第2章邏輯代數基礎2.1邏輯代數的基本運算2.2邏輯代數的基本定律和運算規則2.3復合邏輯和常用邏輯門2.4邏輯函數的兩種標準形式2.5邏輯函數的化簡方法基本要求1、熟悉邏輯代數的基本定律、運算規則和常用公式。2、理解邏輯函數的建立及其表示方法。3、掌握邏輯函數的表示形式及相互轉換方法。4、了解邏輯函數化簡的含義。5、掌握邏輯函數的兩種化簡方法--代數方法與卡諾圖方法。6、理解無關項的基本概念及在邏輯函數化簡中的應用。邏輯代數是分析和設計邏輯電路的數學工具2

邏輯是指事物因果之間所遵循的規律。為了避免用冗繁的文字來描述邏輯問題，邏輯代數將事物發生的原因（條件）和結果分別用邏輯變量和邏輯函數來描述。2.1邏輯代數的基本運算2.1.1邏輯函數的基本概念3邏輯變量與普通代數的變量相似，可以用A、B、C和x、y、z等字母來表示。所不同的是，普通代數中變量的取值可以是任意的，而邏輯代數的變量和常量取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，因而稱為二值邏輯。必須指出，這里的邏輯0和邏輯1并不表示數量的大小，而是代表事物矛盾雙方的兩種狀態，即兩種對立的邏輯狀態。例如，它們可以代表事件的真和偽，對和錯，型號的有、無，開關的通、斷，電平的高、低等。4例如，對于某電路，若輸入邏輯變量A、B、C、…的取值確定后，其輸出邏輯變量F的值也被唯一確定了，則可以稱F是A、B、C、…的邏輯函數，并記為F=f（A,B,C,…）。邏輯函數與普通代數中的函數相似，它是隨著自變量的變化而變化的因變量。因此，如果用自變量和因變量分別表示某一事件發生的條件和結果，那么該事件的因果關系就可以用邏輯函數來描述。數字電路響應輸入的方式稱為電路的邏輯，任何一個數字電路的輸出與輸入變量之間都存在一定的邏輯關系，并可以用邏輯函數來描述。52.1.2三種基本邏輯運算邏輯代數的基本運算有:與（AND）、或（OR）、非（NOT）三種，它們可以由相應的邏輯門來實現。邏輯運算的描述方式:真值表、邏輯代數表達式、邏輯圖、卡諾圖、波形圖和硬件描述語言（HDL)等。6電路狀態表開關S1開關S2燈斷斷滅斷合滅合合斷滅合亮S1S2燈電源１、與運算與邏輯:只有當決定某一事件的條件全部具備時，這一事件才會發生。這種因果關系稱為與邏輯關系。與邏輯舉例7

邏輯真值表ABL001010110001

與邏輯舉例狀態表開關S1開關S2燈斷斷滅斷合滅合合斷滅合亮１、與運算所謂真值表，就是將輸入邏輯變量的所有取值組合與其對應的輸出函數值列成表格的表示形式。8表2.1.1與邏輯真值表ABF000110110001與邏輯可以用邏輯表達式表示為L=A·Ｂ=AB

在邏輯代數中，將與邏輯稱為與運算或邏輯乘。符號“·”表示邏輯乘，在不致混淆的情況下，常省去符號“·”。9實現與邏輯的單元電路稱為與門。圖（a）為特定外形符號圖（b）為矩形輪廓符號其邏輯符號如圖2.1.2所示10２、或運算只要在決定某一事件的各種條件中，有一個或幾個條件具備時，這一事件就會發生。這種因果關系稱為或邏輯關系。S1燈電源S2

或邏輯舉例11表2.1.2或邏輯真值表

ABF000110110111或邏輯可以用邏輯表達式表示為或邏輯也稱為或運算或邏輯加。符號“+”表示邏輯加。F=A+B12圖2.1.4或門的邏輯符號133、非運算事件發生的條件具備時，事件不會發生；事件發生的條件不具備時，事件發生。這種因果關系稱為非邏輯關系。

A

VNC

非邏輯舉例14AF0110表2.1.3非邏輯運算真值表其邏輯表達式為通常稱A為原變量，A為反變量。15圖2.1.6非門邏輯符號16

2.2邏輯代數的基本定律和運算規則

2.2.1基本定律表2.2.1邏輯代數的基本定律17

1.變量和常量的關系

0-1律、自等律、重疊律和互補律都是屬于變量和常量的關系式。

2.與普通代數相似的定律交換律、結合律、分配律的運算法則與普通代數相似。

3.邏輯代數中的特殊定律反演律和還原律是邏輯代數中的特殊定律。反演律又稱為德·摩根（DeMorgan）定理，在邏輯代數中具有特殊重要的作用,它提供了一種變換邏輯表達式的方法，即可以將與運算之非變成或運算，將或運算之非變成與運算。18

任何一個邏輯等式，如果將等式兩邊所出現的某一變量都代之以同一邏輯函數，則等式仍然成立，這個規則稱為代入規則。由于邏輯函數與邏輯變量一樣，只有0、1兩種取值，所以代入規則的正確性不難理解。運用代入規則可以擴大基本定律的運用范圍。2.2.2三個重要規則

1.代入規則19對于任意一個邏輯表達式L，若將其中所有的與（?）換成或（+），或（+）換成與（?）；原變量換為反變量，反變量換為原變量；將1換成0，0換成1；則得到的結果就是原函數的反函數。例2.1.1試求的非函數解：按照反演規則，得

運用反演規則時應注意兩點：①不能破壞原式的運算順序-----先算括號里的，然后按“先與后或”的原則運算。②不屬于單變量上的非號應保留不變。

2.反演規則203.對偶規則對于任何邏輯函數式，若將其中的與（?）換成或（+），或（+）換成與（?）；并將1換成0，0換成1；那么，所得的新的函數式就是L的對偶式，記作。

例:邏輯函數的對偶式為當某個邏輯恒等式成立時，則該恒等式兩側的對偶式也相等，這就是對偶規則。利用對偶規則，可從已知公式中得到更多的運算公式。例如，已知乘對加的分配律成立，即A(B+C)=AB+AC，根據對偶規則有，A+BC=(A+B)(A+C)，即加對乘的分配律也成立。212.2.3若干常用公式1.合并律在邏輯代數中，如果兩個乘積項分別包含了互補的兩個因子(如B和B)，而其它因子都相同，那么這兩個乘積項稱為相鄰項。

證：合并律說明，兩個相鄰項可以合并為一項，消去互補量。22證：2.吸收律吸收律

其它常用恒等式

AB＋AC＋BC＝AB+ACAB＋AC＋BCD＝AB+AC232.3復合邏輯和常用邏輯門2.3.1復合邏輯運算和復合門與非邏輯運算是與運算和非運算的組合，即或非邏輯運算是或運算和非運算的組合，即與或非邏輯運算是與、或、非三種運算的組合，即1.與非、或非、與或非邏輯運算24圖2.3.1與非門、或非門和與或非門的邏輯符號

25異或Y=ABABY000011101110同或Y=A⊙BABY001010100111

2.異或和同或邏輯運算⊙26由定義和真值表可見，異或邏輯與同或邏輯互為反函數，即⊙⊙2728圖2.3.3用異或門控制同相、反相輸出29在邏輯代數中，與、或、非是三種最基本的邏輯運算，用與、或、非三種運算符和邏輯變量可以構成任何邏輯函數，因此稱與、或、非邏輯運算符是一組完備集。但是與、或、非三種運算符并不是最好的完備集，因為用它實現一個函數要使用三種不同規格的邏輯門。實際上由德·摩根定理可見，有了“與”和“非”便可得到“或”，有了“或”和“非”便可得到“與”，因此用“與非”、“或非”、“與或非”運算中的任何一種都能單獨實現“與、或、非”運算，這三種復合運算每種都是完備集，而且實現函數只需一種規格的邏輯門，這就給設計帶來了許多方便。2.3.2常用邏輯門及邏輯函數表達式的常用形式1．邏輯運算符的完備性302．邏輯函數表達式的常用形式

幾種常用邏輯門的實際器件及引腳圖如圖2.3.4所示。從圖中可以看出，每個集成芯片都包含了若干個相同的邏輯門，如7400為四2輸入與非門，7402為四2輸入或非門，7404為6反相器等。圖2.3.4幾種常用邏輯門的實際器件及引腳圖當用邏輯門實現某一邏輯函數時，如果選擇實際器件的功能、型號不同，則邏輯函數表達式的形式也不相同，因此必須將邏輯函數式變換成相應的形式。31任何一個邏輯函數可以有多種邏輯函數表達式，最常用的形式有五種：與或式、或與式、與非-與非式、或非-或非式、與或非式。

與或式和或與式是函數表達式的兩種基本形式。單個邏輯變量（或反變量）進行與運算構成的項稱為“與項”（也稱為“乘積項”），由“與項”相“或”構成的表達式稱為“與或”表達式或“積之和”表達式。單個邏輯變量（或反變量）進行或運算構成的項稱為“或項”或“和項”，由“或項”相“與”構成的表達式稱為“或與”表達式或“和之積”表達式。32“或-與”表達式“與非-與非”表達式

“與-或-非”表達式“或非-或非”表達式“與-或”表達式最常用的形式有五種：33與或式或與式與非與非式或非或非式與或非式341．德·摩根（DeMorgan）定理與邏輯門的等效符號德·摩根定理提供了一種變換邏輯運算符號的方法，利用該定理可以將任何與(AND)形式的邏輯門和或（OR）形式的邏輯門互換。例如一個2輸入與非門的邏輯符號如圖2.3.6（a）所示，根據德·摩根定理 可畫出圖（b）所示的等效電路，它意味著每個輸入端接有反相器的或門等效于一個與非門。將圖（b）中的非門用小圓圈表示，則可畫出與非門的等效符號，如圖(c)所示，其輸入端的小圓圈表示非運算。2.3.3常用邏輯門的等效符號及有效電平35圖2.3.6與非門及其等效符號36

必須指出，上述邏輯門的標準符號和等效符號都是在正邏輯體制下，用不同的符號形式描述同一邏輯功能的函數。這里的等效符號并不是負邏輯表示方法。邏輯門的等效符號可以用來對邏輯電路進行變換或化簡。37圖2.3.7各種邏輯門的標準符號和等效符號38對于正邏輯體制，高電平用邏輯1表示，低電平用邏輯0表示；負邏輯體制正好相反，高電平用邏輯0表示，低電平用邏輯1表示。同一電路的輸入、輸出關系既可以用正邏輯描述，也可以用負邏輯描述。通常兩種邏輯體制的互換如下：正與非＜=＞負或非，正或非＜=＞負與非，正與＜=＞負或，正或＜=＞負與由于實際應用中很少采用負邏輯，所以本書均采用正邏輯體制。選擇邏輯體制不同，則同一電路的邏輯功能也不同。392．有效電平的概念有效電平規定：當邏輯符號的輸入或輸出引腳上沒有小圓圈時，表示該引腳是高電平有效；當邏輯符號的輸入或輸出引腳上有小圓圈時，表示該引腳是低電平有效。40特別是后面章節所講述的中、大規模集成芯片，其輸入、輸出引腳都有可能是高電平有效或低電平有效，即信號為高電平或低電平時芯片（或電路）才能完成規定的功能。因此輸入信號的電平必須與芯片（或電路）所要求的有效電平相匹配才能正常工作。有效電平的概念對于分析電路的工作狀態十分重要412.4邏輯函數的標準形式2.4.1最小項和標準與或式1、最小項的定義

n個變量的最小項是n個變量的“與項”，其中每個變量都以原變量或反變量的形式出現一次。424344①n變量的全部最小項的邏輯和恒為1，即②任意兩個不同的最小項的邏輯乘恒為0，即③n變量的每一個最小項有n個相鄰項。例如，三變量的某一最小項有三個相鄰項：。這種相鄰關系對于邏輯函數化簡十分重要。最小項具有以下性質45如果在一個與或表達式中，所有與項均為最小項，則稱這種表達式為最小項表達式，或稱為標準與或式、標準積之和式。是一個三變量的最小項表達式，它也可以簡寫為2、最小項表達式——標準與或式例如：46任何一個邏輯函數都可以表示為最小項之和的形式：只要將真值表中使函數值為1的各個最小項相或，便可得出該函數的最小項表達式。由于任何一個函數的真值表是惟一的，因此其最小項表達式也是惟一的。表2.4.2真值表ABCF00000101001110010111011100001110472.5邏輯函數的化簡法定義：邏輯函數的最簡與-或表達式在若干個邏輯關系相同的與-或表達式中，將其中包含的與項數最少，且每個與項中變量數最少的表達式稱為最簡與-或表達式。482.5邏輯函數的化簡法2.5.1代數化簡法利用公式AB+AB=A將兩項合并成一項，并消去互補因子。如：1.并項法49利用吸收律

A+AB=A、和吸收(消去)多余的乘積項或多余的因子。如：2.吸收法50利用重疊律A+A=A、互補律A+A=1和吸收律AB+AC+BC=AB+AC先配項或添加多余項，然后再逐步化簡。(添多余項AB)(去掉多余項AB)3.配項法5152剩下時間做下面的習題化簡函數5354卡諾圖由美國工程師卡諾（Karnaugh）首先提出，故稱卡諾圖，簡稱K圖。它是一種按相鄰規則排列而成的最小項方格圖，利用相鄰項不斷合并的原則可以使邏輯函數得到化簡。由于這種圖形化簡法簡單而直觀，因而得到了廣泛應用。2.5.2卡諾圖（KarnaughMap）化簡法55

在邏輯函數的真值表中，輸入變量的每一種組合都和一個最小項相對應，這種真值表也稱最小項真值表。卡諾圖就是根據最小項真值表按一定規則排列的方格圖。1、卡諾圖的構成56由于行、列變量的取值都按格雷碼排列，因此每兩個相鄰方格中的最小項都是相鄰項。5758K圖具有如下特點：(1)n變量的卡諾圖有2n個方格，對應表示2n個最小項。每當變量數增加一個，卡諾圖的方格數就會擴大一倍。(2)卡諾圖中任何相鄰位置的兩個最小項都是相鄰項。變量取值的順序按格雷碼排列，以確保各相鄰行（列）之間只有一個變量取值不同，從而保證了卡諾圖具有這一重要特點。相鄰位置包括三種情況：一是相接，即緊挨著；二是相對，即任意一行或一列的兩頭；三是相重，即對折起來位置重合。59只要將構成邏輯函數的最小項在卡諾圖上相應的方格中填1，其余的方格填0(或不填)，則可以得到該函數的卡諾圖。也就是說，任何一個邏輯函數都等于其卡諾圖上填1的那些最小項之和。2、邏輯函數的卡諾圖表示法(1)給出邏輯函數的最小項表達式60例如，用卡諾圖表示函數時，只需在三變量卡諾圖中將m0、m3、m4、m6處填1，其余填0(或不填)，如下圖所示。61將一般與或式中每個與項在卡諾圖上所覆蓋的最小項處都填1，其余的填0(或不填)，就可以得到該函數的卡諾圖。(2)給出邏輯函數的一般與或式下面看看這個圖怎么得來的？62

63646566673、最小項合并規律在卡諾圖中，凡是幾何位置相鄰的最小項均可以合并。兩個相鄰最小項合并為一項，消去一個互補變量。在卡諾圖上該合并圈稱為單元圈，它所對應的與項由圈內沒有變化的那些變量組成，可以直接從卡諾圖中讀出。

任何兩個相鄰的單元K圈也是相鄰項，仍然可以合并，消去互補變量。因此，如果K圈越大，消去的變量數就越多。686970①任何一個合并圈(即卡諾圈)所含的方格數為2n個。②必須按照相鄰規則畫卡諾圈，幾何位置相鄰包括三種情況：一是相接，即緊挨著的方格相鄰；二是相對，即一行(或一列)的兩頭、兩邊、四角相鄰；三是相重，即以對稱軸為中心對折起來重合的位置相鄰。③2m個方格合并，消去m個變量。合并圈越大，消去的變量數越多。最小項合并有以下特點71將函數化簡為最簡與或式在卡諾圖上以最少的卡諾圈數和盡可能大的卡諾圈覆蓋所有填1的方格，即滿足最小覆蓋，就可以求得邏輯函數的最簡與或式。4、用卡諾圖化簡邏輯函數化簡的一般步驟如下：

(1)填卡諾圖，即用卡諾圖表示邏輯函數。

(2)畫卡諾圈合并最小項。選擇卡諾圈的原則是：先從只有一種圈法的1格圈起，卡諾圈的數目應最少（與項的項數最少），卡諾圈應最大（對應與項中變量數最少）。

(3)寫出最簡函數式。將每個卡諾圈寫成相應的與項，并將它們相或，便得到最簡與或式。72圈卡諾圈時應注意，根據重疊律（A+A=A）,任何一個1格可以多次被圈用，但如果在某個K圈中所有的1格均已被別的K圈圈過，則該圈是多余圈。

為了避免出現多余圈，應保證每個K圈至少有一個1格只被圈一次。

73【例】將 化簡為最簡與或式

解：(1)畫出F的K圖，如下圖。74按照最小項合并規律，將可以合并的最小項分別圈起來。(3)寫出最簡式(2)畫K圈75解：①

畫出F的K圖。給出的F為一般與或式，將每個與項所覆蓋的最小項都填1，K圖如圖2.5.9所示。【例2.5.2】用卡諾圖將以下函數式化簡為最簡與或式:76本例有兩種圈法，都可以得到最簡式。按圖2.5.9(b)圈法：該例說明，邏輯函數的最簡式不是惟一的。②畫K圈化簡函數。③寫出最簡與或式。按圖2.5.9(a)圈法：77

邏輯問題分為完全描述和非完全描述兩種。如果對于輸入變量的每一組取值，邏輯函數都有確定的值，則稱這類函數為完全描述的邏輯函數。如果對于輸入變量的某些取值組合，邏輯函數值不確定，即函數值可以為0，也可以為1，那么稱這類函數為