第六章

像差理論第六章像差理論慧差

2細光束場曲

4軸上點球差

31細光束像散

33第六章像差理論色差

6畸變

35第一節軸上點球差一、球差的概念和形成

在共軸球面系統中，軸上點和軸外點有不同的像差，軸上點因處于軸對稱位置，具有最簡單的像差形式。當軸上物點的物距L確定，并以寬光束孔徑成像時，其像方截距隨孔徑角U（或孔徑高度h）的變化而變化，因此軸上物點發出的具有一定孔徑的同心光束，經光學系統成像后不復為同心光束，如圖6-1所示。nn’圖6-1物點的像方截距隨孔徑角變化

第一節軸上點球差在孔徑角很小的近軸區域可以得到物點成像的理想位置l′，任意孔徑角U的成像光線偏離理想像點與光軸相交的位置為L′。我們把軸上物點以某一孔徑角U成像時，其像方截距L′與理想像點的位置l′之差稱為軸上點球差，又稱為軸向球差，用′表示（圖6-2），即圖6-2光學系統的球差

（6-1）-lA-U-dL'l'L'U'-dT'不同孔徑角U（或孔徑高度h）入射的光線有不同的球差值，如果軸上物點以最大孔徑角Um成像，其球差稱之為邊光球差，用表示，如果以孔徑角第一節軸上點球差成像，則相應的球差稱之為0.707帶球差，用表示，以此類推。軸上物點以充滿入瞳的整個孔徑光束成像時，根據不同孔徑角（或孔徑高度）得到的球差值可以作出系統的球差曲線，圖6-3所示為某一系統的球差曲線圖。

，這樣的系統稱之為消球差系統，如圖6-3所示。若大部分光學系統只能對某一孔徑高度校正球差，一般是對邊光校正球差，即第一節軸上點球差，稱之為球差校正不足，若，稱之為球差過校正，如圖6-4所示。

h0.707dL'mh1圖6-3球差曲線0.707hhm1dL'h0.707dL'mh1圖6-4球差校正不足和球差過校正由于共軸球面系統具有對稱性，孔徑角為U的整個圓形光錐面上的光線都具有相同的球差而交于同一點，延伸至理想像面上，將形成一個圓，其半徑稱為垂軸球差，如圖6-2所示，垂軸球差與軸向球差之間關系為第一節軸上點球差

(6-2)

由于球面成像計算公式是嚴格按照幾何光學的基本定律推導得出的，因此可以得出這樣的結論，即球差的形成是折射球面系統成像的一種必然現象（個別特殊點除外），它是軸上物點以單色光成像時的唯一像差。

，故級數中不含常數項，如此，球差的級數可表示為第一節軸上點球差二、球差的級數展開式

（6-3）

球差隨孔徑角或孔徑高度而變，為了研究球差的性質，分析如何使系統獲得最小的剩余球差，我們可以將球差展開成U或h的冪級數。由于軸上物點的軸對稱性，當U或h改變符號時，不變，故在級數中只含有U或h的偶次方項；而當U=0或h=0時，為近軸光線，有或

（6-4）

式中的U或h都采用相對值，最大孔徑時取為1，A1、A2、…、B1、B2、…為各次項系數。式中第一項稱為初級球差，第二項稱為二級球差，二級及以上球差又統稱為高級球差。大部分光學系統的孔徑角都不太大，所以，二級以上的高級球差已屬很小，可以忽略。對這類系統，其球差可用初級和二級兩項來表示，即式（6-3）可寫成第一節軸上點球差

（6-5）

第一節軸上點球差對于只含初級和二級球差（高級球差被忽略）的光學系統，只可能對一個孔徑帶消球差，光學設計通常對最大孔徑角Um或最大孔徑高度hm（即h=1）消球差，使，此時，由公式（6-5）得代入（6-5）得

（6-6）

第一節軸上點球差式（6-6）就是光學系統在邊光消球差時的球差表達式，若要分析此時具有最大球差的孔徑帶，只要將式（6-6）對h求導，并令其為0，不難得到，在

孔徑帶處的光線具有最大的球差（稱剩余球差），其值為即最大剩余球差為邊光二級球差的四分之一。校正球差的目標就是要使最大的剩余球差校正到系統允許的公差之內。

。此時物點發出的所有光線將沿球面的法線方向入射，即入射角對單個折射球面，可以證明，有三個物體位置可以不產生軸上點球差。這三個位置是：1.物點位于球面的球心處，即第一節軸上點球差三、單個折射球面的齊明點根據折射定律，折射角也為0，光線無偏折地通過球面，像點也將位于球心處，即如圖（6-5）所示。

，，C-UA,A'圖6-5物點位于球心處

第一節軸上點球差2.物點位于球面頂點，即。此時不論U角如何，所有入射光線射向此點，經折射后也都將經此點離開，即像點也位于頂點，，如圖（6-6）所示

A'AOUnn'(>n)3.物點位于處。此時對于任意孔徑角，有或，根據式（2-1）-

（2-4）計算得出，像點將位于處，與孔徑角無關。如圖（6-7）所示。

nA'-UCAn'(<n)I-I'圖6-6物點位于頂點處

圖6-7物點位于齊明點處

第一節軸上點球差上述不產生球差的物點位置，稱為齊明點，結合1和3的兩個齊明點位置可以構成無球差的齊明透鏡。如圖6-8所示為正、負齊明透鏡。A'C2A,C1C1,AC2A'圖6-8正、負齊明透鏡第一節軸上點球差四、單透鏡的球差對于單片薄透鏡，其光焦度為透鏡的光焦度是由成像要求決定的，當確定了透鏡的光焦度后，根據上式，透鏡的材料和曲率半徑都是可以選擇的。對于單透鏡而言，減小球差的方法有兩種，一是選擇材料，二是改變透鏡形狀（或稱透鏡彎曲。）第一節軸上點球差由球差的形成可以得知，球面越彎曲，光線的入射角就越大，球差也就越大。例如，一個對無限遠物體成像的凸平透鏡，焦距為100mm，孔徑高度取10mm，下表列出了三種不同折射率時的凸面半徑及球差值單透鏡焦距(mm)折射率凸面半徑(mm)球差值(mm)1001.550-1.1751001.660-0.851001.770-0.68表6－1在保證光焦度不變的情況下，可以通過增加透鏡的折射率來增大球面的曲率半徑，因為選擇高折射率的材料有利于減小球差。

第一節軸上點球差在材料選定后，要保證透鏡的光焦度，必須為定值。保持該定值，如果改變，也隨之變化，使得透鏡的形狀發生改變。或者說，同一光焦度的透鏡可以有不同的形狀。這種保持焦距不變而改變透鏡形狀的做法，稱為透鏡彎曲。

以物體在無窮遠為例，圖6-9給出了透鏡不同形狀下的球差變化曲線。可以看出，無論是正透鏡還是負透鏡，都存在一個最小球差的形狀，稱為透鏡最優形式。第一節軸上點球差-5dL'001r32101r5dL'圖6-9球差隨透鏡形狀而變的曲線第一節軸上點球差同時從圖6－9中還可以看到，正透鏡總是產生負球差，負透鏡產生正球差，單透鏡是無法自身校正球差的，為獲得消球差系統，必須采用正負透鏡的組合，最簡單的形式有雙膠合透鏡和雙分離透鏡，如圖（6-10）所示。

圖6-10雙膠合透鏡合雙分離透鏡

第二節慧差

一、慧差的概念和形成位于光軸以外的物點，由于偏離了共軸球面系統的對稱軸位置，成像后的光束聚焦情況比軸上點要復雜得多。本節我們討論由光束失對稱所引起的像差—慧差。

為了清楚地了解慧差的概念和形成，我們從光束中選取兩個互相垂直的平面光束來討論，以此來近似說明整個光束的情況。其中之一是由光軸和主光線決定的面，稱為子午面，另一個是過主光線并且與子午面垂直的面，稱為弧矢面。如圖6-11所示。

第二節慧差B弧矢面子午面z入瞳子午面是系統的對稱面，也是光束的對稱面，該平面內的光束經系統成像后仍位于該平面內。因此，可以用平面圖形表示出子午光束的結構。圖6-11軸外點的寬光束成像

第二節慧差圖6-12中，軸外物點B發出充滿入瞳的一束光，這束光以通過入瞳中心的主光線為對稱中心。考察主光線z和一對上下光線a、b。折射前，上下光線相對于主光線對稱，而折射后，上下光線不再對稱于主光線，它們的相交點偏離了主光線。Bbz'a'az入瞳Y'bB'tb'cY'a-K't高斯像面Y'z圖6-12子午慧差

第二節慧差為了分析這一原因，我們作一條連接軸外物點B和球心C的輔助光軸。顯然，物點B可看作是輔助光軸上的一點，它發出的a、b光線對和主光線z對于輔助光軸相當于三條不同孔徑角的入射光線，由于系統存在球差，三條光線不能交于一點，這就使得原本對稱主光線的一對上下光線，出射后不再關于主光線對稱。我們把這種上下光線對的交點到主光線的垂直距離稱為子午慧差，記為KT′。它的大小反映了子午光束失對稱的程度。第二節慧差由于a、b上下光線對的交點并不在理想像面上，為了計算上的方便，我們把上下光線對的交點高度用它們在像面上的各自交點的高度Ya′和Yb′的平均值代替，相應主光線的高度用主光線在像面上的高度YZ′表示，即子午慧差數學定義為

（6-7）

第二節慧差再看弧矢面的情況，圖6-13所示的是物點B以弧矢光線成像的立體圖，弧矢面內有一對前、后光線c、d，它們對稱于主光線，因此也對稱于子午面，因此，成像后的交點也必然在子午面內。這對光線在入射前雖然對稱于主光線，但是它們的折射情況與主光線不同。B'cBzdc入瞳-K'sd'z'c'B'sB'zZ'高斯像面Y'zY'zB'dY'圖6-13弧矢慧差

第二節慧差主光線在子午面內折射，而c、d光線在由入射光線和入射點法線所決定的平面內折射，因此它們雖相交在子午面內，但并沒有交在主光線上，這樣也使得這對光線出射后不再關于主光線對稱，它們的交點到主光線的垂直距離稱為弧矢慧差，記為KS′。同樣也在像面上度量，即

（6-8）

式中各符號的意義與式（6-7）類似。

第二節慧差慧差是軸外物點以寬光束成像的一種失對稱的垂軸像差，除了子午和弧矢兩個截面外，其它截面也都有不同形式的失對稱。如果入瞳為一圓環，軸外點進入系統的光線就是以物點為頂點、以主光線為對稱中心的圓錐面光束，不同的孔徑對應于不同大小的光錐。此光束經系統后，由于存在慧差，不復為對稱于主光線的圓錐面光束，也不再會聚于一點，它與高斯像面相交成一封閉的復雜曲線，曲線的形狀對稱于子午面。光錐角度越大，失對稱的程度也越大。整個入瞳可以看成由無數個大小不等的圓環組成，由軸外物點發出的所有通過這些圓環的圓錐面光束，經系統后在高斯像面上截得大小不等、形狀不一、并在垂軸方向上相互錯開的封閉曲線，最終疊加成一個形狀復雜、對稱于子午面的彌散斑。第二節慧差圖6-14表示了某系統僅含初級慧差時的軸外物點所成的彌散斑圖像，從圖6-14的初級慧差圖形中看到，主光線偏到了彌散斑的一邊，在主光線與像面的交點處，聚集的能量最多，因此也最亮，在主光線以外，能量逐漸散開，光斑變暗，所以，整個彌散斑形成了一個以主光線的交點為頂點的錐形彌散斑，其形狀像拖著尾巴的彗星，故得名慧差。顯然，慧差影響了軸外物點成像的清晰度。B'z圖6-14慧差圖形慧差是軸外點以大孔徑成像時的像差，不僅隨孔徑增大而增大，視場越大，慧差也越大，初級慧差與視場的一次方成正比。對于小視場大孔徑的光學系統，一般采用相對慧差來表示，即小視場的慧差可用第二節慧差二、正弦差、等暈條件和正弦條件表示

（6-9）稱為正弦差。正弦差的計算公式為其中，、是軸上點實際光線的入射、出射孔徑角，、是相應的近軸光線孔徑角，和分別是實際光線和近軸光線的像距，是入瞳的像距。

（6-10）（即系統軸上點的球差也為0）時，則有第二節慧差當正弦差為0，我們稱此時系統滿足等暈條件，顯然，正弦差就是系統不滿足等暈條件的標志。等暈條件可寫成若系統滿足等暈條件，則表明系統在小視場范圍內的寬光束成像也同軸上點一樣具有對稱的結構，如果此時軸上點存在球差，近軸小視場也只存在球差而不存在慧差。當滿足等暈條件（6-11）的同時又有利用拉赫公式，上式又可表示為或

（6-12）稱為正弦條件。

（6-11）第二節慧差三、孔徑光闌對慧差的影響慧差是由于軸外點寬光束的主光線與球面對稱軸不重合，而由折射球面的球差引起的。如果將入瞳設置在球面的球心處（如圖6-15所示），則通過入瞳的主光線與輔助光軸重合，此時軸外點同軸上點一樣，入射的上下光線對將對稱于該輔助光軸，出射光線也一定對稱于輔軸，球面將不產生慧差。入瞳偏離球心越遠，失對稱的現象越嚴重，慧差也就越大。

a-yBAzbbazC圖6-15入瞳設在球心處不產生慧差

第二節慧差由于慧差是垂軸像差，當系統結構完全對稱，孔徑光闌置于系統的中央，且物像放大率時，整個光束結構關于系統的中心點對稱（如圖6-16所示），系統前半部產生的慧差與后半部產生的慧差絕對值相同、符號相反，慧差完全自動消除。由于一般光學系統的放大率不等于－1，因此，絕對的對稱結構并不適合，根據實際系統的物像關系，設計接近對稱結構的光學系統，將有利于自動校正慧差。圖6-16全對稱結構慧差自動消除

第三節細光束像散

當軸外物點發出一束很細的光束通過入瞳進入系統時，成對的寬光束光線之間的失對稱現象將被忽略，球差也不會對細光束有大的影響。但是，光束各截面之間仍然存在著失對稱現象，且隨著視場的增大而愈加明顯。如圖6-17所示，軸外B點發出細光束在球面上所截得的曲面顯然已不是一個對稱的回轉曲面，它在不同截面方向上有不同的曲率，并在子午和弧矢這兩個相互垂直的截面方向上具有最大或最小的曲率，表現出最大的曲率差。子午和弧矢面上的細光束，雖然各自能會聚于主光線上的一點，但相互并不重合，即一個軸外物點以細光束成像，被聚焦為子午和弧矢兩個像，這種像差我們稱其為細光束像散。第三節細光束像散zAB入瞳光軸折射面a0d0b0c0dbca圖6-17軸外細光束成像

在包括子午和弧矢的各個截面方向上的折射半徑都相同，成像后將會聚于像方光軸上的同一點。軸外物點B發出的細光束交于折射球面的上方，考察相交的小區域第三節細光束像散為了分析像散形成的原因，我們來比較軸上物點和軸外物點的成像情況。圖6-17中，軸上物點A發出的細光束對稱于光軸，光束與折射球面相交所截得的曲面，在子午面上的光線以曲線段相交于球面，并按該曲線段的曲率半徑（猶如地球的徑度方向）折射，因此，具有光束中絕對值最大的曲率半徑。而在弧矢面上的光線以

曲線段相交于球面，并按該曲線段的曲率半徑（猶如地球的緯度方向）折射，具有光束中絕對值最小的曲率半徑。同一束光相對于折射面上不同的曲率半徑折射，因此它們將聚焦在不同的位置。

第三節細光束像散B-lA入瞳sl'l'tt's'tB'sB'CB'A'圖6-18弧矢像點和子午像點第三節細光束像散如果我們用和分別表示子午和弧氏光線的物距，和分別表示子午和弧氏光線的像距（圖6-18），則它們各自的物像關系由以下楊氏公式計算得到

（6-13）其中，和是主光線在球面上的入射角和折射角。

（6-14）子午像點到弧矢像點都位于主光線上，通常將子午像距和弧氏像距投影到光軸上（如圖6-18所示），

得和，并以兩者之間的距離來表示像散，用符號來表示。即

（6-15）

，而弧矢分量將光束聚焦在弧矢像面上，形成子午面內的垂軸短焦線分別光滑地連接在一起，就構成了子午像面和弧矢像面。像散的存在使軸外物點成像時分別在子午像面和弧矢像面上各有一次聚焦，光束中的光線若按子午和弧矢方位分解，其中的子午分量將光束聚焦在子午像面上，形成垂直于子午面的短焦線第三節細光束像散將各個視場的和，在兩次聚焦之間是連續的由線元到橢圓到圓再到橢圓再到線元的彌散斑變化(如圖6-19所示)。

第三節細光束像散T'入瞳S'T'S'Y'z圖6-19弧矢像面和子午像面第三節細光束像散如果被成像的物體由一些線條組成，經系統后，在子午像面上，這些線條在水平方向的分量聚焦得很清晰，而垂直方向的分量則看上去是模糊的；在弧矢像面上，這些線條在垂直方向的分量被清晰聚焦，而水平分量則顯得模糊，如圖6-20所示。因此，在有像散的情況下，接收器在像方找不到同時能讓各個方向的線條都清晰成像的單一像面位置。

3子午像21物弧矢像圖6-20有像散時的成像

第三節細光束像散通過對像散的形成的分析，不難想象，如果我們同對待慧差一樣將入瞳置于球面的球心處（圖6-21），那么，軸外點也同軸上點一樣，整個細光束將對稱于通過軸外物點的輔助光軸，光束的各個截面將具有相同的曲率半徑，折射后將會聚于同一點，此時，像散為0。A入瞳BC圖6-21入瞳位于球心處的球面不存在像散第四節細光束場曲

如果連接所有子午像點將得到一個彎曲的子午像面，連接所有的弧矢像點也可得到一個彎曲的弧矢像面。在視場中心處（即軸上像點），像散為0，細光束理想成像，因此子午像面和弧矢像面在視場中心處重合且與理想像面相切，如圖6-22所示。這樣，一個平面的垂軸物體，將形成兩個彎曲的像面。RT圖6-22子午場曲和弧矢場曲

第四節細光束場曲我們把平面物體成彎曲像面的這種成像缺陷統稱為場曲，用它們與高斯像面的軸向距離來度量。對應地，子午像面為子午場曲，弧矢像面為弧矢場曲。它們分別用和表示，即

（6-16）

第四節細光束場曲在圖6-23中，設球面物體Q與折射球面R同心。由分析可知，垂軸平面上的物體不可能成像在理想的垂軸像平面上，這種偏離現象隨視場的增大而逐漸加大，使得垂直于光軸的平面物體經球面成像后變得彎曲。這種彎曲并沒有考慮像散的影響，相當于像散為0時的情況，我們把這種沒有像散時的像面彎曲稱為匹茲伐場曲，用表示。

BAB1CA'B'B'1B'0圖6-23像面彎曲

第四節細光束場曲在有一定視場的光學系統中，子午像面、弧矢像面和匹茲伐像面各不重合，如圖6-24所示，并且面和面總在面的同側，且面比面更遠離由于面是像散為0時的場曲，而一般情況下像散總是存在的，因此匹茲伐面常不單獨存在，而是附加在子午場曲和弧矢場曲中，實際得到的只能是子午和弧矢兩個像面。

面。x'x',s't'pstOy/ymt's'px',tOx'sy/ym圖6-24場曲

第四節細光束場曲場曲的存在使得實際像面總是彎曲的，用平面接收屏無法獲得平面物體在整個視場范圍的清晰成像，或是視場中心清晰而邊緣模糊，或是邊緣清晰，中心模糊（如圖6-25所示）。圖6-25場曲的成像第五節畸變

理想光學系統中，物像共軛面上的垂軸放大率為常數，所以像與物總是相似的。但在實際光學系統中，只有在近軸區域才有這樣的性質。一般情況下，一對共軛面上的放大率并不是常數，隨視場的增大而變化，即軸上物點與視場邊緣具有不同的放大率，物和像因此不再完全相似，這種像對物的變形像差我們稱為畸變。

第五節畸變在圖6-26中，B點是平面物體的任一軸外點，過B點所作的輔助光軸與像面交于B0′，B0′點即為B點的理想像點。B點以細光束成像時交于輔軸上的B′點，B′B0′為B點的匹茲伐場曲。當B點以主光線成像時，交輔軸于B1′點，B1′B′為B點的球差，這是因為由B點發出的主光線相對于輔軸有一定孔徑角，將產生球差。所以，主光線最終經B1′點交像面于BZ′點，偏離了理想像點B0′，產生畸變。再看看位于光軸上的A點，主光線與光軸重合，主光線的像點與理想像點在像面的中心點A′重合，因此軸上點不存在畸變。第五節畸變BA入瞳CB'y'zA'B'0y'圖6-26主光線畸變由以上分析可以看出，畸變的形成既有場曲的因素也有球差的因素。第五節畸變畸變的度量有兩種方式，一種是絕對畸變，又稱線畸變，它表示主光線像點的高度與理想像點的高度之差，即另一種是相對畸變，即相對于理想像高的絕對畸變，通常用百分率表示，即

（6-18）

（6-17）第五節畸變一般情況下，畸變隨視場增大呈單調變化，可在物面上取若干個視場點，計算出各個視場的畸變，并以視場為縱坐標，畸變值為橫坐標，做出像面的畸變曲線，如圖6－27所示。a)b)c)圖6-27畸變圖形

第五節畸變畸變的校正與光闌位置有關，常作為校正畸變的手段。對于單個折射面，由前面討論的畸變的形成我們看出，如果將光闌設在球心處（如圖6-28），主光線將沿輔軸通過球心（單個球面的節點），又沿著輔軸交于像面的B0′點，與理想像點重合，不產生畸變。對于單個薄透鏡或薄透鏡組，當孔徑光闌與之重合時（如圖6-29），也不產生畸變，這是因為此時的主光線通過透鏡的主點（也是節點），沿理想光線出射之故。

圖6-28光闌設在球心處不產生畸變

圖6-29光闌與透鏡重合處不產生畸變

第五節畸變當孔徑光闌置于透鏡的前方（圖6-30），由主光線折射可以看出，B點成像得到負畸變，而當孔徑光闌置于透鏡的后方（圖6-31），B點成像將得到正畸變。如果將孔徑光闌置于兩個透鏡之間，由此不難分析，對前一個透鏡成像，產生正畸變，而對后一個透鏡成像則產生負畸變，兩者可以部分抵消，故對于結構完全對稱的光學系統，以成像時，畸變自動消除。事實上，凡對稱式光學系統且以倍率成像時，所有的垂軸像差都能自動消除，慧差和畸變都屬于此類像差。

zD'D'D孔徑光闌D孔徑光闌D'zD'圖6-30光闌在透鏡之前

圖6-31光闌在透鏡之后

第六節色差

大多數情況下，物體都以復色光（例如白光）成像，白光包含了各種不同波長的單色光，光學材料對不同波長的譜線有不同的折射率。第三章給出的透鏡計算表明，透鏡的焦距取決于兩表面的曲率半徑和材料的折射率，當半徑確定后，焦距隨折射率而變化。當白光經過光學系統時，系統對不同波長有不同的焦距，各譜線將形成各自的像點，導致一個物點對應有許許多多不同波長的像點位置和放大率，這種成像的色差異我們統稱為色差。第六節色差色差是描述兩種波長成像點的差異，對任意兩個波長譜線都可以計算色差，但一般情況下，都是根據接收器光譜響應范圍的來選擇計算色差的光譜譜線。如果接收器用于可見光（例如以人眼或普通感光材料作為接收器），通常選擇可見光譜范圍的兩端譜線中的F光（紫光）和C光（紅光）來計算色差，用它們之間的像點差異來表示白光光學系統的色差。色差的幾何描述有兩種：描述兩種波長像點位置差異的稱位置色差或軸向色差，通常對軸上點計算；描述兩種波長像點高度（或放大率）差異的稱倍率色差或垂軸色差，通常對軸外點計算。，二者之差稱為該孔徑的位置色差，記為ΔL′FC，即第六節色差一、位置色差

1．位置色差的概念與表現由圖6-32，以白光作為光源的軸上物點A發出一條孔徑角為U的光線，其中F譜線和C譜線在像方交光軸于和，像方截距分別為和（6-19）AA'l'DCl'A'l'FFCDA'圖6-32位置色差若A點以近軸光成像，應用近軸成像公式（2-6）-（2-8），代入相應的折射率計算，同樣會因折射率的差別得到不同的F光和C光近軸像點，其像距分別為和第六節色差。近軸區域的位置色差表示為

（6-20）

近軸區域的位置色差也稱初級位置色差。需要特別指出，以復色光成像的物體即使在近軸區域也不能獲得復色光的清晰像。圖6-31中，如果接收屏設在點，將看到像點是一個中心為藍色外圈為紅色的彩色彌散斑，如果接收屏設在點，則彩色彌散斑的中心為紅色，外圈為藍色。

第六節色差與不同的孔徑有不同的球差相對應，不同的孔徑也有不同的位置色差。為了了解光學系統的位置色差狀況，與計算球差一樣，取若干個孔徑系數，對F光和C光分別進行光路計算，求得它們各個孔徑時的像方截距，按圖6-33在同一個坐標系中，作出各自的球差曲線，同時繪出主色光（D光）的球差曲線，這樣作出的像差曲線可以同時直觀地反映出幾種像差：①各單色光的球差隨孔徑的變化；②位置色差隨孔徑的變化；③球差隨色光的變化（色球差）；④二級光譜。

0.850.3-0.100.10.50.7071hhm0.30.2dL'CFDDL'FCD圖6-33位置色差曲線和二級光譜第六節色差三條曲線在橫軸上的交點代表了三種色光各自的高斯像點，也反映了近軸的位置色差。此外，我們還定義球差的色變化為色球差，用表示，即式（6-21）表明，色球差的大小不僅與色差有關，還與系統的球差有關。圖6-33還反映了這樣一種情況，F光和C光在0.707孔徑處重合，表明在該孔徑處校正了色差。一般來講，校正色差只能對個別孔徑帶進行，特別應對0.707孔徑帶校正色差，這樣可以使最大孔徑的色差與近軸區域的色差絕對值相近，符號相反，整個孔徑內的色差將會獲得最佳的狀況。當0.707孔徑消色差后，F光和C光的交點與接收器最敏感的D光像點位置一般并不重合，其間距離稱為二級光譜，用ΔL′FCD表示，即

（6-22）

（6-21）第六節色差2．薄透鏡系統的位置色差及校正

由于色差在近軸區域也會產生，因此它比球差更嚴重地影響光學系統的成像質量，校正色差具有重要意義。下面我們介紹薄透鏡系統的初級位置色差及其校正的一些簡單方法。對于單個薄透鏡，對高斯公式（3-7）微分，可得

對薄透鏡的焦距公式微分，可得，

（6-23b）

（6-23a）上兩式中，為像點的初級位置色差；為物點的色差，為F光與C光的折射率差，稱為介質的平均色散。

第六節色差根據以下關系并引入表征光學玻璃材料色散的一個常數（稱為平均色散系數或阿貝常數）

（6-24）

（6-23a）式又可表示為由于物體本身不存在色差，即，上式又可寫成

（6-26）

（6-25）式（6-26）是單透鏡初級位置色差的表達式，從中可知，單透鏡本身不能消色差，且正透鏡產生負色差，負透鏡產生正色差，所以，光學系統校正色差必須采用正負透鏡組合。第六節色差假設光學系統為薄透鏡系統，可以利用式（6-26）對每個薄透鏡或薄透鏡組進行計算，并注意到物和像在相鄰光組間過渡時有以及（原物點沒有色差）。得到整個薄透鏡系統的初級位置色差為

（6-27）式（6-27）表明，在光學系統中，各透鏡對色差的貢獻除與本身的光焦度大小和阿貝常數有關外，還與它在光路中所處的位置有關。同一透鏡，當處于光線入射高度h大的位置，色差貢獻就大，反之亦然。消位置色差的條件應使（6-27）式中的求和式為0。

第六節色差對于緊密接觸的薄透鏡系統，光線在各透鏡上的高度相同，可以將h參量從式（6-27）中的求和式里提出來，這樣，消色差的條件成為。

（6-28）

這里，我們討論最簡單的也是最常用的接觸雙薄透鏡組（雙膠合或有微小間隔的雙分離正負透鏡組）的消色差組合。根據式（6-28），雙接觸薄透鏡的消色差條件為同時，透鏡組還必須滿足總光焦度，即

（6-30）

（6-29）第六節色差聯立式（6-29）和（6-30），可以解得消色差時的各透鏡的光焦度為、式（6-31）就是在滿足總光焦度的前提下，消色差雙接觸薄透鏡組的光焦度計算。該式表明，在總光焦度不為0的情況下，為使（6-31）有解，正負透鏡必須采用兩種不同的材料，并且兩種材料的阿貝常數之差應盡可能大，以使各透鏡的光焦度不致太小，否則引起其它像差校正的難度。

（6-31）的正透鏡的近軸位置色差曲線，在無限遠的白光照射下，各光譜譜線焦點的位置隨波長呈單調變化，數值也較大。圖6-35是一個總焦距為100第六節色差圖6-34是一個焦距為10