了兩條線段距離之和最小的求解，解題的關鍵是確定當為直線與橢圓的交點時取得最值．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．【分析】根據直方圖求出抽樣比例，再計算抽取高三人數．【解答】解：根據直方圖知，抽樣比例為，所以應該抽取高三人數為（人．故答案為：12．【點評】本題考查了分層抽樣法與直方圖的應用問題，是基礎題．12．【分析】根據、、成等差數列，利用等差數列的性質列出關系式，化簡得到關于與的關系式，由，兩邊同時除以，得到關于的方程，求解方程得答案．【解答】解：，，成等差數列，，又數列為等比數列，，整理得：，又，，解得：或．故答案為：3或．【點評】本題題考查了等差數列的性質，等比數列的通項公式及前項和，考查運算求解能力，是基礎題．13．【分析】利用雙曲線方程直接求解漸近線方程；求出焦點坐標，然后利用雙曲線的定義求解即可得到．【解答】解：雙曲線的漸近線方程為：，雙曲線的焦點坐標，，在雙曲線上，所以，故答案為：；．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，雙曲線的漸近線方程的求法，定義的應用，是基礎題．14．【分析】根據題意，由奇函數的性質可得，結合函數的解析式可得，解可得的值，即可得函數在，上的解析式，利用函數的奇偶性分析可得答案．【解答】解：根據題意，函數是定義域的奇函數，則，又由時，，則，解可得，在區間，上，，有，又由為奇函數，則有，即函數的值域為，故答案為：1，．【點評】本題考查函數奇偶性的性質以及應用，涉及函數解析式的計算，屬于基礎題．15．【分析】當時，求出直線的方程，然后利用點到直線的距離公式結合直線與圓的位置關系進行分析，即可判斷選項①；利用圓的對稱軸經過圓心，所以直線經過兩個點，從而得到直線的斜率，即可判斷選項②；考慮極限情況，，為切點時比，為割點時的更大，故直線的斜率最大時，點，均應為切點，分析求解即可判斷選項③；根據，可得點為以為直徑的圓上，最大時應該是圓心的縱坐標加半徑，利用換元法求出最值即可判斷選項④．【解答】解：當時，直線，故圓的半徑小于點到直線的距離，所以當，直線與圓相離，故選項①正確；因為圓的對稱軸過圓心，故直線過點，又直線，所以，故選項②正確；考慮極限情況：取的中點，點在以為圓心，為半徑的圓上，則，當且僅當，，三點共線且時取等號，所以點在以為圓心，2為半徑的圓上或圓內，此時的最大值使得與此圓相切，點到的距離為，解得或（舍，此時，則，又因為，，所以，，故，，三點不共線，即取等號的條件不成立，綜上所述，選項③錯誤；設，，則的中點，，而，則點為以為直徑的圓上，設半徑為，，則，所以最大時應該是點的縱坐標加半徑，即，令，，，令，得，，，當時，，所以的最大值為，故選項④正確；故答案為：①②④．【點評】本題以命題真假的判斷為載體考查了直線與圓的位置關系的應用，涉及了換元法求解函數的最值問題、二次函數的最值問題，綜合性強，對學生分析問題和解決問題的能力以及化簡運算能力要求很高．三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16．【分析】（Ⅰ）根據直線平行于平面的判定定理可知只需證線線平行，利用平行四邊形可得，從而可證得平面；（Ⅱ）要證平面，根據線面垂直的判定定理可知只需證與平面內兩相交直線垂直即可；（Ⅲ）建立空間直角坐標系，先求出平面的法向量，然后利用公式可求出直線與平面所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）證明：在三棱柱中，，且．因為點，分別時棱，的中點，所以，且．所以四邊形是平行四邊形．所以．又因為平面，平面，所以平面．（Ⅱ）證明：因為平面，平面，所以．因為側面為矩形，所以．又因為，平面，平面，所以平面．（Ⅲ）解：分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意得，0，，2，，，2，，，0，，，0，．所以．設平面的法向量為，，，則即令，則，．于是，0，．所以．所以直線與平面所成角的正弦值為．【點評】本題主要考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理、以及線面所成角，解題的關鍵是利用空間向量的方法求解，同時考查了學生空間想象能力．17．【分析】若選擇①②③，（Ⅰ）由正弦定理可得的值，結合，可求，即可得解的值；（Ⅱ）由題意可得，可得，利用同角三角函數基本關系式可求的值，利用三角形內角和定理，兩角和的余弦公式可求，進而可求，利用正弦定理即可求解的值．若選擇①②④，（Ⅰ）利用正弦定理可得的值，由于，可得范圍，即可求解的值；（Ⅱ）由題意利用大邊對大角可求，利用同角三角函數基本關系式可求的值，利用兩角和的余弦公式可求，進而可求，由于，可求的值，根據正弦定理可得．【解答】解：若選擇①②③，（Ⅰ）因為，，由正弦定理可得，因為，所以，可得，可得．（Ⅱ）在中，，所以，所以，因為，可得，所以，所以，由正弦定理可得，可得，因為，所以．若選擇①②④，（Ⅰ）因為，，由正弦定理可得，在中，，所以，可得．（Ⅱ）在中，，所以，所以，因為，可得，所以，所以，因為，所以，由正弦定理可得．【點評】本題主要考查了正弦定理以及三角函數恒等變換在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．18．【分析】（Ⅰ）由圖表知，2013年年中，產品的平均利潤少于100元臺的看人發只有2015年，2016年，由此能求出從2013年年中隨機抽取一年，該年生產的平均利潤不少于100元臺的概率．（Ⅱ）由圖表得，年中，返修率超過千分之一的年份只有2013年和2015年，的所有可能取值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出的分布列和．（Ⅲ）的最大值為13，最小值為7．【解答】解：（Ⅰ）由圖表知，2013年年中，產品的平均利潤少于100元臺的看人發只有2015年，2016年，從2013年年中隨機抽取一年，該年生產的平均利潤不少于100元臺的概率為．（Ⅱ）由圖表得，年中，返修率超過千分之一的年份只有2013年和2015年，的所有可能取值為1，2，3，，，，的分布列為：123．（Ⅲ）的最大值為13，最小值為7．【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列、數學期望、概率的求法，考查超幾何分布分布、古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．19．【分析】（Ⅰ）由已知點，橢圓的離心率以及，，的關系式即可求解；（Ⅱ）根據已知條件推出與平行，設出點的坐標，利用平行關系以及點在橢圓上聯立方程即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：，解得，，，故橢圓的方程為：，且長軸長為；（Ⅱ）因為點在軸下方，所以點在線段（不包括端點）上，由（Ⅰ）可知，，所以的面積為，因為的面積比的面積大，所以點在線段（不包括端點）上，且的面積等于的面積，所以的面積等于的面積，所以，設，，則，因為點在橢圓上，所以，解得，，所以點的坐標為．【點評】本題考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關系的應用，涉及到三角形面積問題，考查了學生的運算能力，屬于中檔題．20．【分析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）求出的解析式，求出函數的導數，根據函數的單調性求出的最大值，從而證明結論成立；（Ⅲ）求出的解析式，通過討論的范圍，結合不等式的性質求出的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ），，令，解得：，，，的變化如下：0遞增極大值遞減故在遞增，在遞減；（Ⅱ）證明：，，，①當時，，，故，②當時，，，故，故在遞增，在遞減，故（1）；（Ⅲ），，①當時，（1），即存在1，使得（1）；②當時，由（Ⅱ）可知：，即，故，綜上，對任意，，即不存在使得，綜上，的最大值是．【點評】本題考查了函數的單調性，最值問題，考查導數的應用以及不等式的證明，考查轉化思想，分類討論思想，是一道中檔題．21．【分析】（Ⅰ）利用題中給出的新定義進行分析判斷即可；（Ⅱ）記為數表中第行第列的數，則，，不妨設（1）（2）（3）（4）（5），然后分當（3）、當（3）分別進行證明即可；（Ⅲ）分成三種情況進行證明：①先證明數表中存在行列，其