直紋曲面模型§7

直紋二次曲面第1頁/共54頁第一頁，共55頁。直紋曲面模型§7

直紋二次曲面第2頁/共54頁第二頁，共55頁。(一)橢球面[1]橢球面:[2]點:(二)雙曲面[3]單葉雙曲面:非空二次曲面有下面這

14種類型(五大類):[4]雙葉雙曲面:§7

直紋二次曲面第3頁/共54頁第三頁，共55頁。(三)拋物面[5]橢圓拋物面:[6]雙曲拋物面:(四)二次錐面[7]二次錐面:(五)二次柱面[8]橢圓柱面:§7

直紋二次曲面第4頁/共54頁第四頁，共55頁。[9]一條直線:[10]雙曲柱面:[11]一對相交平面:[12]拋物柱面:[14]一張平面:[13]一對平行平面:§7

直紋二次曲面第5頁/共54頁第五頁，共55頁。其中所有二次柱面和二次錐面都是直紋面.橢球面和點都是有界二次曲面,容不下直線,故它們都不是直紋面.雙葉雙曲面不是直紋面,因為當它由方程[4]

給出時,它的圖像在平面z=c上方或z

=c下方,因此平行于xy面的直線和與xy面相交的直線都不可能全在曲面上.橢圓拋物面也不是直紋面,因為當它由方程[5]

給出時,它的圖像完全在xy面上方,因此平行于xy面的直線和與xy面相交的直線都不可能全在曲面上.§7

直紋二次曲面第6頁/共54頁第六頁，共55頁。7.1雙曲拋物面的直紋性

雙曲拋物面上有直線,這是已經知道的.

例如

xy平面的截線就是一對相交直線.

事實上有定理:雙曲拋物面是直紋面.雙曲拋物面的直紋性證明:設雙曲拋物面S的方程為改寫為第7頁/共54頁第七頁，共55頁。容易看出,對任何實數c,平面與S

的交線是直線平面與S

的交線是直線7.1雙曲拋物面的直紋性第8頁/共54頁第八頁，共55頁。于是,得到S上的兩族直母線I={lc|cR}

和I={lc|c

R},x

y

z

7.1雙曲拋物面的直紋性第9頁/共54頁第九頁，共55頁。

7.1雙曲拋物面的直紋性第10頁/共54頁第十頁，共55頁。先證:對S上任一點M0(x0,y0,z0),每族直母線中都恰好有一條經過M0

.

令則M0在平面上,

從而M0.

而當c

c0時,

M0不在平面上,

從而M0lc,

因此,I

中經過M0的直線只有一條.類似地,令I

中經過M0的直線也只有一條.7.1雙曲拋物面的直紋性第11頁/共54頁第十一頁，共55頁。

上面已經證明了:雙曲拋物面S上的每個點都在直母線族I

中和I

中.

反過來證明:直母線族I

和I

中的每個點也都在雙曲拋物面S上.則有M1(x1,y1,z1),任取直母線族I

中的一條直線

以及其上一點①②7.1雙曲拋物面的直紋性第12頁/共54頁第十二頁，共55頁。將①代入②并整理得即M1(x1,y1,z1)

在雙曲拋物面S上.這說明:直母線族I

中的每個點都在S上.類似可證:直母線族I

中的每個點也都在S上.綜上證明了:雙曲拋物面S由一族直線I構成或由一族直線I

構成

,從而是直紋面.7.1雙曲拋物面的直紋性第13頁/共54頁第十三頁，共55頁。例1

在雙曲拋物面求平行于平面3x+2y4z+1=0

的直母線方程.解:設所求直母線為和7.1雙曲拋物面的直紋性第14頁/共54頁第十四頁，共55頁。即和方向向量為(1,2,0)(c1,2c1,8)=4(4,2,c1),和(1,2,0)(c2,2c2,8)=4(4,2,c2),直母線與已知平面平行,故有(4,2,c1)(3,

2,4)=0,和(4,2,c2)(3,

2,4)=0,7.1雙曲拋物面的直紋性第15頁/共54頁第十五頁，共55頁。得c1=4,c2

=2,因此所求直母線為和7.1雙曲拋物面的直紋性第16頁/共54頁第十六頁，共55頁。雙曲拋物面的兩族直母線的性質(1)對S上任一點M0(x0,y0,z0),每族直母線中都恰好有一條經過M0

.

(2)同族的直母線都平行于同一張平面,

同族的兩條不同直母線一定異面.(3)異族的直母線一定相交.(4)I和I無公共直母線.(5)S

上的所有直母線都在I或I中.7.1雙曲拋物面的直紋性第17頁/共54頁第十七頁，共55頁。證明:(1)已在定理的證明中證過.(2)前半部分顯然:I中的直母線都平行于平面I

中的直母線都平行于平面后半部分證明:設c1c2

,7.1雙曲拋物面的直紋性第18頁/共54頁第十八頁，共55頁。則其方向向量可分別取為因此直線和不平行,從而異面.7.1雙曲拋物面的直紋性第19頁/共54頁第十九頁，共55頁。(3)

任取兩數c1,c2

,則其方向向量可分別取為7.1雙曲拋物面的直紋性第20頁/共54頁第二十頁，共55頁。顯然

u1

與u2

不平行,從而

l1

與l2

不平行;再在l1

和l2分別取點

因為(M1M2,

u1,

u2)

=0.所以

l1

與l2

共面,從而必定相交.

7.1雙曲拋物面的直紋性第21頁/共54頁第二十一頁，共55頁。(4)由(3)即知.(5)設l是S

的直母線,則它不會平行于xz面和

yz面(因為平行于xz面和yz面的截線都是拋物線).因此可假設它在xy面上的投影方程為y=tx+r,t

0.

于是l有一般方程7.1雙曲拋物面的直紋性第22頁/共54頁第二十二頁，共55頁。從而l又有一般方程其中第一個方程的圖像是平行于y軸的柱面.此柱面與平面的交線是直線

它本身是平面,故它的左邊是一次式,即有|t|=b/a.于是l方程為是I或I中的直母線.

7.1雙曲拋物面的直紋性第23頁/共54頁第二十三頁，共55頁。概括起來:雙曲拋物面恰有兩族直母線cR,

同族的直母線都平行于同一張平面;異族的直母線一定相交.有如下特征性質:方向向量分別為:uc

(a,b,c),uc

(a,b,c),

同族的兩條不同直母線一定異面;7.1雙曲拋物面的直紋性第24頁/共54頁第二十四頁，共55頁。

單葉雙曲面的直紋性7.2單葉雙曲面的直紋性定理:單葉雙曲面是直紋面.

單葉雙曲面可由旋轉單葉雙曲面(其直紋性見p92)經過壓縮而得到,而旋轉單葉雙曲面是直紋面,壓縮變換把直線變成直線,且不改變直線的共面性和平行性,因此有設單葉雙曲面S的方程為第25頁/共54頁第二十五頁，共55頁。改寫為則對于任意一對不全為零的實數s,

t,直線都在單葉雙曲面S上.于是,得到S上的兩族直母線I={ls:t|s,t不全為零},I={ls:t|s,t不全為零}.7.2單葉雙曲面的直紋性第26頁/共54頁第二十六頁，共55頁。

7.2單葉雙曲面的直紋性第27頁/共54頁第二十七頁，共55頁。

單葉雙曲面的兩族直母線的性質(1)對S上任一點M0(x0,y0,z0),每族直母線中各有一條經過M0

.

(3)

同族的任何三條直母線都不會平行于同一張平面,同族的兩條不同直母線一定異面.(4)異族的直母線一定共面.(5)I和I無公共直母線.(2)S

上的所有直母線都在I或I中.7.2單葉雙曲面的直紋性第28頁/共54頁第二十八頁，共55頁。證明:(1)

設M0(x0,y0,z0)

在單葉雙曲面S上,

則和不全為零.如果,令令則M0

在

上.則M0

在

上;7.2單葉雙曲面的直紋性第29頁/共54頁第二十九頁，共55頁。如果,令令(2)

證明非常復雜,從略.(3)

第一部分:

任取I中三條不同的直母線則M0

在

上;則M0

在

上.7.2單葉雙曲面的直紋性第30頁/共54頁第三十頁，共55頁。容易算出它們的方向向量分別為因為7.2單葉雙曲面的直紋性第31頁/共54頁第三十一頁，共55頁。0,7.2單葉雙曲面的直紋性第32頁/共54頁第三十二頁，共55頁。因此不會平行于同一個平面.類似可證I

中三條不同的直母線也不會平行于同一個平面.第二部分:

任取I中二條不同的直母線它們的方向向量分別為7.2單葉雙曲面的直紋性第33頁/共54頁第三十三頁，共55頁。分別取上的點M1,M2,因為7.2單葉雙曲面的直紋性第34頁/共54頁第三十四頁，共55頁。7.2單葉雙曲面的直紋性第35頁/共54頁第三十五頁，共55頁。因此異面.7.2單葉雙曲面的直紋性第36頁/共54頁第三十六頁，共55頁。(4)

任取I中的直母線和I中的直母線它們的方向向量分別為分別取上的點M1和上的點M2,

7.2單葉雙曲面的直紋性第37頁/共54頁第三十七頁，共55頁。因為7.2單葉雙曲面的直紋性第38頁/共54頁第三十八頁，共55頁。=0,因此共面.(5)

由(3)和(4)可知.7.2單葉雙曲面的直紋性第39頁/共54頁第三十九頁，共55頁。概括起來:單葉雙曲面恰有兩族直母線其中s,

t不全為零.7.2單葉雙曲面的直紋性第40頁/共54頁第四十頁，共55頁。同族的任何三條不同的直母線都不平行于同一張平面;異族的直母線一定共面.有如下特征性質:方向向量可分別取為:同族的兩條不同直母線一定異面;7.2單葉雙曲面的直紋性第41頁/共54頁第四十一頁，共55頁。單葉雙曲面是直紋曲面.上面有兩族母直線族,各族內母線彼此不相交,而與另一族母線相交,正是這種性質在技術中得到了應用.

例如,用直立木桿造水塔,如果把這些桿垂直地放置,那就只能得到一個很不牢固的建筑物,它會因為非常小的負荷而損壞.如果立桿時,使它們構成一個單葉雙曲面(就是兩組母線族),并使它們的交點處連接在一起,就會得到一個非常輕巧而又非常堅固的建筑物.許多化工廠或熱電廠的冷卻塔就是利用了這個原理.7.2單葉雙曲面的直紋性第42頁/共54頁第四十二頁，共55頁。火電廠、核電站的循環水自然通風冷卻的一種構筑物。建在水源不十分充足的地區的電廠，為了節約用水，需設置冷卻構筑物，以使從冷卻器排出的熱水在其中冷卻后可重復使用。大型電廠采用的冷卻構筑物多為雙曲線型冷卻塔.英國最早使用這種冷卻塔。20世紀30年代以來在各國廣泛應用，40年代在中國東北撫順電廠、阜新電廠先后建成雙曲線型冷卻塔群。7.2單葉雙曲面的直紋性第43頁/共54頁第四十三頁，共55頁。冷卻塔由集水池、支柱、塔身和淋水裝置組成.塔身為有利于自然通風的雙曲線形無肋無梁柱的薄壁空間結構，多用鋼筋混凝土制造，塔高一般為75～110米，底邊直徑65～100米。雙曲線型冷卻塔比水池式冷卻構筑物占地面積小，布置緊湊，水量損失小，且冷卻效果不受風力影響；它又比機力通風冷卻塔維護簡便，節約電能；但體形高大，施工復雜，造價較高.7.2單葉雙曲面的直紋性第44頁/共54頁第四十四頁，共55頁。例2

求單葉雙曲面(a>c

或b>c)上的正交的直母線交點的軌跡.解:為簡化計算,單葉雙曲面的直母線族中的雙參數可以改為單參數如下:7.2單葉雙曲面的直紋性第45頁/共54頁第四十五頁，共55頁。注意:

lu

族比ls:t族中缺少一條直線lv

族比ls:t族中缺少一條直線7.2單葉雙曲面的直紋性第46頁/共54頁第四十六頁，共55頁。由單葉雙曲面的直母線的性質可知,正交的直母線必異族.從中各自任取一條為:其方向向量分別為:lu

:(a(u21),2bu,c(u2+1))lv

:(a(v21),2bv,c(v2+1))7.2單葉雙曲面的直紋性第47頁/共54頁第四十七頁，共55頁。它們的交點坐標為由于兩直母線垂直,所以a2(u21)(v21)4b2uv+c2

(u2+1)(v2+1)=0,即a2[(uv+1)2(u+v)2]+b2[(uv)2(u+v)2]+c2

[(uv1)2+(u+v)2]=0,7.2單葉雙曲面的直紋性第48頁/共54頁第四十八頁，共55頁。也即這說明交點坐標滿足方程x2+y2+z2

=a2+b2c2,又異族兩直母線的交點必定在原單葉雙曲面上,故所求軌跡的方程為7.2單葉雙曲面的直紋性第49頁/共54頁第四十九頁，共55頁。注:

一般二次直紋面的直母線族的一種求法:設二次方程可寫成F(x,y,z)G(x,y,z)=H(x,y,z)K(x,y,z),其中F,G,H,K是x,y,z

的一次式或常數,則這曲面有直母線族:和7.2單葉雙曲面的直紋性第50頁/共54頁第五十頁，共55頁。例3

說明方程

(x+y)(y+z)=