2．3.2空間兩點間的距離1．了解由特殊到一般推導空間兩點間的距離公式的過程．(重點)2．會應用空間兩點間的距離公式求空間中的兩點間的距離．(難點)[根底·初探]教材整理1空間兩點間的距離公式閱讀教材P120～P121，完成以下問題．1．平面直角坐標系中，兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離為P1P2＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特別地，點A(x，y)到原點距離為OA＝eq\r(x2＋y2).2．空間兩點P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的距離公式是P1P2＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).特別地，點A(x，y，z)到原點的距離公式為OA＝eq\r(x2＋y2＋z2).1．點P(－2，－1,1)到原點的距離為________．【解析】PO＝eq\r(－22＋－12＋12)＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)2．點A(1,0,2)，B(－3,4,0)，那么|AB|＝________.【解析】|AB|＝eq\r(1＋32＋0－42＋2－02)＝eq\r(36)＝6.【答案】63．給定空間直角坐標系，在x軸上找一點P，使它與點P0(4,1,2)的距離為eq\r(30)，那么該點的坐標為__________．【解析】設點P的坐標是(x,0,0)，由題意得，P0P＝eq\r(30)，即eq\r(x－42＋12＋22)＝eq\r(30)，∴(x－4)2＝25，解得x＝9或x＝－1.∴點P的坐標為(9,0,0)或(－1,0,0)．【答案】(9,0,0)或(－1,0,0)教材整理2空間兩點的中點坐標公式閱讀教材P122，完成以下問題．連結空間兩點P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的線段P1P2的中點M的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))).1．假設O為原點，P點坐標為(2，－4，－6)，Q為OP中點，那么Q點的坐標為________．【解析】設Q(x，y，z)，那么x＝eq\f(2＋0,2)＝1，y＝eq\f(－4＋0,2)＝－2，z＝eq\f(－6＋0,2)＝－3，∴Q(1，－2，－3)．【答案】(1，－2，－3)2．如圖2－3－10，在長方體OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，M是OB1與BO1的交點，那么圖2－3－10【解析】∵OA＝2，AB＝3，AA1＝2，∴O(0,0,0)，B1(2,3,2)．又∵M為OB1的中點，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)，1)).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)，1))[小組合作型]空間中兩點間距離的計算如圖2－3－11，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為a，M為BD′的中點，點N在A′C′上，且A′N＝3NC′，試求MN的長．圖2－3－11【精彩點撥】解答此題關鍵是先建立適當坐標系，把M，N兩點的坐標表示出來，再利用公式求長度．【自主解答】以D為原點，建立如下圖的空間直角坐標系．因為正方體的棱長為a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．由于M為BD′的中點，取A′C′的中點O′，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2)))，O′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，a)).因為A′N＝3NC′，所以N為A′C′的四等分點，從而N為O′C′的中點，故Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，\f(3a,4)，a))，根據空間兩點距離公式，可得MN＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(3a,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－a))2)＝eq\f(\r(6),4)a.利用空間兩點間的距離公式求空間兩點間距離的步驟：(1)建立適當的坐標系，并寫出相關點的坐標；(2)代入空間兩點間的距離公式求值．[再練一題]1．△ABC的三個頂點A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)．(1)求△ABC中最短邊的邊長；(2)求AC邊上中線的長度．【解】(1)由空間兩點間距離公式得AB＝eq\r(1－22＋5－32＋2－42)＝3，BC＝eq\r(2－32＋3－12＋4－52)＝eq\r(6)，AC＝eq\r(1－32＋5－12＋2－52)＝eq\r(29)，∴△ABC中最短邊是BC，其長度為eq\r(6).(2)由中點坐標公式得，AC的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3，\f(7,2))).∴AC邊上中線的長度為eq\r(2－22＋3－32＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(7,2)))2)＝eq\f(1,2).[探究共研型]空間兩點間距離公式的應用探究1在空間直角坐標系中，點A(1,0,2)，B(1，－3,1)，點M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，那么M的坐標是什么？【提示】設M(0，a,0)，由得MA＝MB，即eq\r(12＋a2＋22)＝eq\r(12＋－3－a2＋12)，解得a＝－1，故M(0，－1,0)．探究2方程(x－1)2＋(y－2)2＋(z－3)2＝25的幾何意義是什么？【提示】依題意eq\r(x－12＋y－22＋z－32)＝5，點(x，y，z)是空間中到點(1,2,3)距離等于5的點，即以點(1,2,3)為球心，以5為半徑的球面．A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求AB取最小值時A，B兩點的坐標，并求此時的AB的長度．【精彩點撥】解答此題可由空間兩點間的距離公式建立AB關于x的函數，由函數的性質求x，再確定坐標．【自主解答】由空間兩點間的距離公式得AB＝eq\r(1－x2＋[x＋2－5－x]2＋[2－x－2x－1]2)＝eq\r(14x2－32x＋19)＝eq\r(14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,7)))2＋\f(5,7))，當x＝eq\f(8,7)時，AB有最小值eq\r(\f(5,7))＝eq\f(\r(35),7)，此時Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,7)，\f(27,7)，\f(9,7)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(22,7)，\f(6,7))).解決這類問題的關鍵是根據點的坐標的特征，應用空間兩點間的距離公式建立與未知的關系，再結合條件確定點的坐標．[再練一題]2.如圖2－3－12所示，正方形ABCD，ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，點M在AC上移動，點N在BF上移動，假設CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))．圖2－3－12(1)求MN的長；(2)當a為何值時，MN的長最小.【解】以B為坐標原點，BA，BE，BC所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如下圖．∵正方形ABCD，ABEF的邊長都是1，且CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))，∴易得點M，N的坐標分別為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，1－\f(\r(2),2)a))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，0)).∴當a＝eq\f(\r(2),2)時，MN的長最小，且最小值為eq\f(\r(2),2).1．點M(4，－3,5)到原點的距離d1＝________，到z軸的距離d2＝________.【解析】d1＝eq\r(42＋－32＋52)＝eq\r(50)＝5eq\r(2)d2＝eq\r(4－02＋－3－02＋5－52)＝5.【答案】5eq\r(2)52．△ABC三個頂點的坐標分別為A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)，那么BC邊上的中線長為________.【解析】∵B(4，－2，－2)，C(0,5,1)，∴BC的中點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)，－\f(1,2)))，∴BC邊上的中線長為【答案】eq\f(\r(30),2)3．點A(x,1,2)和點B(2,3,4)，且AB＝2eq\r(6)，那么實數x的值是________．【解析】由題意得eq\r(x－22＋1－32＋2－42)＝2eq\r(6)，解得x＝－2或x＝6.【答案】－2或64．在空間直角坐標系中，正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A(3，－1,2)，其中心M【解析】∵AM＝eq\r(3－02＋－1－12＋2－22)＝eq\r(13)，∴正方體的體對角線長為2eq\r(13).∵3a2＝52(a為正方體的棱長)，∴a＝eq\f(2\r(39),3).【答案】eq\f(2\r(39),3)5．A(1，－2,11)，B(4,2