命題、證明及平行線的判定定理（提高）知識講解【學習目標】.了解定義、命題的含義，會區分命題的條件（題設）和結論；.體會檢驗數學結論的常用方法：實驗驗證、舉出反例、推理；.了解公理和定理的定義，并能正確的寫出已知和求證，掌握證明的基本步驟和書寫格式；.掌握平行線的判定方法，并能簡單應用這些結論.【要點梳理】要點一、定義與命題.定義：一般地，用來說明一個名詞或者一個術語的意義的句子叫做定義要點詮釋：（1）定義實際上就是一種規定.（2）定義的條件和結論互換后的命題仍是真命題.命題：判斷一件事情的句子叫做命題.真命題：正確的命題叫做真命題.假命題：不正確的命題叫做假命題.要點詮釋：（1）命題的結構：命題通常由條件（或題設）和結論兩部分組成條件是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一般地，命題都可以寫成"如果……那么……”的形式其中“如果”開始的部分是條件，“那么”后面是結論.（2）命題的真假：對于真命題來說，當條件成立時，結論一定成立；對于假命題來說，當條件成立時，不能保證結論正確，即結論不成立.要點二、證明的必要性要判斷一個命題是不是真命題，僅僅依靠經驗、觀察、實驗和猜想是不夠的，必須一步一步、有根有據地進行推理.推理的過程叫做證明.要點三、公理與定理.公理：通過長期實踐總結出來，并且被人們公認的真命題叫做公理要點詮釋：歐幾里得將“兩點確定一條直線”等基本事實作為公理.定理：通過推理得到證實的真命題叫做定理.要點詮釋：證明一個命題的正確性要按已知、求證、證明的順序和格式寫出其中“已知”是命題的條件，“求證”是命題的結論，而“證明”則是由條件（已知）出發，根據已給出的定義、公理、已經證明的定理，經過一步一步的推理，最后證實結論（求證）的過程要點四、平行公理及平行線的判定定理1.平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.要點詮釋：⑴平行公理特別強調“經過直線外一點”，而非直線上的點，要區別于垂線的第一性質.⑵公理中“有”說明存在；“只有”說明唯一.（3）“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性.2.平行線的判定定理判定方法1:同位角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：「Z3=Z2??AB#CD（同位角相等，兩直線平行）判定方法2：內錯角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：「Z1=Z2??AB〃CD（內錯角相等，兩直線平行）判定方法3：同旁內角互補，兩直線平行.如上圖，幾何語言：??Z4+Z2=180°??AB#CD（同旁內角互補，兩直線平行）要點詮釋：平行線的判定是由角相等或互補，得出平行，即由數推形.【典型例題】類型一、定義與命題1.說出下列命題的條件和結論，并判斷它是真命題還是假命題：（1）在同一個三角形中，等角對等邊；（2）兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等；（3）有兩邊對應成比例,且有任意一角對應相等的兩個三角形相似.【答案與解析】解：（1）先把這個命題寫成“如果……那么……”的形式：如果在同一個三角形中，有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.條件：同一個三角形中的兩個角相等；結論：這兩個角所對的兩條邊相等它是真命題.（2）原命題可以寫成：如果兩個三角形有兩個角和其中一角的對邊對應相等，那么這兩個三角形全等.條件：兩個三角形有兩個角和其中一角的對邊對應相等；結論：這兩個三角形全等它是真命題.（3）原命題可以寫成：如果兩個三角形兩邊對應成比例，且有任意一角對應相等，那么這兩個三角形相似.條件：兩個三角形兩邊對應成比例，且有任意一角對應相等；結論：這兩個三角形相似它是假命題，反例：如下圖：【總結升華】要判斷一個命題是假命題,只要能夠舉出一個例子,使之具備命題的條件,而不具備命題的結論,就可以說明這一命題是假命題，這種例子通常稱為反例.舉一反三：【變式】下列語句中，哪些是命題，哪些不是命題，如果是命題的話，請指出是真命題還是假命題？（1）三角形的三條高交于一點；（2）解方程x2—2x—3=0； ⑶1+2W3.【答案】（2）不是命題；（1）（3）是命題，其中（1）是真命題，（3）是假命題.【變式2】下列真命題的個數是（）（1）直線a、b、c、d,如果a〃b、c〃b、c〃d,則a〃d.（2）兩條直線被第三條直線所截，同旁內角的平分線互相垂直（3）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等.（4）在同一平面內，如果兩直線都垂直于同一條直線，那么這兩直線平行.A.1個B.2個 C.3個D.4個【答案】B類型二、公理、定理及證明往2.證明：對頂角相等.【思路點撥】如果題目中沒有明確出“條件”和“結論”，應先寫出已知、求證、證明，如果需要的話并畫出圖形，再證明.【答案與解析】已知：如圖，直線AB,CD相交于點O,N1和N2是對頂角.證明：?「N1和N2是對頂角（已知），??OA與OB互為反向延長線（對頂角的意義）.??NAOB是平角（平角的定義）.同理，NCOD也是平角.AZ1和N2都是NAOC的補角（補角的定義）.?.N1=N2（等角的補角相等）.【總結升華】“對頂角相等”是一個定理，而不是公理.舉一反三：【變式】證明：相似三角形的周長比等于相似比.

【答案】已知:求證:證明:如圖，△ADEs^ABC, AE：已知:求證:證明:'△ADEQaBC-k?「△ADEMABC.\AE:AC=AD:AB=DE:BC=k???(AE+AD+DE):(AC+AB+BC)=k類型三、平行公理及平行線的判定,,,△ADE:C△ABC-k類型三、平行公理及平行線的判定3.(2015春?無錫)一副直角三角板疊放如圖所示，現將含45°角的三角板ADE固定不動，把含30°角的三角板ABC繞頂點A順時針旋轉Na(a=ZBAD且0°<a<180°),使兩塊三角板至少有一組邊平行.(1(1)如圖①，a=。時，BC〃DE；(2)請你分別在圖②、圖③的指定框內，各畫一種符合要求的圖形，標出a,并完成各項；圖③中a=。時，；圖③中a=。時，〃填空：圖②中a=。時，【思路點撥】(1)利用兩直線平行同位角相等，并求得a=45°-30°=15°；(2)利用平行線的性質及旋轉不變量求得旋轉角即可.【答案與解析】解：(1)圖①中a=15°時，BC〃DE,.?BC〃DE,.??N1=NB=60°,VZ1=ZD+Za,ZD=45°,?.Na=15°a=NCAD-NCAB=45°-30°=15°.(2)圖②中a=60°時，BC〃DA,VZBAC=30°,Za=60°,.??NDAC=90°=NC,.??NDAC+NC=180°,.??BC〃DA；圖③中a=105°時，BC〃EA.VZa=105°,ZDAE=45°,.??NEAB=60°,VZB=60°,.??NEAB=NB,???BC〃EA.故答案為：(1)15；(2)60；BC；DA；105；BC；【總結升華】本題考查了圖形的旋轉變化，學生主要看清是順時針還是逆時針旋轉，并判斷旋轉角為多少度，難度不大，但易錯.舉一反三:【變式】一個學員在廣場上駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是（）.A.第一次向左拐30°,第二次向右拐30°B.第一次向右拐50°,第二次向左拐130°C第一次向右拐50°,第二次向右拐130°D.第一次向左拐50°,第二次向左拐130°【答案】A提示：“方向相同”有兩層含義，即路線平行且方向相同，在此基礎上準確畫出示意圖.圖B顯然不同向，因為路線不平行.圖C中，N1=180°T30°=50°,路線平行但不同向.圖D中，N1=180°T30°=50°,路線平行但不同向.只有圖A路線平行且同向，故應選A.?（2016春太倉市期末）如圖，四邊形ABCD中，NA=NC=90°,BE平分NABC,DF平分NADC,則BE與DF有何位置關系？試說明理由.3尸 C【思路點撥】根據四邊形的內角和定理和NA=NC=90°,得NABC+NADC=180°；根據角平分線定義、等角的余角相等易證明和BE與DF兩條直線有關的一對同位角相等，從而證明兩條直線平行.【答案與解析】解：BE〃DF.理由如下：VZA=ZC=90°,.??NABC+NADC=180°VBE平分NABC,DF平分/ADC,AZ1=Z2=yNABC,N3=N4—■NADC,?，./1+/34(NABC+NADC)弓X180°=90°,XN1+NAEB=90°

.??N3=NAEB.??BE〃DF【總結升華】此題運用了四邊形的內角和是360°、角平分線定義、等角的余角相等和平行線的判定，考察的知識點較多，只有熟練掌握，才能運用自如.舉一反三：試判斷直線AB、【變式1】已知，如圖，BE平分ZABD,DE平分NCDB,且Z1與Z試判斷直線AB、解：AB〃CD解：AB〃CD,理由如下：??,BE平分NABD,DE平分NCDB,.ZABD=2Z1,ZCDB=2Z2.又二Z1+Z2=90°,.ZABD+ZCDB=180°???AB〃CD（同旁內角互補，兩直線平行）.【變式2】（2015?長春一模）如圖，直線a與直線b被直線c所截，b，c,N1=70°.若使直線b與直線a平行，則可將直線b繞著點A順時針旋轉垂足為點A,20°20°解：?「b，c,AZ2=90°.?/N1=70°,a〃b,.直線b繞著點A順時針旋轉的度數=90°-70°=20°.故選D.命題、證明及平行線的判定定理（提高）鞏固練習【鞏固練習】一、選擇題.下列說法中是真命題的有（）.①一條直線的平行線只有一條.②過一點與已知直線平行的直線只有一條.③因為a〃b,c〃d,所以a〃d.④經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.A.1個 B.2個 C.3個 D.4個.如果兩個角的一邊在同一直線上，另一邊互相平行，則這兩個角（）.A.相等 B.互補C.互余D.相等或互補.（2015?黔南州）如圖，下列說法錯誤的是（ ）人.若a〃b,b〃c,則a〃c B.若N1=N2,則a〃cC.若N3=N2,則b〃cD.若N3+N5=180°,則a〃c.一輛汽車在廣闊的草原上行駛，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，那么這兩次拐彎的角度可能是（）.A.第一次向右拐40°,第二次向右拐140°.B.第一次向右拐40°,第二次向左拐40°.C.第一次向左拐40°,第二次向右拐140°.D.第一次向右拐140°,第二次向左拐40°..（2016春?莒縣期末）如圖，下列條件中不能判定AB〃CD的是（）.A.Z3=Z4 B.Z1=Z5 C.Z1+Z4=180° D.Z3=Z5.（紹興）學習了平行線后，小敏想出了過已知直線外一點畫這條直線的平行線的新方法，她是通過折一張半透明的紙得到的（如圖，（1）—（4））:從圖中可知，小敏畫平行線的依據有（）.①兩直線平行，同位角相等.②兩直線平行，內錯角相等.③同位角相等，兩直線平行.④內錯角相等，兩直線平行.A.①②B.②③C.③④D.④①二、填空題

TOC\o"1-5"\h\z.在同一平面內的三條直線，它們的交點個數可能是 ..（2015春?高密市）如圖，在下列條件中：①NDAC=NACB；②NBAC二NACD；③NBAD+NADC=180°；④NBAD+NABC=180°.其中能使直線AB〃CD成立的.規律探究：同一平面內有直線a1,a2，a3…，a100，若a1，a2，a2〃a3，a3，a4…，按此規律，a1和a100的位置是 ..已知兩個角的兩邊分別平行，其中一個角為40°,則另一個角的度數是 ..（2016春?吳興區期末）如圖，EFLAB于點F,CDXAB于點D,E是AC上一點，N1=N2,則圖中互相平行的直線有 對..如圖，ABXEF于點G,CDXEF于點H,GP平分NEGB,HQ平分NCHF,則圖中互相平行的直線有 .三、解答題.如圖，N1=60°,N2=60°,N3=100°,要使AB〃EF,N4應為多少度?說明理由..(2015春泗陽)如圖，四邊形ABCD中，NA=NC=90°,BE平分NABC交CD于E,DF平分NADC交AB于F.(1)若NABC=60°,則NADC=°,NAFD=°；(2)求證：BE〃DF..如圖，把一張長芳形紙條ABCD沿AF折疊，已知/人口8=20°,那么NBAF為多少度時，才能使AB/〃BD?.如圖所示，由N1=N2,BD平分NABC,可推出哪兩條線段平行，寫出推理過程，如果推出另兩條線段平行，則應將以上兩條件之一作如何改變？【答案與解析】一、選擇題.【答案】A；【解析】只有④是真命題，其它均是假命題..【答案】D；.【答案】C；【解析】人、若@〃卜"5〃。，則@〃如利用了平行公理，正確；B、若/1=/2,則@〃的利用了內錯角相等，兩直線平行，正確；C、N3=N2,不能判斷匕〃一錯誤；D、若/3+/5=180°,則@〃如利用同旁內角互補，兩直線平行，正確；故選C..【答案】B；.【答案】D；【解析】N3和N5是同旁內角，同旁內角相等，不能判定兩直線平行..【答案】C；【解析】解決本題關鍵是理解折疊的過程，圖中的虛線與已知的直線垂直，過點P的折痕與虛線垂直.二、填空題.【答案】0或1或2或3個；.【答案】②③；【解析】①NDAC二NACB利用內錯角相等兩直線平行得到AD〃BC,錯誤；②NBAC二NACD利用內錯角相等兩直線平行得到AB〃CD,正確；③NBAD+NADC=180°利用同旁內角互補得到AB〃CD,正確；④NBAD+NABC=180°利用同旁內角互補得到AD〃BC,錯誤；故答案為：②③.【答案】匕〃4。。；【解析】為了方便，我們可以記為a1±a2#a3±a4#a5±a6#a7±a8#a9±a10^#a97±a98#a99±a100，因為aja/a3,所以a1±a3,而a3±a4,所以a/a/a(同理得a5#a8//a9,a9〃a12〃a13,…，接著這樣的規律可以得.〃%〃/。，所以a4/。..【答案】40°或140°；.【答案】2；【解析】EF/CD,ED/CB..【答案】AB/CD,GP/HQ；【解析】理由：???AB±EF,CDXEF.AZ