廣東省梅州市農業中學高三數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知數列{an}是等比數列，且a2+a6=3，a6+a10=12，則a8+a12=（）A．12 B．24 C．24 D．48參考答案：B【考點】8G：等比數列的性質．【分析】設等比數列{an}的公比為q，利用等比數列的通項公式得出q2=2，再求值即可．【解答】解：設等比數列{an}的公比為q，且q≠0，∵a2+a6=3，a6+a10=12，∴q4=4，∴q2=2，∴a8+a12=q6（a2+a6）=24故選：B．【點評】本題考查等比數列的通項公式的靈活應用，以及整體代換思想，屬于基礎題．2.“Inx>1”是“x>l"的A．充要條件

B．必要非充分條件C．充分非必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C3.已知，且ab>0，則下列不等式不正確的是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：B4.復數（為虛數單位）的虛部是

A．

B．

C．

D．參考答案：C5.已知實數x，y滿足，如果目標函數的最大值為3，則m的值為（）A．3 B． C． D．參考答案：B【考點】7C：簡單線性規劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的坐標，代入目標函數列式求得m值．【解答】解：不等式組表示的平面區域如圖，由目標函數的最大值為3，可知直線的最小截距為﹣3，由圖可知，當直線過可行域的邊界點（m﹣1，1）時，zmax=3，∴3=，解得m=．故選：B．6.設集合A={x|y=log2（x﹣2）}，B={x|x2﹣5x+4＜0}，則A∩B=（）A．? B．（2，4） C．（﹣2，1） D．（4，+∞）參考答案：B【考點】交集及其運算．【分析】分別化簡集合A，B，容易計算集合A∩B．【解答】解：∵A={x|y=log2（x﹣2）}=（2，+∝），B={x|x2﹣5x+4＜0}=（1，4），∴A∩B=（2，4）．故選B．7.過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，點是坐標原點，若，則的面積為（A）

（B）

（C） （D）參考答案：B略8.已知圓的直徑為,為圓上任意一點,則=.

參考答案：2略9.已知命題p:x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0,則p是 （）A．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0

B．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0C．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)<0D．x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)<0參考答案：C略10.定義域為R的偶函數f（x）滿足對?x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且當x∈[2，3]時，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函數y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，則a的取值范圍是（）A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）參考答案：B【考點】函數零點的判定定理．【分析】由題意可得函數f（x）的周期為2，當x∈[2，3]時，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，令g（x）=loga（x+1），則f（x）的圖象和g（x）的圖象至少有3個交點，畫出圖形，數形結合，根據g（2）＞f（2），求得a的取值范圍．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定義域為R的偶函數，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），可得f（1）=0則有，f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期為2的偶函數．當x∈[2，3]時，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函數f（x）的圖象為開口向下、頂點為（3，0）的拋物線．∵函數y=f（x）﹣loga（x+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，令g（x）=loga（x+1），則f（x）的圖象和g（x）的圖象至少有3個交點．作出函數的圖象，如圖所示，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．要使函數y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，則有g（2）＞f（2），即loga（2+1）＞f（2）=﹣2，∴loga3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜．又a＞0，∴0＜a＜，故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖是容量為100的樣本的頻率分布直方圖，試根據圖形中的數據填空,樣本數據落在范圍[10,14]內的頻數為________．

參考答案：3612.(2009山東卷理)不等式的解集為

.參考答案：解析：原不等式等價于不等式組①或②或③不等式組①無解,由②得,由③得,綜上得,所以原不等式的解集為.13.設隨機變量ξ服從正態分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），則c=．參考答案：2【考點】CP：正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【分析】畫正態曲線圖，由對稱性得c﹣1與c+1的中點是2，由中點坐標公式得到c的值．【解答】解：∵N（2，32）?，，∴，解得c=2，故答案為：2．【點評】本題考查正態分布，正態曲線有兩個特點：（1）正態曲線關于直線x=μ對稱；（2）在正態曲線下方和x軸上方范圍內的區域面積為1．14.已知雙曲線（>0，>0）的左、右焦點分別為F1、F2，過F2作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為H，若F2H的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為____________.參考答案：略15.若行列式，則

．參考答案：116.如圖是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是

參考答案：17.在極坐標系中，點P（2，）到極軸的距離為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(a，b均為正常數).（1）求證：函數f(x)在(0，a+b]內至少有一個零點；（2）設函數在處有極值，①對于一切，不等式恒成立，求b的取值范圍；②若函數f(x)在區間上是單調增函數，求實數m的取值范圍.參考答案：（1）證明：，所以，函數在內至少有一個零點（2）由已知得：所以a=2，所以f（x）=2sinx﹣x+b①不等式恒成立可化為：sinx﹣cosx﹣x＞﹣b記函數g（x）=sinx﹣cosx﹣x，，所以在恒成立函數在上是增函數，最小值為g（0）=﹣1所以b＞1，所以b的取值范圍是（1，+∞）②由得：，所以m＞0令f′（x）=2cosx﹣1＞0，可得∵函數f（x）在區間（）上是單調增函數，∴∴6k≤m≤3k+1∵m＞0，∴3k+1＞0，6k≤3k+1

∴k=0

∴0＜m≤1略19.（本小題滿分13分）已知圓：，點，，點在圓上運動，的垂直平分線交于點.(1)求動點的軌跡的方程；(2)設分別是曲線上的兩個不同點，且點在第一象限，點在第三象限，若，為坐標原點，求直線的斜率；(3)過點，且斜率為的動直線交曲線于兩點，在軸上是否存在定點，使以為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出的坐標，若不存在，說明理由.參考答案：解:(1)因為的垂直平分線交于點.所以所以動點的軌跡是以點為焦點的橢圓

……………2分設橢圓的標準方程為則，，則橢圓的標準方程為……4分(2)設，則

①因為則

②由①②解得

……………7分所以直線的斜率

……………8分(3)直線方程為，聯立直線和橢圓的方程得:

得 …………9分由題意知：點在橢圓內部，所以直線與橢圓必交與兩點，設則假設在軸上存在定點，滿足題設，則因為以為直徑的圓恒過點,則，即:

(*)因為則(*)變為…………11分由假設得對于任意的,恒成立，即解得……13分因此，在軸上存在滿足條件的定點，點的坐標為.………………13分20.已知橢圓E：的離心率e=，左頂點為A（﹣2，0）．（1）求橢圓E的方程；（2）已知O為坐標原點，B，C是橢圓E上的兩點，連接AB的直線平行OC交y軸于點D，證明：|AB||成等比數列．參考答案：【考點】K4：橢圓的簡單性質．【分析】（1）由，a=2得，，即可得出．（2）設B（x1，y1），C（x2，y2），OC：y=kx，則AB：y=k（x+2），將y=k（x+2）代入橢圓方程整理得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，利用根與系數的關系、弦長公式可得：|AB|，|AD|．將y=kx代入，整理得（1+2k2）x2﹣4=0，可得|OC|2．可得|AB|?|AD|=2|OC|2，即可證明．【解答】解：（1）由，a=2得，故橢圓C的方程為．證明有：（2）設B（x1，y1），C（x2，y2），OC：y=kx，則AB：y=k（x+2），將y=k（x+2）代入，整理得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，∴，得，，，．將y=kx代入，整理得（1+2k2）x2﹣4=0，得，．故|AB|?|AD|=2|OC|2，所以，成等比數列．【點評】本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數的關系、等比數列的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．21.四面體及其三視圖如圖所示，過棱的中點作平行于，的平面分別交四面體的棱于點.（I）證明：四邊形是矩形；（II）求直線與平面夾角的正弦值.參考答案：

（1）省略 （2） （1）（2）22.已知△ABC的面積為S，且?=S，|﹣|=3．（Ⅰ）若f（x）=2cos（ωx+B）（ω＞0）的圖象與直線y=2相鄰兩個交點間的最短距離為2，且f（）=1，求△ABC的面積S；（Ⅱ）求S+3cosBcosC的最大值．參考答案：【考點】余弦函數的圖象；平面向量數量積的運算．【分析】（Ⅰ）由條件利用余弦函數的圖象特征求出ω，可得f（x）的解析式，再根據f（）=1求得B，再利用條件求得A，從而△ABC是直角三角形，從而計算△ABC的面積S．（Ⅱ）利用正弦定理求得△ABC的外接圓半徑R，再化減S+3cosBcosC為3cos（B﹣C），從而求得它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2cos（ωx+B）（ω＞0）的圖象與直線y