2023年高考數學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則的虛部是（）A． B． C． D．2．已知函數的最小正周期為的圖象向左平移個單位長度后關于軸對稱，則的單調遞增區間為()A． B．C． D．3．已知（），i為虛數單位，則（）A． B．3 C．1 D．54．某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體中最長的棱長為（）．A． B． C．1 D．5．若復數，其中為虛數單位，則下列結論正確的是（）A．的虛部為 B． C．的共軛復數為 D．為純虛數6．近年來，隨著網絡的普及和智能手機的更新換代，各種方便的相繼出世，其功能也是五花八門.某大學為了調查在校大學生使用的主要用途，隨機抽取了名大學生進行調查，各主要用途與對應人數的結果統計如圖所示，現有如下說法：①可以估計使用主要聽音樂的大學生人數多于主要看社區、新聞、資訊的大學生人數；②可以估計不足的大學生使用主要玩游戲；③可以估計使用主要找人聊天的大學生超過總數的.其中正確的個數為（）A． B． C． D．7．是恒成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知向量滿足,且與的夾角為,則()A． B． C． D．9．設函數，則函數的圖像可能為（）A． B． C． D．10．已知是虛數單位，若，則（）A． B．2 C． D．311．已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有一點，則（）．A． B． C． D．12．已知函數在上有兩個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數在區間上的值域為______.14．已知集合，，則____________．15．已知一組數據，1，0，，的方差為10，則________16．設函數滿足,且當時,又函數,則函數在上的零點個數為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線的參數方程為（，為參數），曲線的極坐標方程為.(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，并說明曲線的形狀；(2)若直線經過點，求直線被曲線截得的線段的長.18．（12分）已知是公比為的無窮等比數列，其前項和為，滿足，________．是否存在正整數，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由．從①，②，③這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．19．（12分）已知函數，.（1）若函數在上單調遞減，且函數在上單調遞增，求實數的值；（2）求證：（，且）.20．（12分）已知函數.（1）若在處導數相等，證明：；（2）若對于任意，直線與曲線都有唯一公共點，求實數的取值范圍.21．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為(為參數)．在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓的方程為.(1)寫出直線的普通方程和圓的直角坐標方程；(2)若點坐標為，圓與直線交于兩點，求的值．22．（10分）已知函數.（1）證明：函數在上存在唯一的零點；（2）若函數在區間上的最小值為1，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

通過復數的乘除運算法則化簡求解復數為：的形式，即可得到復數的虛部.【詳解】由題可知，所以的虛部是1.故選：D.【點睛】本題考查復數的代數形式的混合運算，復數的基本概念，屬于基礎題.2．D【解析】

先由函數的周期和圖象的平移后的函數的圖象性質得出函數的解析式，從而得出的解析式，再根據正弦函數的單調遞增區間得出函數的單調遞增區間，可得選項.【詳解】因為函數的最小正周期是，所以，即，所以，的圖象向左平移個單位長度后得到的函數解析式為，由于其圖象關于軸對稱，所以，又，所以，所以，所以，因為的遞增區間是：，，由，，得：，，所以函數的單調遞增區間為（）.故選：D.【點睛】本題主要考查正弦型函數的周期性，對稱性，單調性，圖象的平移，在進行圖象的平移時，注意自變量的系數，屬于中檔題.3．C【解析】

利用復數代數形式的乘法運算化簡得答案.【詳解】由，得，解得.故選:C.【點睛】本題考查復數代數形式的乘法運算,是基礎題.4．B【解析】

首先由三視圖還原幾何體，進一步求出幾何體的棱長．【詳解】解：根據三視圖還原幾何體如圖所示，所以，該四棱錐體的最長的棱長為．故選：B．【點睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體，考查運算能力和推理能力，屬于基礎題．5．D【解析】

將復數整理為的形式，分別判斷四個選項即可得到結果.【詳解】的虛部為，錯誤；，錯誤；，錯誤；，為純虛數，正確本題正確選項：【點睛】本題考查復數的模長、實部與虛部、共軛復數、復數的分類的知識，屬于基礎題.6．C【解析】

根據利用主要聽音樂的人數和使用主要看社區、新聞、資訊的人數作大小比較，可判斷①的正誤；計算使用主要玩游戲的大學生所占的比例，可判斷②的正誤；計算使用主要找人聊天的大學生所占的比例，可判斷③的正誤.綜合得出結論.【詳解】使用主要聽音樂的人數為，使用主要看社區、新聞、資訊的人數為，所以①正確；使用主要玩游戲的人數為，而調查的總人數為，，故超過的大學生使用主要玩游戲，所以②錯誤；使用主要找人聊天的大學生人數為，因為，所以③正確.故選：C.【點睛】本題考查統計中相關命題真假的判斷，計算出相應的頻數與頻率是關鍵，考查數據處理能力，屬于基礎題.7．A【解析】

設成立；反之，滿足，但，故選A.8．A【解析】

根據向量的運算法則展開后利用數量積的性質即可.【詳解】.故選：A.【點睛】本題主要考查數量積的運算，屬于基礎題.9．B【解析】

根據函數為偶函數排除，再計算排除得到答案.【詳解】定義域為：，函數為偶函數，排除，排除故選【點睛】本題考查了函數圖像，通過函數的單調性，奇偶性，特殊值排除選項是常用的技巧.10．A【解析】

直接將兩邊同時乘以求出復數，再求其模即可.【詳解】解：將兩邊同時乘以，得故選：A【點睛】考查復數的運算及其模的求法，是基礎題.11．B【解析】

根據角終邊上的點坐標，求得，代入二倍角公式即可求得的值.【詳解】因為終邊上有一點，所以，故選：B【點睛】此題考查二倍角公式，熟練記憶公式即可解決，屬于簡單題目.12．C【解析】

對函數求導，對a分類討論，分別求得函數的單調性及極值，結合端點處的函數值進行判斷求解.【詳解】∵，.當時，，在上單調遞增，不合題意.當時，，在上單調遞減，也不合題意.當時，則時，，在上單調遞減，時，，在上單調遞增，又，所以在上有兩個零點，只需即可，解得.綜上，的取值范圍是.故選C.【點睛】本題考查了利用導數解決函數零點的問題，考查了函數的單調性及極值問題，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由二倍角公式降冪，再由兩角和的正弦公式化函數為一個角的一個三角函數形式，結合正弦函數性質可求得值域．【詳解】，，則，.故答案為：．【點睛】本題考查三角恒等變換（二倍角公式、兩角和的正弦公式），考查正弦函數的的單調性和最值．求解三角函數的性質的性質一般都需要用三角恒等變換化函數為一個角的一個三角函數形式，然后結合正弦函數的性質得出結論．14．【解析】

由于，，則．15．7或【解析】

依據方差公式列出方程，解出即可．【詳解】，1，0，，的平均數為，所以解得或．【點睛】本題主要考查方差公式的應用．16．1【解析】

判斷函數為偶函數，周期為2，判斷為偶函數，計算，，畫出函數圖像，根據圖像到答案.【詳解】知，函數為偶函數，，函數關于對稱。，故函數為周期為2的周期函數，且。為偶函數，，，當時，，，函數先增后減。當時，，，函數先增后減。在同一坐標系下作出兩函數在上的圖像，發現在內圖像共有1個公共點，則函數在上的零點個數為1．故答案為：.【點睛】本題考查了函數零點問題，確定函數的奇偶性，對稱性，周期性，畫出函數圖像是解題的關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(1)曲線表示的是焦點為，準線為的拋物線;(2)8.【解析】試題分析：（1）將曲線的極坐標方程為兩邊同時乘以，利用極坐標與直角坐標之間的關系即可得出其直角坐標方程；（2）由直線經過點，可得的值，再將直線的參數方程代入曲線的標準方程，由直線參數方程的幾何意義可得直線被曲線截得的線段的長.試題解析：（1）由可得，即，∴曲線表示的是焦點為，準線為的拋物線.（2）將代入，得，∴，∵，∴，∴直線的參數方程為(為參數).將直線的參數方程代入得，由直線參數方程的幾何意義可知，.18．見解析【解析】

選擇①或②或③，求出的值，然后利用等比數列的求和公式可得出關于的不等式，判斷不等式是否存在符合條件的正整數解，在有解的情況下，解出不等式，進而可得出結論.【詳解】選擇①：因為，所以，所以．令，即，，所以使得的正整數的最小值為；選擇②：因為，所以，．因為，所以不存在滿足條件的正整數；選擇③：因為，所以，所以．令，即，整理得．當為偶數時，原不等式無解；當為奇數時，原不等式等價于，所以使得的正整數的最小值為．【點睛】本題考查了等比數列的通項公式求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．19．（1）1；（2）見解析【解析】

（1）分別求得與的導函數，由導函數與單調性關系即可求得的值；（2）由（1）可知當時，，當時，，因而，構造，由對數運算及不等式放縮可證明，從而不等式可證明.【詳解】（1）∵函數在上單調遞減，∴，即在上恒成立，∴，又∵函數在上單調遞增，∴，即在上恒成立，，∴綜上可知，.（2）證明：由（1）知，當時，函數在上為減函數，在上為增函數，而，∴當時，，當時，.∴∴即，∴.【點睛】本題考查了導數與函數單調性關系，放縮法在證明不等式中的應用，屬于難題.20．（I）見解析（II）【解析】

（1）由題x＞0，，由f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）處導數相等，得到，得，由韋達定理得，由基本不等式得，得，由題意得，令,則，令，，利用導數性質能證明．（2）由得，令，利用反證法可證明證明恒成立．由對任意，只有一個解，得為上的遞增函數，得，令，由此可求的取值范圍..【詳解】（I）令，得，由韋達定理得即，得令,則，令，則，得（II）由得令，則，，下面先證明恒成立．若存在，使得，，，且當自變量充分大時，，所以存在，，使得，，取，則與至少有兩個交點，矛盾．由對任意，只有一個解，得為上的遞增函數，得，令，則，得【點睛】本題考查函數的單調性，導數的運算及其應用，同時考查邏輯思維能力和綜合應用能力屬難題．21．（1）（2）【解析】試題分析：（1）由加減消元得直線的普通方程,由得圓的直角坐標方程；（2）把直線l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，由直線參數方程幾何意義得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根據韋達定理可得結果試題解析：解：（Ⅰ）由得直線l的普通方程為x+y﹣3﹣=0又由得ρ2=2ρsinθ，化為直角坐標方程為x2+（y﹣）2=5；（Ⅱ）把直線l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0設t1，t2是上述方程的兩實數根，所以t1+t2=3又直線l過點P，A、B兩點對應的參數分別為t1，t2，所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．22．（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）求解出導函數，分析導函數的單調性，再結合零點的存在性定理說明在上存在唯一的零點即可；（2）根據導函數零點，判斷出的單調性，從而可確定，利用以及的單調性，可確定出之間的關系，從而的值可求.【詳解】（1）證明：∵，∴.∵在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，∴函數在上單調遞增.又，令，，