2022年吉林省長春市九臺市第十九中學高三數學文聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.有三對師徒共6個人，站成一排照相，每對師徒相鄰的站法共有（）A．72 B．54 C．48 D．8參考答案：C【考點】排列、組合的實際應用．【分析】根據分步原理求解即可．【解答】解：用分步原理：第一步：把每一對師徒看成一整體，共有3×2=6種方法；第二步：每對師徒都有兩種站法共有2×2×2=8種；∴總的方法為6×8=48種．故選：C．2.已知函數，若方程有三個不同的實數根，則實數a的取值范圍為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D3.若實數x、y滿足不等式組則z=|x|+2y的最大值是(

) A．10 B．11 C．13 D．14參考答案：D考點：簡單線性規劃．專題：不等式的解法及應用．分析：由約束條件作出可行域，分類化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，求出最優解的坐標，代入目標函數得答案．解答： 解：由約束條件作出可行域如圖，當x≥0時，z=|x|+2y化為y=﹣x+z，表示的是斜率為﹣，截距為的平行直線系，當過點（1，5）時，直線在y軸上的截距最大，z最大，zmax=1+2×5=11；當x＜0時，z=|x|+2y化為，表示斜率為，截距為，的平行直線系，當直線過點（﹣4，5）時直線在y軸上的截距最大，z最大，zmax=4+2×5=14．∴z=|x|+2y的最大值是14．故選：D．點評：本題考查了簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．4.執行如右圖程序框圖，輸出的為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A考慮進入循環狀態，根據程序框圖可知，當時，有；當時，有；當時，有；當時，有；當時，有；當時，有；所以可知其循環的周期為，當退出循環結構時，所以輸出的，故答案選A．5.等差數列中，已知，，使得的最小正整數n為

（

）A．7

B．8

C．9

D．10參考答案：B6.有下列說法：（1）“”為真是“”為真的充分不必要條件；（2）“”為假是“”為真的充分不必要條件；（3）“”為真是“”為假的必要不充分條件；（4）“”為真是“”為假的必要不充分條件。其中正確的個數為（

）A.1

B.

2

C.

3

D.

4參考答案：D略7.右圖是長和寬分別相等的兩個矩形．給定下列三個命題：①存在三棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如下圖；②存在四棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖；③存在圓柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖．其中真命題的個數是

A．3

B．2

C．1

D．0參考答案：A

本題考查了對三棱柱、四棱柱、圓柱在不同放置情況下的三視圖的識別能力，難度中等以上。①存在，只要三棱柱放置時三角形在側面即可；②存在，四棱柱底面與側面相同；③存在，圓柱的圓面為側面即可；三個命題都正確，故選A。

8.已知直線x+y﹣a=0與圓x2+y2=2交于A、B兩點，O點坐標原點，向量，滿足條件，則實數a的值為（）A． B． C．±1 D．參考答案：D【考點】J9：直線與圓的位置關系．【分析】根據條件，兩條平方后，可得﹣12=12，即=0．那么∠AOB=90°，直線x+y﹣a=0的斜率k=﹣1，直線過（，0）或（，0）．即可得實數a的值．【解答】解：由題意，，兩條平方，可得﹣12=12，即=0．∴∠AOB=90°，直線x+y﹣a=0的斜率k=﹣1，直線必過（，0）或（，0）．當x=，y=0時，a=．當x=，y=0時，a=﹣．故選D．【點評】本題主要考查直線和圓的位置關系的判斷．向量的運用．屬于基礎題9.函數y=（x≠1且x≠3）的值域為（）A．[，+∞） B．[﹣1，0）∪（0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）參考答案：D【考點】二次函數的性質；函數的值域．【分析】結合二次函數的圖象和性質，分析出分母的取值范圍，進而可得函數y=（x≠1且x≠3）的值域．【解答】解：∵x2﹣4x+3≥﹣1，當x≠1且x≠3時，x2﹣4x+3≠0，故x2﹣4x+3∈[﹣1，0）∪（0，+∞），故函數y=（x≠1且x≠3）的值域為（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞），故選：D【點評】本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，函數的值域，難度中檔．10.已知橢圓的左頂點和上頂點分別為、，左、右焦點分別是，，在線段上有且只有一個點滿足，則橢圓的離心率的平方為（

）A． B． C． D．參考答案：D解:根據題意,作圖如下:

由,

可得直線的方程為:,整理得:,

設直線上的點,則,

,

由,

,

令,

則,

由得:,于是,

,

整理得:,又,,

,

,又橢圓的離心率,

.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知ABC的頂點A（-5，0），B（5，0）頂點C在雙曲線=1上，則的值為

參考答案：解析：，＝2a=8,AB=2c=10,12.已知實數x，y滿足則的最大值為

．參考答案：8畫出不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示．由可得，平移直線，結合圖形可得當直線經過可行域內的點A時，直線在y軸上的截距最大，此時z取得最大值．由，解得，所以點A的坐標為（3,2）．∴．答案：8

13.在的展開式中，x2項的系數為．參考答案：﹣7【分析】利用通項公式即可得出．【解答】解：通項公式Tr+1==，令8﹣2r=2，解得r=3．∴x2項的系數==﹣7．故答案為：﹣7．【點評】本題考查了二項式定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．14.（理）關于的方程的一個根是，在復平面上的一點對應的復數滿足，則的取值范圍是

參考答案：略15.某校高三年級的學生共1000人，一次測驗成績的分布直方圖如右圖所示，現要按右圖所示的4個分數段進行分層抽樣，抽取50人了解情況，則80~90分數段應抽取

人．參考答案：20由圖可得80~90分數段占所有學生的比率是：，因此應抽取20人。16.已知，是虛數單位.若,則______.參考答案：17.某校高中部有三個年級，其中高三有學生1200人，現采用分層抽樣法抽取一個容量為185的樣本，已知在高一年級抽取了75人，高二年級抽取了60人，則高中部共有________學生．參考答案：4440

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知各項均不為零的數列，其前n項和滿足；等差數列中，且是與的等比中項(I)求和，(Ⅱ)記，求的前n項和。

參考答案：略19.(本小題滿分14分)）如圖，在三棱柱中，⊥底面，且△為正三角形，，為的中點．(1)求證:直線∥平面；(2)求證:平面⊥平面；(3)求三棱錐的體積．參考答案：（1）證明：連接B1C交BC1于點O，連接OD，則點O為B1C的中點．…………1分∵D為AC中點，得DO為中位線，∴．…………2分

∴直線AB1∥平面BC1D………4分（2）證明：∵底面，∴……5分∵底面正三角形，D是AC的中點

∴BD⊥AC………………6分∵，∴BD⊥平面ACC1A1……7分,…8分（3）由（2）知△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3∴==

………………10分又是底面BCD上的高

………………11分∴=??6=9

………13分20.某高校在2011年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示。（1）求第3、4、5組的頻率；（2）為了能選拔出最優秀的學生，該校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取6名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少學生進入第二輪面試？（3）在（2）的前提下，學校決定在這6名學生中隨機抽取2名學生接受甲考官的面試，求第4組至少有一名學生被甲考官面試的概率。

參考答案：解：（1）由題設可知，第3組的頻率為0.06×5=0.3，第4組的頻率為0.04×5=0.2，第5組的頻率為0.02×5=0.1。

（2）第3組的人數為0.3×100=30，第4組的人數為0.2×100=20，第5組的人數為0.1×100=10。因為第3、4、5組共有60名學生，所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，每組抽取的人數分別為第3組：，第4組：，第5組：，所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人。

（3）設第3組的3名學生分別為A1、A2、A3-，第4組的2名學生分別為B1、B2，第5組的1名學生為C1，則從6名學生中抽取兩位學生有：（A1，A2）、（A1，A3）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A1，C1）、（A2，A3）、（A2，B1）、（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共15種可能。其中第4組的2位學生B1，B2至少有一位學生入選的有：（A1，B1）、（A1，B2）、(A2，B1）、（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共9種可能，所以第4組至少有一名學生被甲考官面試的概率為。

略21.已知函數，.(Ⅰ)求的單調區間；（Ⅱ）曲線在處的切線方程為，且與軸有且只有一個公共點，求的取值范圍.參考答案：解：(Ⅰ)，

………1分

(1)當時，恒成立，此時在上是增函數，…2分

（2）當時，令，得；令，得或令，得∴在和上是增函數，在上是減函數.

………5分（Ⅱ）∵，

，∴曲線在處的切線方程為，即，∴，

∴

………7分由(Ⅰ)知，（1）當時，在區間單調遞增，所以題設成立………8分（2）當時，在處達到極大值，在處達到極小值，此時題設成立等價條件是或，即：或 即：或

………11分解得：

………12分由（1）（2）可知的取值范圍是.

………13分略22.如圖，邊長為的正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=AB=1，點M在線段EC上．（Ⅰ）證明：平面BDM⊥平面ADEF；（Ⅱ）判斷點M的位置，使得平面BDM與平面ABF所成銳二面角為．參考答案：考點：二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．專題：空間角．分析：（Ⅰ）由已知三角形的半徑關系得到AD⊥BD，再由面面垂直的性質得到ED⊥面ABCD，進一步得到BD⊥ED，利用線面垂直的判定得到BD⊥面ADEF，由BD?面BDM，利用面面垂直的判定得到平面BDM⊥平面ADEF；（Ⅱ）在面DAB內過D作DN⊥AB，垂足為N，則可證得DN⊥CD，以D為坐標原點，DN所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DE所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，求出所用點的坐標，結合E，M，C三點共線得到，把M的坐標用含有λ的代數式表示，求出平面BDM的法向量，再由平面ABF的法向量為，由平面BDM與平面ABF所成銳二面角為求得．則點M的坐標可求，位置確定．解答：（Ⅰ）證明：如圖，∵DC=BC=1，DC⊥BC，∴BD=，又∵AD=，AB=2，∴AD2+BD2=AB2，則∠ADB=90°，∴AD⊥BD．又∵面ADEF⊥面ABCD，ED⊥AD，面ADEF∩面ABCD=AD，∴ED⊥面ABCD，則BD⊥ED，又∵AD∩DE=D，∴BD⊥面ADEF，又BD?面BDM，∴平面BDM⊥平面ADEF；（Ⅱ）在面DAB內過D作DN⊥AB，垂足為N，∵AB∥CD，∴DN⊥CD，