1.彈性桿件的變形與變形能計算2.變形體虛功原理3.4.圖乘法5.其他外因引起的位移計算6.互等定理7.結論與討論第三章靜定結構的位移計算DisplacementofStaticallyDeterminateStructures1結構位移計算概述

一、結構的位移(DisplacementofStructures)AFP線位移，角位移，相對線位移、角位移等統稱廣義位移線位移角位移相對線位移CDFP相對角位移制造誤差等鐵路工程技術規范規定:

二、計算位移的目的引起結構位移的原因(1)剛度要求如：荷載、溫度改變

T、支座移動c、在工程上，吊車梁允許的撓度<1/600跨度；橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度<1/700和1/900跨度高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。2變形體虛功原理

(PrincipleofVirtualWork)一、功(Work)、實功(RealWork)和虛功(VirtualWork)兩種狀態力狀態位移狀態FPFP/2FP/2（虛）力狀態（虛力狀態）（虛位移狀態）無關（虛）位移狀態q注意：（3）位移狀態與力狀態完全無關；（2）均為可能狀態。即位移應滿足變形協調條件；力狀態應滿足平衡條件。（1）屬同一體系；一些基本概念：實功：廣義力在自身所產生的位移上所作的功功：力×力方向位移之總和廣義力：功的表達式中，與廣義位移對應的項功：廣義力×廣義位移之總和虛功：廣義力與廣義位移無關時所作的功W=FP×Δ/2W=FP1×Δ11/2orW=FP2×Δ22/2W=FP1×Δ12orW=FP2×Δ21變力功（2）剛體系的虛功原理

去掉約束而代以相應的反力，該反力便可看成外力。則有：剛體系處于平衡的必要和充分條件是：

對于任何可能的虛位移，作用于剛體系的所有外力(主動力)所做虛功之和為零。FPΔPΔB-FPΔP+FB

ΔB=0原理的表述：任何一個處于平衡狀態的變形體，當發生任意一個虛位移時，變形體所受外力在虛位移時所作的總虛功δWe，恒等于變形體所接受的總虛變形功δWi。也即恒有如下虛功方程成立δWe=δWi（3）變形體的虛功原理變形體虛功原理的證明外力總虛功=各部分外力總虛功的總和變形體虛功原理的證明

變形體是平衡的，其各部分也必然平衡。因此，各部分上的外力是平衡力系。方案二：各部分外力不區分，虛位移區分δW

=δWi

根據剛體虛位移原理，外力在剛體虛位移上的總虛功等于零。因此各部分外力總虛功=外力在變形虛位移上的總虛功兩方案計算同一內容，因此δWe=δWi各部分的虛位移區分為：剛體虛位移和變形虛位移兩類。但必須注意，虛位移是光滑連續的，可剛體和變形虛位移在分割面處一般是不光滑、連續的。需要強調的幾個問題

原理的證明表明，原理適用于任何力學行為(線性和非線性)的變形體，適用于任何結構。虛功原理里存在兩個狀態：力狀態必須滿足平衡條件；位移狀態必須滿足協調條件。因此原理僅是必要性命題。

由于外力在變形虛位移上所作的功相對分割面內力的虛變形功為高階小量，因此許多文獻上稱δWi為內力總虛功。原理可有兩種應用：實際待分析的平衡力狀態，虛設的協調位移狀態，將平衡問題化為幾何問題來求解。需要強調的幾個問題實際待分析的協調位移狀態，虛設的平衡力狀態，將位移分析化為平衡問題來求解。第一種應用一些文獻稱為“虛位移原理”，而將第二種應用稱為“虛力原理”。更確切的說法為，兩種應用的依據是上述兩原理的必要性命題。上述兩原理都是充分、必要性命題，它們和虛功原理是有區別的。質點系是一個離散化體系，變形體是一個連續體。我們認為，所謂將質點系虛位移原理()“應用于變形體”是不妥當的。Σfiδri=0→→.δWi的計算:微段拉伸微段剪切微段彎曲δWi=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds取微段,其受力如下對于直桿體系，由于變形互不耦連，所以變形可看成有如下幾部分微段受力微段扭轉桿系結構虛功方程根據上述推證，可得桿系結構虛功方程如下δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds=δWi以上結論與材料物理性質及具體結構無關，因此，虛功原理虛功方程既適用于一切線性結構，也適用于一切非線性結構。希望能很好理解，盡可能達到掌握！三、虛功原理的兩種應用1）虛功原理用于虛設的協調位移狀態與實際的平衡力狀態之間。例.求A端的支座反力(ReactionatSupport)。FPABaC(a)b解：去掉A端約束并代以反力X，構造相應的虛位移狀態如圖(b)、(c)通常取單位位移法(Unit-DisplacementMethod)(1)對靜定結構，這里實際用的是剛體虛位移原理，實質上是實際受力狀態的平衡方程，即幾點說明：(3)求解時關鍵一步是找出虛位移狀態的位移關系。(2)虛位移與實際力狀態無關,故可設特點:

用幾何法來解靜力平衡問題。例.求A端支座發生豎向位移c時引起C點的豎向位移.(a)ABaCbc2）虛功原理用于虛設的平衡力狀態與實際的協調位移狀態之間。解：首先構造出相應的虛設力狀態。即，在擬求位移之點（C點）沿擬求位移方向（豎向）設置單位荷載。1ABC(b)由求得：虛功方程為：這便是單位荷載法

(Dummy-UnitLoadMethod)它是Maxwell,1864和Mohr,1874提出，故也稱為Maxwell-MohrMethod幾點說明：(1)所建立的虛功方程,實質上是幾何方程。

3單位荷載法一、位移計算的一般公式(GeneralFormulaofDisplacements)將虛功原理用于實際協調位移和虛設平衡力狀態間已介紹過——單位荷載法。下面從虛功方程入手，討論桿系結構位移計算的一般公式。桿系結構虛功方程為δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds=δWi設待求的實際廣義位移為Δ設僅在廣義力P作用下，與之平衡的軸力、剪力、扭矩和彎矩分別為FN、

FQ、Mx和M。實際位移狀態FPABC虛設的力狀態PABCFN、

FQ、Mx和M，與Δ對應的廣義力為P。一般公式的普遍性表現在：2.結構類型：梁、剛架、桁架、拱、組合結構；靜定和超靜定結構；1.位移原因：荷載、溫度改變、支座移動等；3.材料性質：線性、非線性；4.變形類型：彎曲變形、拉(壓)變形、剪切變形；5.位移種類：線位移、角位移；相對線位移和相對角位移。BA(b)試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。A(a)P=1P=1P=1ABCd(c)ABC(d)試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。AB(e)P=1P=1C(f)左右=？P=1P=1試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。P=1(g)A(h)ABP=1P=1試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。二、荷載作用下位移計算的一般公式在僅荷載作用時的位移計算一般公式對于由線彈性直桿組成的結構，有：扭轉項式中：E彈性模量；G

剪切模量；A

橫截面積；I

截面慣性矩；k

截面形狀系數。如：對矩形截面k=6/5;圓形截面k=10/9。IP

截面極慣性矩；軸向剪切彎曲扭轉例1：求剛架A點的豎向位移。解：構造虛設狀態（實際狀態）分別列出實際狀態和虛擬狀態中各桿的內力方程（或畫出內力圖），如：（虛擬狀態）qxxqlqlx荷載內力圖xxlx11單位內力圖內力的正負號規定如下：軸力以拉力為正；剪力使微段順時針轉動者為正；彎矩只規定乘積的正負號。使桿件同側纖維受拉時，其乘積取為正。將內力方程代入公式討論：軸向剪切彎曲，有：引入符號問題：的取值范圍是什么？設桿件截面為bh的矩形截面桿，有：因此,對受彎細長桿件,通常略去FN,FQ的影響。取：，，有：即：三、幾點討論（只有荷載作用）：一般來說，剪切變形影響很小，通常忽略不計。1.對梁和剛架：2.對桁架：3.對組合結構：例2：求曲梁B點的豎向位移和水平位移。(EI、EA、GA已知)ROBAFP解：構造虛設的力狀態如圖示FP=1RθFP

=1RθFPRθ同理有：將內力方程代入位移計算公式,可得三鉸拱的分析同此類似，但一般要考慮軸力對位移的貢獻，也即例3：求對稱桁架D點的豎向位移。圖中右半部各括號內數值為桿件的截面積A，設E=210GPa。FN解：構造虛擬狀態并求出實際和虛擬狀態中各桿的內力代入公式得：返章菜單FN已有基礎：1.靜定結構的內力計算；2.利用位移計算公式求靜定結構的位移；3.桿件結構在荷載作用下的位移計算公式,即:4.圖乘法及其應用

(GraphicMultiplicationMethodanditsApplications)這部分主要內容：2.幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法；3.注意事項；4.應用舉例。1.圖乘法；C一、圖乘法必須注意適用條件圖乘法是Vereshagin于1925年提出的，他當時為莫斯科鐵路運輸學院的學生。二、幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法頂點指曲線切線與桿軸重合或平行Ch三、注意事項：1.圖乘法的應用條件：（1）等截面直桿，EI為常數；（2）兩個M圖中應有一個是直線；（3）應取自直線圖中。2.若與在桿件的同側，取正值；反之，取負值。3.如圖形較復雜，可分解為簡單圖形.(1)曲-折組合例如(2)梯-梯同側組合(3)梯-梯異側組合ABCDabcd圖圖bc取負值(4)階梯形截面桿I1I2I3四、應用舉例例1.設EI為常數，求和。解：作荷載內力圖和單位荷載內力圖BAq圖CABFP=1圖對嗎？應分段！CAB圖1（

）BAq圖例2.已知EI為常數，求剛架C、D兩點距離的改變。解：作荷載內力圖和單位荷載內力圖2p117例3.已知EI為常數，求剛架A點的豎向位移，并繪出剛架的變形曲線。FP解：作荷載內力圖和單位荷載內力圖在圖求面積，在圖取豎標，有：圖EI2EI圖FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4繪制變形圖時，應根據彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意反彎點的利用。如：圖FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4FP例4.已知：E、I、A為常數，求。ABCFPaD解：作荷載內力圖和單位荷載內力圖請對計算結果進行適當討論！ABCFPaDABC1aD討論:如果B支座處為剛度k的彈簧，該如何計算？ABCkFP=1ABCFPk顯然，按彈簧剛度定義，荷載下彈簧變形為。因此，彈簧對位移的貢獻為。由此可得有彈簧支座的一般情況位移公式為例5.已知EI為常數，求。ABCq解：作荷載內力圖和單位荷載內力圖ABC圖A1圖一種算法：ABC結果正確否？?解法一、AqAABC圖qABC解法二、A1圖A解法三ABC圖A1圖例6.已知CD、BD桿的和AC桿的為常數，求。FPABCDaaa+11aFP+FPFPa解：作荷載和單位荷載的內力圖例7.已知EI為常數，求。解：作荷載和單位荷載的內力圖溫度MPM分解返回

5.靜定結構溫度變化時的位移計算

(AnalysisofDisplacementsinaStaticallyDeterminateStructuresInducedbyTemperatureChanges)本節目的：給出的具體計算方法。一般公式荷載位移公式溫度位移公式圖示結構，設外側溫度升高，內側溫度升高，求K點的豎向位移。設溫度沿桿件截面厚度為線性分布，桿軸溫度與上、下邊緣的溫差為：另外，溫度變化時，桿件不引起剪應變，微段軸向伸長和截面轉角為：線膨脹系數FP=1FNFN

圖面積對等截面直桿

圖面積將溫度引起的變形代入公式，可得上式中的正、負號：若溫度以升高為正，則軸力以拉為正；若和使桿件的同一邊產生拉伸變形，其乘積為正。對梁和剛架：對桁架：幾種情況：溫度引起的軸向變形影響不能少。問題：當桁架有制造誤差時,如何求位移？例：剛架施工時溫度為20，試求冬季外側溫度為-10，內側溫度為0時A點的豎向位移。已知l=4m,,各桿均為矩形截面桿，高度h=0.4m實際狀態解：構造虛擬狀態虛擬狀態單位荷載內力圖為：圖圖6.靜定結構支座移動時的位移計算(AnalysisofDisplacementsinaStaticallyDeterminateStructuresInducedbySupportMovement)K實際位移狀態虛擬力狀態1K靜定結構由于支座移動并不產生內力，材料（桿件）也不產生變形，只發生剛體位移。（該位移也可由幾何關系求得）。有例1：求CBAFP=1虛擬力狀態解：構造虛設力狀態實際位移狀態CBAll解：構造虛設力狀態()FAyFAx例2：已知l=12m,h=8m,,求例3：求實際位移狀態CBAllFP=1解：構造虛設力狀態CBA虛擬力狀態FP=1同時考慮荷載、溫度和制作位移的影響等于0溫度支座問題：試給出多因素下的位移計算一般公式返章菜單7.線彈性結構的互等定理（ReciprocalTheoryinLinearStructures)一、線性桿系結構的變形能

根據能量守恒，對線彈性、小變形結構，外力所做的功恒等于儲存于體內的應變能。

由第一節所復習的材料力學知識可知或者Vε的性質：(1)總為正;

(3)內力或位移的二次式;(4)疊加原理不適用;(2)與路徑無關,是狀態的函數。二、線彈性結構的互等定理1.功的互等定理:方法一第I狀態先加廣義力P1，后加廣義力P2。2由在線性變形體系中，I狀態的外力在II狀態位移上所做虛功，恒等于II狀態外力在I狀態位移上所做虛功。功的互等定理第Ⅱ狀態先加廣