全國青年教師觀摩大賽數學賽課一等獎作品

教學設計精品模板（三）

目錄

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說課課題：導數的概念（第三課時）

教材：全日制普通高級中學教科書數學第三冊（選修II）

（人民教育出版社）

說課教師：四川省南充高級中學韓永強

一、【教材分析】

1.本節內容：

《導數的概念》這一小節分“曲線的切線”，“瞬時速度”，“導數的概念”，“導數

的幾何意義”四個部分展開，大約需要4個課時.第一、二課時學習“曲線的切線”，“瞬

時速度”，今天說的是第三課時的內容導數概念的形成.

2.導數在高中數學中的地位與作用：

導數作為微積分的核心概念之一，在高中數學中具有相當重要的地位和作用.

從橫向看，導數處于一種特殊的地位.它是解決函數、不等式、數列、幾何等多章節

相關問題的重要工具，它以更高的觀點和更簡捷的方法簡化中學數學的許多問題.

從縱向看，導數是對函數知識的深化，對極限知識的發展，同時為以后研究導數的幾

何意義及應用打下必備的基礎，具有承前啟后的重要作用.

二、【學情分析】

1.有利因素：學生已較好地掌握了函數極限的知識，又剛剛學過曲線的切線、瞬時

速度，并積累了大量的關于函數變化率的經驗；另外，我班學生思維比較活躍，對數學新內

容的學習，有相當的興趣和積極性，這為本課的學習奠定了基礎.

2.不利因素：導數概念建立在極限基礎之上，超乎學生的直觀經驗，抽象度高；再

者，本課內容思維量大，對類比歸納，抽象概括，聯系與轉化的思維能力有較高的要求，學

生學習起來有一定難度.

三、【目標分析】

1.教學目標

(1)知識與技能目標：①理解導數的概念.②掌握用定義求導數的方法.

(2)過程與方法目標：通過導數概念的形成過程，讓學生掌握從具體到抽象，特殊

到一般的思維方法；領悟極限思想和函數思想；提高類比歸納、抽象概括、聯系與轉化的思

維能力.

(3)情感、態度與價值觀目標：

①通過合作與交流，讓學生感受探索的樂趣與成功的喜悅，體會數學的理性與嚴謹,

激發學生對數學知識的熱愛，養成實事求是的科學態度.

②培養學生正確認識量變與質變、運動與靜止等辯證唯物主義觀點，形成正確的數

學觀.

2.教學重、難點

【確定依據】依據教學大綱的要求，結合本節內容和本班學生的實際

重點：導數的定義和用定義求導數的方法.

難點：對導數概念的理解.

【難點突破】本課設計上從瞬時速度、切線的斜率兩個具體模型出發，由特殊到一般、

從具

體到抽象利用類比歸納的思想學習導數概念；把新知的核心“可導”和“導數”兩個問題結

合起來，利用轉化的思想與學生已有的極限知識相聯系，將問題化歸為考察一個關于自變量

4的函數尸（及）=-±4。當4r->0時極限是否存在以及極限是什么的問題.

Ax

四、【教學法分析】

1.教法、學法：引導發現式教學法，類比探究式學習法

教學中遵循“學生為主體，教師為主導，知識為主線，發展思維為主旨”的“四主”

原則.以恰當的問題為紐帶，給學生創設自主探究、合作交流的空間，指導學生類比探究形

成導數概念.引導學生經歷數學知識再發現的過程，讓學生在參與中獲取知識，發展思維，

感悟數學.

2.教學手段：多媒體輔助教學

【設計意圖】通過多媒體彌補傳統教學的不足，增強教學效果的直觀性，幫助學生更

好地理解無限逼近思想，揭示導數本質.

五、【教學過程分析】

【確定依據】為更好落實教學目標，把數學知識的“學術形態”轉化為數學課堂的‘'教

學形態”,，為學生創設探究空間，讓學生充分經歷、體驗數學知識再發現的過程，從中獲取知

識，發展思維，感受探索的樂趣.

（一）教學環節

復習引入

提出問題

（二）教學過程

教學內容師生活動設計意圖

環節

【回顧1】學生相互交針對新概念創設

流探討瞬時速相應的學生熟悉的問

復當運動員從10米高臺跳水時，從騰空到進入水面的過程中，度和和切線的題情景，讓學生從概念

習不同時刻的速度是不同的.假設t秒后運動員相對地面的高度為：斜率兩個具體的現實原型，體驗、感

引問題，解決方法受直觀背景和概念間

/Q）=-4.9產+6.5r+10,問在2秒時運動員的瞬時速度為

入上有什么共同的關系，為學生主動建

多少？之處.構新知提供自然的生

長點.

提【回顧2】

出

已知曲線c是函數/（X）=-4.9X2+6.5x+10的圖象，求

問

題

曲線上點P（x（）,y（））處的切線斜率.

【思考】對瞬時速度和和切線的斜率兩個具體問題，解決方法

上有什么共同之處？

①歸納共性揭示本質

研究

求解問題求解方法本質思想

類對象

物體平均

比求平均求瞬時速度

運動物體在4時求時間求位移速度極限

具速度生Ah的極思想

規律的瞬時速度增量4增量v=lim——

探AtgoJr

體限

H=h（t）

例

索割線

求割線的求切線的斜率

子曲線曲線上p（Xo，X））求橫坐標求縱坐標斜率極限

斜率生

jrAy的極思想

y=/(x)點處切線的斜率增量增量4yk=lim—

Ax機AX限

形

函數在X=Xo

般函數

7?

成處的變化率997?

情

概形

【師生活動】將學生分成若干學習小組，以表格為載體為師生、生生互動搭起積極交流的探究平臺.教師

念巡視，鼓勵學生參與，對個別學有困難的小組加以指導.探究后，共同歸納得出：兩個問題的解決在方法、本

質、思想上都有相同之處.一個是“位移改變量與時間改變量之比”的極限，一個是“縱坐標改變量與橫坐標

改變量之比”的極限.如果舍去它們的具體含義，都可以概括為求平均變化率的極限.

【設計意圖】給學生創設探究的平臺，分析瞬時速度和切線的斜率兩個具體問題，討論解決這兩個問題的

方法、本質、思想上有什么共同之處，引導學生分析、觀察、歸納，打通揭示事物本質的思維通道.

教學內容師生活動設計意圖

環節

引導學生利用求瞬時速度的方法用具體

②類比遷移形成概念和思想類比探究，猜想得出函數在點到抽象，特殊

類到一般的思

【思考】考慮求一般函數y=f（x）在點/到％+Av%處的變化率lim—

及f°Ax維方式，利用

比之間的平均變化率的極限問題，也就是怎樣計算函數瞬時速度進

/（玉）+&?）—/（%）…

=lim-----..............—,并對行類比遷移，

在點方處的變化率？

探自然引出函

猜想的合理性進行分析后，引出數在一點處

索定義1:（函數在一點處可導及其導數）可導和導數

的概念.

形

引出導數定義后，回歸問題情景，反思概念的由具體

成“原型”解釋"切線的斜率"、"物體的瞬時速度”的本到抽象再回

質.到具體的過

概程，感知上升

到了理性，強

念化了對概念

的理解.

引導學

③剖析概念加深理解組織學生閱讀“導數”定義，抓住生以數學語

類【探討1］怎樣判斷函數在一點是否可導？定義中的關鍵詞“可導”與“導數”交言（文字語

流探討，然后通過師生互動挖掘這些概言、符號語

比念之間的深層含義.言、圖形語

判斷函數）=/（X）在點X。處是否可導

言）的理解、

探把握、運用為

轉化../（x+Ax）-/（x）

----------?判斷極限lim0-------”0切入點去揭

4ToAx

索示概念的內

是否存在涵與外延，提

高學生數學

形閱讀和自主

【探討2】導數是什么？學習的能力.

成

描述角度本質分析導數的木質后，同時簡單提及導讓學生感

概文字語言瞬時變化率數產生的時代背景.受數學文化

符號語言勺的熏陶，了解

lrim

念導數的文化

Ax

圖形語言（切線斜率）價值、科學價

值和應用價

值.

教學內容師生活動設計意圖

環節

【探討3】求導數的方法是什么？讓學生類比瞬時速度的問題，用定義法求導數是

根據導數定義歸納出求函數本課的重點之一.有了可

類導這個邏輯基礎，導數成

y=/（x）在點與處導數的方法

為可導的自然結果，求導

比步驟：數的方法則是對導數概

（1）求函數的增量：念的理解與應用.讓學生

探（2）求平均變化率；積極主動參與，進行有意

（3）取極限，得導數.義的建構，有利于重點知

索識的掌握.

形

成

概

念

【例1】求函數y=x2在點x=l處的導數.本題是教材上的一道

學生動手解答，老師強調符號

例題.在學生建立起導數

語言的規范使用，對諸如（dr）?忘概念，明確用定義求導數

的方法之后,進行強化訓

寫括號的現象加以糾正.

練，滲透算法思想，加深

對導數概念的理解，強化

對重點知識的鞏固.

利用例1繼續設問，函數在x=l處可導，師生互動，共同探討歸納函通過層層展開的探

那么x=-l,x=2,x=3這些點也可導討，激活學生知識思維的

數在開區間（a,6）的每一點可導，

引嗎？從而引申拓展出定義2：（函數在開區間“最近發展區”，引導學

申每一點就有確定的唯一的導數.這生主動將新問題與原認

3,6）內可導）

拓知結構中函數的相關知

樣在開區間（a力）內構成一個特

展【探討1】函數在開區間內可導，那么對于識相聯系，自然引入導函

每一個確定的值，都有唯一確定的導數值與之相殊的映射，這里的映射是數集到數數概念，從而完成從函數

對應，這樣在開區間內存在一個映射嗎？集的映射，就是函數，我們把這個在一點可導f函數在

發開區間內可導一函數

新函數叫做/（X）在開區間

展【探討2］存在的這個映射是否構成一個新在開區間內的導函數的

概的函數呢？若能，新函數的定義域和對應法則兩次拓展.

（a,b）內的導函數。它的定義域是

念分別是什么呢？

教學內容師生活動設計意圖

環節

開區間（。,人），對應法則是對開

【探討3］怎樣求新函數的解析

式？區間內每一點求導.運用函數思

想，只要把求一點處的導數玉,替

換成X,就可以求出導函數的解

探討后引出定義3：（函數析式.

y二/（x）在開區間（。,刀內的導函數）

引

申

拓本例共兩

【例2】已知y=J1,求（1〉，'；（2）y'

分學習小組讓學生動腦思個小問，第（1）

展lx=2-考，動手“操作”，相互交流。書小問是教材上的

面總結出兩小問的區別與聯系，一道例題，第

選出代表作品用投影儀全班交（2）小問是補充

流.完善后，屏幕顯示形成共識：題.兩問都是求

【區別】導數，但它們有

本質上的區別！

（1）函數/（X）在點七處

發學生容易產生混

淆.通過此題讓

的導數，是在點與處的變化率，

展學生辨清”函數

是一個常數；

/（X）在一點處

概

（2）函數/*）的導數是

的導數”、“函數

念對開區間內任意點X而言，是

/（X）在開區間

/（X）在開區間內任意點X的變

內的導數”與“導

化率，是一個函數.數”三者的關系.

【聯系】一般而言，

>=/（X）在玉）處的導數就是

導函數f'（x）在x=x0處的函

數值，表示為V1%,這也是求

//（x（））的一種方法.

教學內容設計意圖

環節

練習：設計練習1,鞏固求

練1.已知川一2x+l,求，,/lx=2.導方法；設計練習2,通

習過適當的變式訓練，揭示

反2.設函數Hx)在X。處可導，則lim+小)-一㈤概念的內涵，提高學生的

Hi

饋模式識別的能力，培養學

等于生思維的深刻性和靈活

A./(x0)B.OC.2f(x0)O--2fM性；設計練習3,體驗實

鞏3.已知一個物體運動的位移S(m)與時間t(s)滿足關系S(t)際應用，展示概念的外

固=-2t2+5t延，讓學生認識到數學來

概(1)求物體第5秒和第6秒的瞬時速度；源于生活并應用于生活.

念通過練習，反饋學生對知

(2)求物體在t時刻的瞬時速度；

識技能的掌握情況，以便

(3)求物體t時刻運動的加速度，并判斷物體作什么運動？及時調節教學，更好的達

成教學目標.

小引導學生從知識、方

y=/(x)在/處可導及其導數

結法、思想和應用四個層面

整1進行小結，理清知識結

①知識層面：＜y=/(x)在開區間(〃涉)內可導

理構，提煉數學方法和領悟

丁數學思想，培養應用意

y=f(x)在開區間(〃,2)內的導數

形識.

成②方法層面：用定義求導數的三個步驟

系③思想層面：極限思想、函數思想、類比思想、轉化思想

統④應用層面：舉出生活中與導數有關的實例(涉及變化率問題

的問題可以考慮用導數解決).

必做題：1.教材片24習題3.11、2,3、4、5

彈性的分層作業，照

分顧到各種層次的學生.補

尸(3)=-2,則lim2匕3/乜)

2.已知/(3)=2,

層13X-3充的必做3,為下節課研

作的值為()究導數的幾何意義打下

業(A)0(B)-4(C)8(D)不存在伏筆.可導與連續的關

系，設計成選作題，既不

3.已知曲線C是函數/(X)=2%2+1的圖象

影響主體知識建構，又能

(1)求點A(l,3)處的切線的斜率使學有余力的學生得到

深(2)求函數在x=l處的導數進一步的發展.利用網

化選做題：1.有條件的同學上網查閱有關微積分產生的時代背景絡，便于學生開展自主學

概和歷史意義的資料并交流討論.習，拓展學習方式和平

念臺.

2.函數/(X)=|x|在x=0處是否可導？

3.函數y=/（x）在x=x0處可導是它在x=x0處連續的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條D.既不充分也不必要條件

（三）板書設計（板書附后）

【設計意圖】本課使用了電腦投影屏幕，黑板上的板書保留勾勒本課知識發展的主要線

索，呈現完整的知識結構體系，用彩色粉筆突出重點，強化學生對新信息的納入，同時對新

學的符號語言的規范使用進行示范.

板書設計：

導數的概念（第三課時）

例…電子屏幕

定義1函數在點x可導及導數

J例2.0000000000

定義2函數在開區間內可導課堂練習

定義3函數在開區間內的導函數

?課堂小結

I辨析：f'（X。）與f'（x）

導數布置作業

六、【教學反思】

一個概念的形成是螺旋式上升的，對新概念的抽象不僅是對結果的抽象，更是對方法和

過程的抽象.本課設計上，把數學知識的“學術形態”轉化為數學課堂的“教學形態”，返璞

歸真，從兩個反應概念現實原型的具體問題出發，引出函數在一點處的導數再到開區間內的

導函數，引導學生經歷了一個完整的數學概念發生、發展的探究過程.提出問題、觀察歸納、

概括抽象，拓展概念讓學生充分經歷了具體到抽象，特殊到一般，感性到理性，直觀到嚴謹

的知識再發現過程，教師作為學生學習的組織者、引導者、合作者創設機會和空間，激活學

生思維的最近發展區，倡導學生積極參與，自主探究，發現知識，培養能力.把可導與連續

的關系，設計成彈性化的選作題，既不影響主體知識建構，又能使學有余力的學生得到進一

步的發展.以上，體現了以學生的發展為本，不是教教材而是用教材教；教學中不是重結論,

而是重過程和方法；不是采用接受式的學習方式，而是采用探究、交流的方式；不是統一要

求，而是因材施教尊重個體差異.這樣的設計符合學生認知規律，促進了個性化學習，更好

地實現了教學目標.

《導數的概念》教案說明

四川省南充高級中學韓永強

本節課的設計以新課程的教學理念為指導，遵循“學生為主體，教師為主導，知識為

主線，發展思維為主旨”的原則。以學生發展為本，讓學生在經歷數學知識再發現的過程中

獲取知識，發展思維，感悟數學。教學的設計充分考慮了以下幾方面內容：

一、教學內容的數學本質

(1)導數的科學價值和應用價值

導數是微積分的核心概念之一，是從生產技術和自然科學的需要中產生的，它深刻

揭示了函數變化的本質，其思想方法和基本理論在在天文、物理、工程技術中有著廣泛的應

用，而且在日常生活及經濟領域也日漸顯示出其重要的功能。

(2)知識的內在聯系

在中學數學中，導數具有相當重要的地位和作用。從橫向看，導數在現行高中教材

體系中處于一種特殊的地位。它是眾多知識的交匯點，是解決函數、不等式、數列、幾何等

多章節相關問題的重要工具，它以更高的觀點和更簡捷的方法對中學數學的許多問題起到以

簡馭繁的處理。

從縱向看，導數是函數一章學習的延續和深化，也是對極限知識的發展，同時為后繼

研究導數的幾何意義及應用打下必備的基礎，具有承前啟后的重要作用。

(3)數學思想方法的提煉

通過本課導數概念的形成過程，讓學生掌握從具體到抽象，特殊到一般的思維方法；

領悟極限思想和函數思想；提高類比歸納、抽象概括、聯系與轉化的思維能力.進一步體會

數學的本質。

二、教學目標的確定

學情是確定教學目標的基礎之一。導數概念建立在極限基礎之上，無限逼近的思想超

乎學生的直觀經驗，抽象度高；再者，本課所用教材沒有給出嚴格的函數極限的定義。如果

對教學目標沒有準確的定位，教學的重心很可能被難以理解的極限所牽制。因此，教學中，

兼顧數學理想與嚴謹的同時，也充分考慮學生的認知規律和可接受性原則，循序漸近，螺旋

上升。

立足于學情，結合教學大綱的要求，本課從“知識與技能”“過程與方法”“情感、態

度與價值觀”三方面擬定了立體化的教學目標。以過程與方法為平臺，以情感、態度的體驗

與價值觀為依托，讓數學知識在課堂中得以傳承，能力得到發展。做到知識與能力并重，認

知與情感相融。

三、教學診斷分析

導數的定義和用定義求導數的方法是本節的重點，教材后續內容在推導導數運算法則與

某些導數公式時，都是以此為依據的。根據求物體瞬時速度的方法和思想進行遷移，并結合

導數的定義學生不難掌握求導方法。但是學生對文字，符號，圖形三種語言的相互轉化仍有

一定困難，特別是對符號語言的規范使用要加以強調，因此在教學中注重培養學生的數學交

流能力。

對導數概念的理解是本課的難點。具體教學表明，難點又主要集中在對瞬時變化率中

“瞬時”二字的理解上。教學中借助于多媒體直觀演示，無限逼近的過程，幫助學生更好理

解極限思想，掃清思維障礙，有效突破難點。

導數的定義中還包含了可導的概念，如果4->0時，生有極限，才有函數y=/（x）在

Ax

點X。處可導，進而才能得到了（X）在點X。處的導數。那么“可導”和“導數”兩個問題可結

合起來，利用轉化的思想與已有的極限知識相聯系，將問題化歸為考察一個關于自變量4的

函數尸（4r）=以泡士組當4-0時極限是否存在以及極限是什么的問題。教學表明，一部

份學生往往把需要判斷的極限誤認為是/（X）在X。處的極限，須重視。

導函數簡稱導數，教材前后兩處出現“導數”定義，初學者易產生混淆。問題的實質

就在于弄清“函數/（尤）在一點處的導數”、“函數/（X）在開區間內的導數”與“導數”三

者的區別與聯系。教學中通過改編的例題，組織學生動腦思考，動手操作，相互交流，幫助

學生理清概念間的關系。

適當的變式訓練，有助于加深學生對概念內涵的理解。在練習與作業中分別設計了“設

函數f（x）在施處可導，則lim"包了"）一/（囹■一&）等于（）A.￡（x0）B.O

J%

C.2f'（劉）D.-2f（x。）”和“已知F（3）=2,/'（3）=—2,貝也im2》-3/（x）的

Xf3x-3

值為（）（A）0（B）-4（C）8（D）不存在”這樣兩個題，提高學生的思維和能力水平。

四、教法的特點以及預期效果

教學中充分發揮學生的主體和教師的主導作用。用新課程理念處理傳統教材，以恰當的

問題為紐帶，給學生創設自主探究、合作交流的空間，指導學生類比探究形成導數概念，引

導學生經歷數學知識再發現的過程。因此采用了引導發現式教學法。

（1）教學設計上，把數學知識的“學術形態”轉化為數學課堂的“教學形態”，返璞

歸真，從兩個反應概念現實原型的具體問題出發，讓學生像數學家那樣去“想數學”，

“經歷”一遍發現、創新的過程，體現了以學生的發展為本，不是教教材而是用教材

教。

(2)在概念的教學過程中，與一般設想不同。如一般設想是“重結果，輕過程”，常常

是直接給出一個定義，幾項注意后，就是大量變式訓練。本課的設計上注重過程教學，提出

問題、觀察歸納、概括抽象，拓展概念讓學生充分經歷了具體到抽象，特殊到一般，感性到

理性，直觀到嚴謹的知識再發現過程，引導學生經歷了一個完整的數學概念發生、發展的探

究過程，讓學生在參與中獲取知識，發展思維，感悟數學。

(3)教學過程中，以三種不同數學語言的識別、理解、組織、轉換為切入點，組織學

生進行數學閱讀，培養自主學習的能力。借助于多媒體，直觀顯示4-0而引起平均速度

的系列變化，讓學生從''數"的角度領悟極限思想，通過割線變切線的動態過程，讓學生從

“形”的角度領悟極限思想。從而，更好地揭示導數的本質。

(4)教學中，對不同層次的學生，提出不同的教學要求，采取不同的教學方法進行情

感激勵。對學有困難的學生更多地給予幫助和肯定，以激發他們學習數學的興趣和信心。根

據不同學情，把可導與連續的關系，設計成彈性化的選作題，既不影響主體知識建構，又能

使學有余力的學生得到進一步的發展，尊重了學生的個體差異，讓每位學生的數學才能都

能獲得較好的發展。

(5)教學中，努力以數學文化滋養課堂。讓學生了解導數的科學價值、文化價值和基

本思想，體會到數學的理性與嚴謹，激發起對數學知識的熱愛，養成實事求是的科學態度。

同時，培養學生正確認識量變與質變、運動與靜止等辯證唯物主義觀點，形成正確的數學觀。

以上的教學設計，符合學生認知規律，促進了個性化學習，有利于教學目標的落實。

?教案

導數的幾何意義

教材：人教A版?普通高中課程標準實驗教科書?數學-選修1T

授課教師:廣東省東莞市東莞中學數學科劉瑞紅

【教學目標】

知識與技能目標：

本節的中心任務是研究導數的幾何意義及其應用，概念的形成分為三個層次：

(1)通過復習舊知“求導數的兩個步驟”以及“平均變化率與割線斜率的關系”,

解決了平均變化率的幾何意義后，明確探究導數的幾何意義可以依據導數

概念的形成尋求解決問題的途徑。

(2)借助兩個類比的動畫，從圓中割線和切線的變化聯系，推廣到一般曲線中

用割線逼近的方法直觀定義切線。

(3)依據割線與切線的變化聯系，數形結合探究函數/a)在x=處的導數

f'(xa)的幾何意義，使學生認識到導數/U)就是函數/(%)的圖象在

x=處的切線的斜率。即：

/(%)=1而送土