熱點問題6 立體幾何中的平行和垂直一、填空題1．設a、b是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列四個命題：①若ab,a，則b//；②若a,，則a//；③若a//,a,則，其中正確的命題序號是.【答案】③④DC12.如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD3cm,AA12cm，B11A1則三棱錐AB1D1D的體積為cm3．【答案】3DCA1SAD1DB1A111B【解析】VAB1D1DVB1AD1D3233.3323.一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形作側面，以它們的公共頂點P為頂點，加工成一個如圖所示的正四棱錐形容器．當x6cm時，該容器的容積為________cm3.【答案】48【解析】過P作PO底面ABCD，PEAB于E，連接OE,在等腰三角形PAB中，PE5，四棱錐的高POPE2EO24,VPABCD1SPO162448.4.設P,A,B,C是球O表面上的四個點，332，則球OPA,PB,PC兩兩垂直，且PAPB1,PC的表面積是.【答案】6【解析】模型：球O內接長方體，長方體的對角線是球的直徑，球的半徑r12122262，22球O的表面積4r2466.25.將半徑為5的圓分割成面積之比為1:2:3的三個扇形作為三個圓錐的側面，設這三個圓錐的底面半徑依次為r1,r2,r3，則r1r2r3＝.【答案】5【解析】半徑為5的圓分割成面積之比為1:2:3的三個扇形，三個扇形的圓心角分別為2,,，5,1033由弧長公式lr，所對的弧長分別為,5，三個扇形作為三個圓錐的底面半徑的和為331510552336．如圖，已知三棱錐ABCD的底面是等邊三角形，三條側棱長都等于1，且BAC30，M、N分別在棱AC和AD上，則BMMNNB的最小值為.【答案】2【解析】多面體(旋轉體)表面上兩點間的最短路徑與展開圖將三棱錐ABCD的側面沿AB“展開”在同一平面上．7．已知三棱錐PABC的底面是邊長為3的正三角形，其余三條側棱的長分別為3,4,5，則該三棱錐PABC的體積為．11【解析】不妨設PA=3，PB4，PC5，則三棱錐APBC三條側棱相等，所以A在底面PBC211，V113411的投影是PC的中點，h32511.223228.一個長方體的三條棱長 3,8,9，若在該長方體上面鉆一個圓柱形的孔后其表面積沒有變化，則圓孔的半徑為.【答案】3【解析】圓柱的兩底面之和等于圓柱的側面積，2r22r3，r3二、解答題9．如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D,E分別為AB,BC的中點，點F在側棱B1B上，且B1DA1F，AC11A1B1．C1A11求證：（1）直線DE//平面AC11F；B（2）平面B1DE平面AC11F．F證明（1）D,E為中點，DE為ABC的中位線DE//AC，CEADB又ABCA1B1C1為棱柱，AC//AC11DE//AC11，又AC11平面AC11F，且DEAC11FDE//平面AC11F；（2）ABCA1B1C1為直棱柱，AA1平面A1B1C1AA1AC11，又AC11A1B1且AA1A1B1A1，AA1,A1B1平面AA1B1BAC11平面AA1B1B，又DE//AC11，DE平面AA1B1B又A1F平面AA1B1B，DEA1F又A1FB1D，DEB1DD，且DE,B1D平面B1DEA1F平面B1DE，又A1FAC11F平面B1DE平面AC11F．如圖，在四棱錐PABCD中，側面PAD是正三角形，且與底面ABCD

垂直，底面

ABCD

是菱形，

BAD

60，N是

PB中點，截面

DAN

交PC

于M

．（1）求證：（2）求證：

MN//平面PB 平面

PAD；ADMN．證明：（1）AD//BC，BC面PBC∴AD//面PBC。又∵AD面ADMN，面ADMN面PBC=MN，∴AD//MN。而AD面PAD，∴MN//平面PAD2）取AD中點O，連結BO,BD在PAB中，∵APADAB,PNPB，∴ANPB在ABD中，∵ADAB,BAD60，∴三角形ABD為等邊三角形，∴BOAD又POAD，POBOO，∴AD面POB，∴ADPB又∵ADANA，∴PB平面ADMN．11.如圖，在直三棱柱ABCABC中，ABAC，點D、E、O分別為AA、AC、BC的1111111中點．（1）求證：OE//平面AA1B1B；ADA1（2）求證：平面B1DC⊥平面BBCC1.E證明：（1）連接BC1，A1B．CC111中，O是平行四邊形1的中點，OBBCCBCBB1BC1過點O，且O是BC1的中點．在?A1B1C1中，E是A1C1的中點，O是BC1的中點， OE//A1B．又OE平面AA1B1B，A1B平面AA1B1B，OE//平面AA1B1B．（2）連接DO，取BC中點F，連接OF，AF．OF//BB1//AD,OF1BB1AD,四邊形ADOF是平行四邊形.2AB＝AC，AFBC，又∵AF//DO．DOBC．BB1平面ABC，AF平面ABC，BB1AF．BB1DO.BB1BC＝B，DO平面BB1C1C．DO平面DB1C，平面B1DC平面BB1C1C．12.如圖，四棱椎PABCD的底面為矩形，且AB2,BC1,E,F分別為AB,PC中點．求證：EF∥平面PAD；(2)若平面PAC 平面ABCD，求證：平面 PAC 平面PDE證明(1)法一 取線段PD的中點M，連接FM，AM.1因為F為PC的中點，所以 FM∥CD，且FM＝2CD.因為四邊形 ABCD為矩形，E為AB的中點，1所以EA∥CD，且EA＝2CD.所以FM∥EA，且FM＝EA.所以四邊形 AEFM為平行四邊形．所以EF∥AM.又AM?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD.法二 連接CE并延長交 DA的延長線于 N，連接PN.因為四邊形 ABCD為矩形，所以 AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE.又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA，所以CE＝NE.又F為PC的中點，所以EF∥NP.又NP?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD.法三 取CD的中點Q，連接FQ，EQ.在矩形

ABCD

中，E為

AB的中點，所以

AE＝

DQ

，且

AE∥DQ.所以四邊形

AEQD

為平行四邊形，所以

EQ∥

AD.又AD?平面PAD，EQ?平面PAD，所以EQ∥平面PAD.(2分)因為Q，F分別為CD，CP的中點，所以 FQ∥PD.又PD?平面PAD，FQ?平面PAD，所以FQ∥平面PAD.又FQ，EQ?平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD.(5分)因為EF?平面EQF，所以EF∥平面PAD.(7分)(2)設AC，DE相交于G.在矩形ABCD中，因為 AB＝ 2BC，E為AB的中點．所以DAAE＝CDDA＝ 2.又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△