廣東省梅州市教師進修學校雅園中學高三數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.方程lgx+x=3的解所在區間為

(）A．(0，1)

B．(1，2)

C．(2，3)

D．(3，+∞)參考答案：C略2.如下圖，矩形ABCD中，點E為邊CD上的任意一點，若在矩形ABCD內部隨機取一個[點Q，則點Q取自△ABE內部的概率等于（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C由幾何概型的計算方法，可以得出所求事件的概率為所以選C.3.（5分）（2015?陜西一模）如圖，給出的是計算的值的程序框圖，其中判斷框內應填入的是（）A．i≤2021B．i≤2019C．i≤2017D．i≤2015參考答案：【考點】：程序框圖．【專題】：圖表型；算法和程序框圖．【分析】：根據流程圖寫出每次循環i，S的值，和比較即可確定退出循環的條件，得到答案．解：根據流程圖，可知第1次循環：i=2，S=；第2次循環：i=4，S=；第3次循環：i=6，S=……第1008次循環：i=2016，S=；此時，設置條件退出循環，輸出S的值．故判斷框內可填入i≤2016．對比選項，故選：C．【點評】：本題主要考察程序框圖和算法，屬于基礎題．4.已知一個球的表面上有A、B、C三點，且AB=AC=BC=2，若球心到平面ABC的距離為1，則該球的表面積為（）A．20π B．15π C．10π D．2π參考答案：A【考點】LG：球的體積和表面積．【分析】由正弦定理可得截面圓的半徑，進而由勾股定理可得球的半徑和截面圓半徑的關系，解方程代入球的表面積公式可得．【解答】解：由題意可得平面ABC截球面所得的截面圓恰為正三角形ABC的外接圓O′，設截面圓O′的半徑為r，由正弦定理可得2r=，解得r=2，設球O的半徑為R，∵球心到平面ABC的距離為1，∴由勾股定理可得r2+12=R2，解得R2=5，∴球O的表面積S=4πR2=20π，故選：A．5.．在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∩BD=O，E是線段B1C（含端點）上的一動點，則①OE⊥BD1；

②OE∥面A1C1D；③三棱錐A1﹣BDE的體積為定值；④OE與A1C1所成的最大角為90°．上述命題中正確的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：D【分析】對4個選項，分別進行判斷，即可得出結論．【解答】解：①利用BD1⊥平面AB1C，可得OE⊥BD1，正確；②利用平面AB1C∥面A1C1D，可得OE∥面A1C1D，正確；③三棱錐A1﹣BDE的體積=三棱錐E﹣A1BD的體積，底面為定值，E到平面的距離A1BD為定值，∴三棱錐A1﹣BDE的體積為定值，正確；④E在B1處O，E與A1C1所成的最大角為90°，正確．故選D．6.已知雙曲線（a＞0，b＞0）的兩個焦點為、，點A在雙曲線第一象限的圖象上，若△的面積為1，且，，則雙曲線方程為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A7.為了研究性格和血型的關系，抽查80人實驗，血型和性格情況如下：O型或A型者是內向型的有18人，外向型的有22人，B型或AB型是內向型的有12人，是外向型的有28人，則有多大的把握認為性格與血型有關系A．99.9℅

B．99℅

C．沒有充分的證據顯示有關

D．1℅參考數據：P（K2≥k0）0.50.100.0100.001k00.4552.7066.63510.828參考答案：C8.設是雙曲線的兩個焦點,是上一點,若且的最小內角為,則的離心率為(

)

A、

B、

C、

D、參考答案：C9.已知三條不重合的直線，兩個不重合的平面，有下列命題：

①若∥,,則∥；

②若,,且∥,則∥

③若,,，∥,則∥

④若,=,,,則

其中正確命題的個數為（

）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個參考答案：B10.設，則是偶函數的充分不必要條件是

(

)ABCD參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線上切線平行于軸的切點坐標為_________________。參考答案：或12.在極坐標系中，已知圓與直線相切，則實數a的值為___________.參考答案：或略13.對于下列命題：①函數在區間內有零點的充分不必要條件是；②已知是空間四點，命題甲：四點不共面，命題乙：直線和不相交，則甲是乙成立的充分不必要條件；③“”是“對任意的實數，恒成立”的充要條件；④“”是“方程表示雙曲線”的充分必要條件．其中所有真命題的序號是

.參考答案：①②④略14.若x，y滿足約束條件，則z=3x+2y的最大值為

．參考答案：6解答：畫出可行域如圖所示，可知目標函數過點(2,0)時取得最大值，.

15.從中任取四個數字組成無重復數字的四位數，其中偶數的個數是

(用數字作答）．參考答案：6016.已知、是實系數一元二次方程的兩虛根，，且，則的取值范圍為

______

（用區間表示）。參考答案：17.若，則實數m的取值范圍是___________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知數列為等差數列，的前項和為，，.（1）求與；（2）若數列為等比數列，且，，求及數列的前項和.參考答案：19.已知點F是拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點，若點M（x0，1）在C上，且|MF|=．（1）求p的值；（2）若直線l經過點Q（3，﹣1）且與C交于A，B（異于M）兩點，證明：直線AM與直線BM的斜率之積為常數．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【分析】（1）拋物線定義知|MF|=x0+，則x0+=，求得x0=2p，代入拋物線方程，x0=1，p=；（2）由（1）得M（1，1），拋物線C：y2=2x，當直線l經過點Q（3，﹣1）且垂直于x軸時，直線AM的斜率kAM=，直線BM的斜率kBM=，kAM?kBM=×=﹣．當直線l不垂直于x軸時，直線l的方程為y+1=k（x﹣3），代入拋物線方程，由韋達定理及斜率公式求得kAM?kBM===﹣，即可證明直線AM與直線BM的斜率之積為常數﹣．【解答】解：（1）由拋物線定義知|MF|=x0+，則x0+=，解得x0=2p，又點M（x0，1）在C上，代入y2=2px，整理得2px0=1，解得x0=1，p=，∴p的值；（2）證明：由（1）得M（1，1），拋物線C：y2=x，當直線l經過點Q（3，﹣1）且垂直于x軸時，此時A（3，），B（3，﹣），則直線AM的斜率kAM=，直線BM的斜率kBM=，∴kAM?kBM=×=﹣．當直線l不垂直于x軸時，設A（x1，y1），B（x2，y2），則直線AM的斜率kAM===，同理直線BM的斜率kBM=，kAM?kBM=?=，設直線l的斜率為k（k≠0），且經過Q（3，﹣1），則直線l的方程為y+1=k（x﹣3），聯立方程，消x得，ky2﹣y﹣3k﹣1=0，∴y1+y2=，y1?y2=﹣=﹣3﹣，故kAM?kBM===﹣，綜上，直線AM與直線BM的斜率之積為﹣．20.已知函數，其中.（1）當時，求函數在處的切線方程；（2）若函數存在兩個極值點，求的取值范圍；（3）若不等式對任意的實數恒成立，求實數的取值范圍.參考答案：（1）當時，，故.且，故所以函數在處的切線方程為（2）由，可得因為函數存在兩個極值點，所以是方程的兩個正根，即的兩個正根為所以，即所以令，故，在上單調遞增，所以故得取值范圍是（3）據題意，對任意的實數恒成立，即對任意的實數恒成立.令，則①若，當時，，故符合題意；②若，（i）若，即，則，在上單調贈所以當時，，故符合題意；（ii）若，即，令，得（舍去），，當時，，在上單調減；當時，，在上單調遞增，所以存在，使得，與題意矛盾，所以不符題意.③若，令，得當時，，在上單調增；當時，，在上單調減.首先證明：要證：，即要證：，只要證：因為，所以，故所以其次證明，當時，對任意的都成立令，則，故在上單調遞增，所以，則所以當時，對任意的都成立所以當時，即，與題意矛盾，故不符題意，綜上所述，實數的取值范圍是21.（14分）已知函數f（x）=x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0）（Ⅰ）若函數f（x）在x=1處的切線與直線3x﹣y+2=0平行，求a的值：（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；（Ⅲ）在（I）的條什下，若對職?x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，求實數k的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的單調性．【專題】導數的綜合應用．【分析】（Ⅰ）由導數值即曲線的斜率即可求得；（Ⅱ）利用導數求函數的單調區間，注意對a進行討論；（Ⅲ）把不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題解決，對?x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，即求f（x）min≥k2+6k恒成立．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分∵函數f（x）在x=1處的切線與直線3x﹣y+2=0平行，∴f′（1）=1﹣（3a+1）+2a（a+1）=3，即2a2﹣a﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分解得a=或a=﹣1（不符合題意，舍去），∴a=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分（Ⅱ）函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分①當0＜a＜1時，2a＜a+1，∴當0＜x＜2a或x＞a+1時，f′（x）＞0，當2a＜x＜a+1時，f′（x）＜0，∴函數f（x）在（0，2a）和（a+1，+∞）上單調遞增，在（2a，a+1）上單調遞減．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分②當a=1時，2a=a+1，f′（x）≥0，∴函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分③當a＞1時，2a＞a+1，∴0＜x＜a+1或x＞2a時，f′（x）＞0；a+1＜x＜2a時，f′（x）＜0，∴函數f（x）在（0，a+1）和（2a，+∞）上單調遞增，在（a+1，2a）上單調遞減．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分（Ⅲ）當a=時，f（x）=﹣+lnx，由（Ⅱ）知函數f（x）在（0，）上單調遞增，在（，3）上單調遞減，因此f（x）在區間1，e]的最小值只能在f（1）或f（e）中取得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11分∵f（1）=﹣5，f（e）=﹣+，∴f（e）﹣f（1）=．設g（x）=x2﹣11x+25，則g（x）在（﹣∞，）上單調遞減，且e＜3＜，∴g（e）＞g（3），故f（e）﹣f（1）＞0．∴f（x）在區間1，e]的最小值是f（1）=﹣5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分若要滿足對對?x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，只需f（x）min≥k2+6k恒成立，即求﹣5≥k2+6k恒成立，即k2+6k+5≤0，解得﹣5≤k≤﹣1．∴實數k的取值范圍是[﹣5，﹣1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分【點評】考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．體會數學轉化思想的運用．22.（13分）

射擊運動員在雙項飛碟比賽中，每輪比賽連續發射兩槍，中兩個飛靶得2分，中一個飛靶得1分，不中飛靶得0分，某射擊運動員在每輪比賽連續發射兩槍時，第一槍命中率為，第二槍命中率為，該運動員如進行2輪比賽，求：（I）該運動員得4分的概率為多少；（Ⅱ）該運動員得幾分的概率為最大？并說明你的理由．參考答案：解析：（I）設運動員得4分的事件為