廣東省梅州市水寨中學2021-2022學年高三數學文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設，稱為整數的為“希望數”，則在內所有“希望數”的個數為

．參考答案：9略2.已知，則等于（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：D由于受條件sin2θ+cos2θ=1的制約，故m為一確定的值，于是sinθ,cosθ的值應與m的值無關，進而推知tan的值與m無關，又<θ<π，<<,∴tan>1，故選D。3.對于非空實數集，記.設非空實數集合、滿足：，且若，則.現給出以下命題：①對于任意給定符合題設條件的集合、，必有；②對于任意給定符合題設條件的集合、，必有；③對于任意給定符合題設條件的集合、，必有；④對于任意給定符合題設條件的集合、，必存在常數，使得對任意的，恒有，其中正確的命題是A.①③

B.③④

C.①④

D.②③

參考答案：C對于②，假設，則，則，因此②錯誤；對于③，假設，則，又，則，因此③也錯誤，而①和④都是正確的，故選C.4.已知為第二象限角，是關于x的方程的兩根，則的等于

A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點】已知三角函數式的值，求另一個三角函數式的值.

C7A

解析：由已知得又為第二象限角，所以==，故選A.【思路點撥】由已知得，又為第二象限角，所以==.5.橢圓的中心在原點，F1，F2分別為左、右焦點，A，B分別是橢圓的上頂點和右頂點，P是橢圓上一點，且PF1⊥x軸，PF2∥AB，則此橢圓的離心率等于（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】K4：橢圓的簡單性質．【分析】由已知可得P（﹣c，），又A（0，b），B（a，0），F2（c，0），由PF2∥AB，得﹣，化為b=2c，即可求解．【解答】解：如圖所示，把x=﹣c代入橢圓方程，可得P（﹣c，），又A（0，b），B（a，0），F2（c，0），∴kAB=﹣，=﹣，∵PF2∥AB，∴﹣，化為：b=2c．∴4c2=b2=a2﹣c2，即a2=5c2，∴e=．故選：D6.在圓內，過點E（0，1）的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A7.設函數是定義在上的可導函數，其導函數為，且有，則不等式的解集為（

）（A）、

（B）、

（C）、

（D）、參考答案：C.由，得：，即，令，則當時，，即在是減函數，

，，，在是減函數，所以由得，，即，故選8.設是定義在R上的奇函數，且當時單調遞減，若，則的值

(

）A．恒為負值

B．恒等于零

C．恒為正值

D．無法確定正負參考答案：A9.某班設計了一個八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1，頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構成的正方形所組成，該八邊形的面積為A．B．C．D．A.關于原點對稱

B.關于直線y=x對稱

C.關于x軸對稱

D.關于y軸對稱參考答案：A10.設a=log36，b=2﹣2，c=log2，則（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b參考答案：A【考點】對數值大小的比較．【專題】轉化思想；數形結合法；函數的性質及應用．【分析】利用指數函數與對數函數的單調性即可得出．【解答】解：∵a=log36＞1，0＜b=2﹣2＜1，c=log2＜0，∴a＞b＞c，故選：A．【點評】本題考查了指數函數與對數函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察下列等式：…，根據以上規律，________________。（結果用具體數字作答）

參考答案：1296觀察前3個等式發現左邊的等式分別是從1開始的兩個數、三個數、四個數的立方和，等式右邊分別是這幾個數的和的平方，因此可得.12.已知為虛數單位，則=

.

參考答案：略13.在整數集Z中，被5除所得余數為k的所有整數組成一個“類”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.給出如下四個結論：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整數a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“a－b∈[0]”．其中正確命題的序號是________．參考答案：①③④略14.設數列的前項和為，已知，，，是數列的前項和.（1）求數列的通項公式； （2）求；（3）求滿足的最大正整數的值.參考答案：解：（1）∵當時，，

∴.

……………1分

∴.

……………2分

∵，，

∴.

……………3分∴數列是以為首項，公比為的等比數列.∴.

……………4分（2）由（1）得：，

……………5分

∴

……………6分

……………7分

.

……………8分（3）

……………9分

……………10分.

……………11分令，解得：.

……………13分故滿足條件的最大正整數的值為.

……………14分略15.在平面直角坐標系中，橫縱坐標均為整數的點稱為格點，如果函數的圖象恰好通過個格點，則稱函數為階格點函數.下列4個函數中是一階格點函數的有

．①

②

③

④參考答案：②④16.過雙曲線的右焦點Ｆ和虛軸端點Ｂ作一條直線，若右頂點Ａ到直線ＦＢ的距離等于，則雙曲線的離心率參考答案：2略17.以線段AB：為直徑的圓的方程為

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知f（x）=ax++2-2a（a＞0）的圖象在點（1，f（1））處的切線與直線y=2x+1平行．

（I）求a，b滿足的關系式；

（II）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；（III）證明：（n∈N+）參考答案：②a≥1時，≤1，當x＞1時，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）增函數，又g（1）=0，所以f（x）≥2lnx．

綜上所述，所求a的取值范圍是[1，+∞）…………………8分

（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知當a≥1時，f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立．

取a=1得x?≥2lnx，令x＝＞1得－＞2ln即+＞2ln所以+＞ln上式中n=1，2，3，…，n，然后n個不等式相加得故（n∈N+）……12分．19.（本小題滿分13分，⑴小問5分，⑵小問8分）（原創）如圖，在四面體中，平面，，，。是的中點，是的中點，點在線段上，且。⑴證明:平面；⑵若異面直線與所成的角為，二面角的大小為，求的值。

參考答案：

法一：⑴如圖，連并延長交于，連，過作交于，則，。故，從而。因平面，平面，故平面；⑵過作于，作于，連。因平面，故平面平面，故平面，因此，從而平面，所以即為二面角的平面角。因，故，因此即為的角平分線。由⑴易知，故，從而，。由題易知平面，故。由題，故。所以，從而。法二：如圖建立空間直角坐標系，則，，，，。

⑴設，則，因此。顯然是平面的一個法向量，且，所以平面；⑵由⑴，，，故由得，因此，從而，。設是平面的法向量，則，取得。設是平面的法向量，則，取得。故.

20.幾何證明選講如圖，MN為兩圓的公共弦，一條直線與兩圓及公共弦依次交于A，B，C，D，E，求證：AB·CD=BC·DE．參考答案：略21.已知函數 （Ⅰ）求的解析式及減區間；（Ⅱ）若的最小值.參考答案：解：（Ⅰ）令得，

——————————1 ，所以，————————————2，

，————————————5由得，的減區間為（）.——————————————7分（Ⅱ）由題意

，

，————————————8

設，.

當時，恒成立，無最大值；——————10當時，由得，得.在上為增函數，在上為減函數.，，——13，

設，，由得，得，，所以的最小值為.

———1522.已知f（x）=2sinx，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素從小到大依次排成一列，得到數列{an}，n∈N*．（1）求數列{an}的通項公式；（2）記bn=，設數列{bn}的前n項和為Tn，求證Tn＜．參考答案：【考點】數列的求和．【分析】（1）根據題意求出數列的通項公式．（2）利用（1）的結論，進一步利用放縮法和裂項相消法求出結