山西省臨汾市侯馬上馬中學2021年高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列函數中，定義域是且為增函數的是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B對于選項A，在R上是減函數；選項C的定義域為；選項D，在上是減函數，故選B.【考點】本小題主要考查函數的單調性，屬基礎題，難度不大.2.在△ABC中，∠A=60°,a=,b=4,滿足條件的△ABC

(

)A.無解

B.有解

C.有兩解 D.不能確定參考答案：A3.為了解某地區的中小學生視力情況，擬從該地區的中小學生中抽取部分學生進行調查，事先已了解到該地區小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男女視力情況差異不大．在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A．簡單隨機抽樣 B．按性別分層抽樣C．按學段分層抽樣 D．系統抽樣參考答案：C略4.設全集，集合，，則等于

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.對于閉區間（常數）上的二次函數，下列說法正確的是（

）A．它一定是偶函數B．它一定是非奇非偶函數C．只有一個值使它為偶函數D．只有當它為偶函數時，有最大值參考答案：C6.設（i是虛數單位），則等于（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A7.若全集，則集合的補集為( )A．B．C．

D．參考答案：C8.將函數y＝2sinx的圖象上每一點向右平移1個單位，再將所得圖象上每一點的橫坐標擴大為原來的倍（縱坐標保持不變），得到函數y＝f（x）的圖象，則f（x）的一個解析式是A．y＝2sin（x＋）

B．y＝2sin（x－）C．y＝2sin（x＋1）

D．y＝2sin（x－1）參考答案：B9.已知每生產100克餅干的原材料加工費為1.8元，某食品加工廠對餅干采用兩種包裝，其包裝費用、銷售價格如表所示：型號小包裝大包裝重量100克300克包裝費0.5元0.7元銷售價格3.00元8.4元則下列說法正確的是(

)①買小包裝實惠；②買大包裝實惠；③賣3小包比賣1大包盈利多；④賣1大包比賣3小包盈利多．A．①② B．①④ C．②③ D．②④參考答案：D【考點】根據實際問題選擇函數類型；歸納推理．【專題】閱讀型；轉化法；函數的性質及應用．【分析】分別求出大包裝和小包裝每100克的價格進行比較，以及賣1大包和3小包的盈利即可得到結論．【解答】解：大包裝300克8.4元，則等價為100克2.8元，小包裝100克3元，則買大包裝實惠，故②正確，賣1大包裝盈利8.4﹣0.7﹣1.8×3=2.3元，賣1小包裝盈利3﹣0.5﹣1.8=0.7，則賣3小包盈利0.7×3=2.1元，則賣1大包比賣3小包盈利多．故④正確，故選：D【點評】本題主要考查函數模型的應用，比較基礎．10.

已知雙曲線與拋物線有一個公共的焦點F，且兩曲線的一個交點為P，若|PF|=5，則雙曲線的漸近線方程為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若是奇函數，則實數=_________。參考答案：略12.圓C：的圓心到直線的距離是_______________.參考答案：313.將2014-2015學年高一9班參加社會實踐編號分別為：1，2，3，…48的48名學生，采用系統抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知5號，29號，41號學生在樣本中，則樣本中還有一名學生的編號是

．參考答案：17考點：系統抽樣方法．專題：概率與統計．分析：根據系統抽樣的定義，求出樣本間隔即可．解答： 解：樣本間距為48÷4=12，則另外一個編號為5+12=17，故答案為：17．點評：本題主要考查系統抽樣的應用，求出樣本間隔是解決本題的關鍵．14.設為正實數，且，則的最小值是

.參考答案：【知識點】基本不等式．E6【答案解析】．

解析：∵log3x+log3y=2，∴log3xy=2，∴xy=9，∴則≥2=．則的最小值是，故答案為：．【思路點撥】利用基本不等式得≥2，由條件可得xy為定值，從而即可求得的最小值．15.計算：

▲

。參考答案：略16.已知向量，，，，如果∥，則

.參考答案：略17.直線經過點，且與曲線相切，若直線的傾斜角為，則參考答案：【考點】拋物線【試題解析】若直線的傾斜角為，則直線的斜率為1，所以

聯立，消y得：

因為直線與曲線相切，所以三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的左、右焦點分別為，點為短軸的上端點，，過垂直于軸的直線交橢圓于兩點，且.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設經過點且不經過點的直線與相交于兩點.若分別為直線的斜率，求的值.參考答案：19.（本小題滿分14分）已知函數(m，n為常數，…是自然對數的底數)，曲線在點處的切線方程是．(Ⅰ)求m，n的值；(Ⅱ)求的單調區間；(Ⅲ)設(其中為的導函數)，證明：對任意，參考答案：【知識點】導數，函數的單調性B3,B11【答案解析】(I)m=n=2(II)的單調增區間是(0，1)，的單調減區間是(1，+∞)(III)對任意，解析：解：(Ⅰ)由得()．由已知得，解得m=n．

又，即n=2，∴m=n=2．……………………3分(Ⅱ)由(Ⅰ)得，令，，當x∈(0，1)時，；當x∈(1，+∞)時，，

又，所以當x∈(0，1)時，；

當x∈(1，+∞)時，，

∴的單調增區間是(0，1)，的單調減區間是(1，+∞)．……8分(Ⅲ)證明：由已知有，，于是對任意，等價于，由(Ⅱ)知，，∴，．易得當時，，即單調遞增；當時，，即單調遞減．所以的最大值為，故≤．設，則，因此，當時，單調遞增，．故當時，，即．∴≤<．∴對任意，．……………14分【思路點撥】由題意可利用函數的導數對問題進行求解，應用導數與函數的關系可進行分析.20.設數列{an}的前n項和為Sn，點（n，）（n∈N+）均在函數y=3x+2的圖象上．（1）求證：數列{an}為等差數列；（2）設Tn是數列{}的前n項和，求使對所有n∈N+都成立的最小正整數m．參考答案：【考點】數列與函數的綜合；數列的求和．【分析】（1）利用點在直線上，推出Sn=3n2﹣2n，通過an=Sn﹣Sn﹣1，求出an=6n﹣5（n∈N+）．利用等差數列的定義判斷{an}是一個以1為首項，6為公差的等差數列．（2）化簡數列的通項公式，=（﹣），然后求和，利用不等式，求解即可．【解答】（本小題滿分12分）解：（1）依題意，=3n﹣2，即Sn=3n2﹣2n，…n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=（3n2﹣2n）﹣[3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]=6n﹣5．…當n=1時，a1=S1=1符合上式，…所以an=6n﹣5（n∈N+）．…又∵an﹣an﹣1=6n﹣5﹣[6（n﹣1）﹣5]=6，∴{an}是一個以1為首項，6為公差的等差數列．…（2）由（1）知，==（﹣），…故Tn=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣），…因此使得（1﹣）＜（n∈N+）成立的m必須且僅需滿足≤，即m≥10，故滿足要求的最小正整數m為10．…21.奇函數f（x）又是在R上的減函數，對任意實數x，恒有f（kx）+f（﹣x2+x﹣2）＞0成立，求k的范圍．參考答案：【考點】3N：奇偶性與單調性的綜合．【分析】由題設知kx＜x2﹣x+2，故x2﹣（1+k）x+2＞0，由y=x2﹣（1+k）x+2開口向上，知要使x2﹣（1+k）x+2＞0，只需△=[﹣（1+k）]2﹣8＜0，即k2+2k﹣7＜0，由此能求出實數k的取值范圍．【解答】解：根據題意，∵奇函數f（x）在R上為減函數，若對任意的x，不等式f（kx）+f（﹣x2+x﹣2）＞0恒成立，∴f（kx）＞﹣f（﹣x2+x﹣2）∴f（kx）＞f（x2﹣x+2）∴kx＜x2﹣x+2∴x2﹣（1+k）x+2＞0，∵y=x2﹣（1+k）x+2開口向上，∴要使x2﹣（1+k）x+2＞0恒成立，只需△=[﹣（1+k）]2﹣8＜0，整理，得k2+2k﹣7＜0，解可得﹣1﹣2＜k＜﹣1+2，即k的取值范圍為．22.（13分）定義在[﹣1，1]上的奇函數f（x），已知當x∈[﹣1，0]時的解析式（1）寫出f（x）在[0，1]上的解析式；（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．參考答案：考點： 奇函數；函數的最值及其幾何意義．專題： 計算題．分析： （1）由函數f（x）為定義在[﹣1，1]上的奇函數，其圖象經過坐標原點，則根據x∈[﹣1，0]時的解析式，構造關于a的方程，再結合奇函數的性質，求出函數f（x）在[0，1]上的解析式．（2）根據（1）中函數的解析式，我們用換元法可將函數的解析式，轉化為一個二次函數的形式，我們分析出函數的單調性，進而求出f（x）在[0，1]上的最大值．解答： 解：（1）∵函數f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，又∵∴=1﹣a=0解得a=1即當x∈[﹣1，0]時的解析式當x∈[0，1]時，﹣x∈[﹣1，0]∴=4x﹣2x=