習題課(三)時間：45分鐘總分：90分一、選擇題(每小題5分，共30分)1．函數(shù)y＝|x|(1－x)在區(qū)間A上是增函數(shù)，那么A的區(qū)間是()A．(－∞，0)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．[0，＋∞)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))答案：B解析：y＝|x|(1－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋xx≥0,x2－xx＜0)))的圖象如圖所示．顯然增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).2．已知f(x)是R上的增函數(shù)，若令F(x)＝f(1－x)－f(1＋x)，則F(x)是R上的()A．增函數(shù)B．減函數(shù)C．先減后增的函數(shù)D．先增后減的函數(shù)答案：B解析：取f(x)＝x，則F(x)＝(1－x)－(1＋x)＝－2x為減函數(shù)，故選B.3．下列函數(shù)中值域是R＋的是：()A．y＝eq\r(x2－3x＋10)B．y＝2x＋1(x＞0)C．y＝x2＋x＋1D．y＝eq\f(1,x2)答案：D解析：A的值域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(31),2)，＋∞))，B的值域為(1，＋∞)，C的值域為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).4．函數(shù)y＝eq\r(25－x2)的值域是()A．[－5,5]B．[－5,0]C．[0,5]D．[0，＋∞)答案：C解析：由定義域是[－5,5]．得0≤25－x2≤25,0≤eq\r(25－x2)≤5，即0≤y≤5.故選C.5．下列四個結論：①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定經(jīng)過原點；③偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)＝0(x∈R)．其中正確的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4答案：A解析：偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，但不一定與y軸相交，故①錯；③正確；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，但不一定過原點，故②錯；若y＝f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，由定義可得f(x)＝0，但未必x∈R，只要函數(shù)的定義域關于原點對稱即可，故④錯．6．若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x)在(－∞，0]上是減函數(shù)，f(2)＝0，則使得f(x)＜0的x的取值范圍是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,2)答案：D解析：由f(x)在(－∞，0]上是減函數(shù)，且偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，知f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)．又由f(2)＝0，知函數(shù)圖象過點(2,0)，作出符合題設條件的函數(shù)f(x)的大致圖象如圖，由圖象可知，使f(x)＜0的x的取值范圍是(－2,2)．二、填空題(每小題5分，共15分)7．函數(shù)y＝－(x－3)|x|的遞增區(qū)間是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))解析：y＝－(x－3)|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋3xx>0，,x2－3xx≤0.)))作出其圖象如圖，觀察圖象知遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))).8．已知函數(shù)f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值為f(a)，那么實數(shù)a的取值范圍是________．答案：(1,3]解析：由題意知f(x)在[1，a]內是單調遞減的．又∵f(x)的單調遞減區(qū)間為(－∞，3)，∴1<a≤3.9．若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常數(shù)a、b∈R)是偶函數(shù)，且它的值域為(－∞，4]，則該函數(shù)的解析式f(x)＝答案：－2x2＋4解析：∵f(－x)＝f(x)且f(x)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a∴b(－x)2＋(2a＋ab)(－x)＋2a2＝bx2＋(2a＋ab)x＋∴－(2a＋ab)＝2a＋即2a＋ab＝0，∴a＝0或b當a＝0時，f(x)＝bx2，∵f(x)的值域為(－∞，4]，而y＝bx2的值域不可能為(－∞，4]，∴a≠0.當b＝－2時，f(x)＝－2x2＋2a2，值域為(－∞，2a2∴2a2＝4，∴a2＝2，∴f(x)＝－2x2三、解答題(本大題共4小題，共45分)10．(12分)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2.(1)若f(x)的單調區(qū)間為(－∞，4)，求a的值；(2)若f(x)在區(qū)間(－∞，4)上是減函數(shù)，求a的取值范圍．解：(1)由題意知eq\f(1－a,a)＝4，解得a＝eq\f(1,5).(2)由于f(x)在區(qū)間(－∞，4)上是減函數(shù)，說明(－∞，4)只是函數(shù)f(x)的一個減區(qū)間，所以應對a加以討論．當a＝0時，f(x)＝－2x＋2，在(－∞，4)上是減函數(shù)，所以a＝0滿足；當a≠0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0,\f(1－a,a)≥4))，解得0＜a≤eq\f(1,5).綜合得，a的取值范圍為{a|0≤a≤eq\f(1,5)}．11．(13分)已知函數(shù)f(x)＝|x－a|，g(x)＝ax(a∈R)．(1)若函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，求實數(shù)a的值；(2)若方程f(x)＝g(x)有兩解，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)因為函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，即|－x－a|＝|x－a|，兩邊平方化簡得4ax＝0.又4ax＝0在x∈R時恒成立，所以a＝0.(2)當a＞0時，|x－a|－ax＝0有兩解等價于方程(x－a)2－a2x2＝0在(0，＋∞)上有兩解．令h(x)＝(a2－1)x2＋2ax－a2，因為h(0)＝－a2＜0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＜0,Δ＝4a2＋4a2a2－1＞0))，解得0＜a＜1.同理，當a＜0時，得－1＜a＜0；當a＝0時，不合題意，舍去．綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是(－1,0)∪(0,1)．能力提升12．(5分)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1x≥0,1x<0)))則滿足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范圍是________．答案：(－1，－1＋eq\r(2))解析：結合函數(shù)圖象eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x≥0,1－x2≥0,1－x2>2x))解得0≤x<－1＋eq\r(2)，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x<0,1－x2>0))解得－1<x<0，∴滿足題意的x范圍[0，－1＋eq\r(2))∪(－1,0)＝(－1，－1＋eq\r(2))．13．(15分)已知函數(shù)f(x)＝x2－mx(m＞0)在區(qū)間[0,2]上的最小值為g(m)．(1)求函數(shù)g(m)的解析式．(2)定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函數(shù)h(x)為偶函數(shù)，且當x＞0時，h(x)＝g(x)．若h(t)＞h(4)，求實數(shù)t的取值范圍．解：(1)因為f(x)＝x2－mx＝(x－eq\f(m,2))2－eq\f(m2,4)(m＞0)，所以當0＜m≤4時，0＜eq\f(m,2)≤2，此時g(m)＝f(eq\f(m,2))＝－eq\f(m2,4).當m＞4時，函數(shù)f(x)＝(x－eq\f(m,2))2－eq\f(m2,4)在區(qū)間[0,2]上單調遞減，所以g(m)＝f(2)＝4－2m綜上可知，g(m)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m2,4)，0＜m≤4,4－2m，m＞4)).(2)因為x＞0時，h(x)＝g(x)，所以當x＞0時，h(x)＝e