第3講統計、統計案例自主學習導引真題感悟1．（2012福建）一支田徑隊有男女運動員98人，其中男運動員有56人，按男女比例用分層抽樣的方法，從全體運動員中抽出一個容量為28的樣本，那么應抽取的女運動員人數是 ．解析利用分層抽樣的特點，按比例抽樣去分析．依題意，女運動員有98-56=42（人）.設應抽取女運動員x人，根據分層抽樣特x28點，得42=98，解得x=12.答案122．（2012湖北）容量為20的樣本數據，分組后的頻數如下表：分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]頻數234542則樣本數據落在區間［10,40）的頻率為A．0.35 B．0.45C．0.55 D．0.65解析根據頻率的定義求解.由表知［10,40）的頻數為2+3+4=9,9所以樣本數據落在區間［10.40）的頻率為20=0.45.答案B考題分析統計與統計案例部分的高考試題難度一般不大，考查的內容多為抽樣方法，用樣本估計總體、線性回歸分析、獨立性檢驗等，這類題目作為解答題出現時，往往與概率結合命題．網絡構建廠簡單隨機抽樣隨機抽樣—系統抽樣「分層抽樣—頻率分布直方圖總體估計—莖葉圖「方差與標準差變量的相關性—線性回歸方程1回歸分析及廠回歸分析的基本思想及其初步應用獨立性檢驗」獨立性檢驗高頻考點突破考點一：抽樣方法【例1】（2012中山模擬）某校共有學生2000名，各年級男、女學生人數如圖表示，已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到高二級女生的概率是0.19，現用分層抽樣的方法（按年級分層）在全校學生中抽取100人，則應在高三級中抽取的學生人數為.高一級高二級咼二級女生385xy男生375360z［審題導引］據題意求出字母的值，按照分層抽樣的規則計算．［規范解答］據題意得x=2000X0.19=380,???高三級的學生人數為y+z=2000-385-375-380-360=500,.?.在高三級中抽取的學生人數為500x￡000=25.［答案］25【規律總結】抽樣方法的選取注意分層抽樣與系統抽樣的計算方法，分層抽樣是按比例抽樣，比例的性質、方程的方法起主要作用；系統抽樣首先是對總體分段的計算，注意分段時可能要排除一些個體，各段的間隔距離是一樣的，但各段中抽取的個體就可有不同的規則，要根據這些規則通過計算確立抽取的個體．【變式訓練】1．某班級有50名學生，現要采取系統抽樣的方法在這50名學生中抽出10名學生，將這50名學生隨機編號1?50號，并分組，第一組1?5號，第二組6?10號，…，第十組46?50號.若在第三組中抽得號碼為12的學生，則在第八組中抽得號碼為 的學生．解析由于組距為5,所以所抽號碼為（8-3）X5+12=37.答案37考點二：用樣本估計總體【例2】（1）（2012西城二模）下圖是1、2兩組各7名同學體重（單位：kg）數據的莖葉圖?設1、2兩組數據的平均數依次為1和2，標準差依次為S］和$2，那么

1組2組3 6 7 854 6 8160102723（注：標準差s='（兀1_X）s2=-[(58-61)2+(57-61)2+(56-61)2+(53s2=-[(58-61)2+(57-61)2+(56-61)2+(53-61)2+(61-61)2+(72-61)2+其中x為x1，x2，?，x的平均數）A.xA.x1>x2,S]>s2B.x]>x2，s]Vs2C.xC.x]Vx2,S]Vs2D.x]Vx2，s]>s2（2）（2012?余州模擬）某年級120名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與]8秒之間．將測試結果分成5組：[]3,]4），[]4,]5），[]5,]6），[]6,]7），[]7,]8]，得到如圖所示的頻率分布直方圖.如果從左到右的5個小矩形的面積之比為1：3：7：6：3,那么成績在[16,18啲學生人數是 .(70－(70－61)2]=299V，[審題導引]（1）根據莖葉圖中的數據分別計算丁1,72,s2,s2,然后比較大小；（2）根據直方圖中各小矩形的面積和為1計算出成績在[16,18]的頻率，然后計算成績在[16,18]的學生人數．[規范解答]（1）由莖葉圖知－ 58＋57＋56＋53＋61＋72＋70x1= =61.

6+31+36+31+3+7+6+320，9所以成績在［16,18］的學生人數為石X120=54.［答案］(1)C(2)54【規律總結】用樣本估計總體時應注意的問題理解在抽樣具有代表性的前提下，可以用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布，用樣本的特征數估計總體的特征數，這是統計的基本思想；反映樣本數據分布的主要方式，一個是頻率分布表，一個是頻率分布直方圖，要學會根據頻率分布直方圖估計總體的概率分布以及總體的特征數，特別是均值、眾數和中位數；要掌握好樣本均值和方差的實際意義，并在具體的應用問題中會根據計算樣本數據的均值和方差對實際問題做出解釋；莖葉圖是表示樣本數據分布的一種方法，其特點是保留了所有的原始數據，這是莖葉圖的優勢．【變式訓練】2．(2012義烏模擬)在如圖所示的莖葉圖中，乙組數據的中位數是 ；若從甲、乙兩組數據中分別去掉一個最大數和一個最小數后，兩組數據的平均數中較大的一組是 組．甲乙07954551844647m93解析把乙組數據從小到大排，得79,84,84,84,86,87,93，故中位數是84,x=84,x=85,甲乙二x>x乙甲．答案84乙(2012杭州二模)將容量為n的樣本中的數據分成6組，若第一組至第六組數據的頻率之比為2：3：4：6：4：1，且前三組數據的頻數之和等于27,則n的值為A.70 B.60 C.50 D.40

解析據題意知2+解析據題意知2+3+42+3+4+6+4+127n?'?n=60.答案B考點三：線性回歸分析【例3】某種設備的使用年限x和維修費用y(萬元)有以下的統計數據，如表所示x3456y2.5344.5(1)畫出上表數據的散點圖；請根據上表提供的數據，求出y關于x的線性回歸方程y=bx+a；估計使用年限為10年，維修費用是多少？［審題導引］(1)根據對應值組成點的坐標，畫出各點即可；直接套用求回歸直線系數的公式，求出b，a；根據求出的回歸直線方程，求當x=10時對應的y值，即使用年限為10年時,維修費用的估計值．［規范解答］(1)作出散點圖如圖所示．和甘66.5,苧=32+42+52+62=86,x=4.5,y=3.5,66.5-466.5-4X4.5X3.586-4X4.5266.5-6386-81=0.7,a=-y-b-x=3.5-0.7X4.5=0.35,所以所求的回歸方程為$=0.7x+0.35.(3)當x=10時，y=0.7X10+0.35=7.35,所以使用年限為10年,維修費用的估計值是7.35萬元規律總結】求線性回歸分析問題的方法

畫出兩個變量的散點圖；求回歸直線方程；用回歸直線方程進行預報．其中求回歸直線方程是關鍵．而求回歸直線方程的最好方法是“最小二乘法"，即對于線性回歸模型y=a+bx來說，估計模型中的未知參數a和b的最好方法就是用最小二乘法，其計算公式為￡（兀廠兀）（y廠y）b=i一i ?好方法就是用最小二乘法，其計算公式為￡（x－－x）2i=1 i￡nxiy￡nxiyi－nx［易錯提示］雖然由任何一組不完全相同的數據都可以求出回歸直線方程，但只有具有線性相關關系的一組數據才能得到有意義的回歸直線方程，求出的方程才具有實際價值．線性相關系數可以是正、負或零，線性相關系數為正時是正相關，為負時是負相關，反之也成立．變式訓練】(2012?深圳模擬)某車間為了規定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗．根據收集到的數據(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程y=0.67x+54.9.TOC\o"1-5"\h\z零件數％(個) 10 20 30 40 50加工時間y(min) 62 75 81 89現發現表中有一個數據模糊看不清，請你推斷出該數據的值為 .解析由表知丁=30，設模糊不清的數據為y,－1 307＋y貝Uy=5(62+y+75+81+89)= 5—,Ty=0.67x+54.9,307＋y即一=0.67X30+54.9,解得y=68.答案68考點四：獨立性檢驗【例4】有甲、乙兩個班級進行數學考試，按照大于等于85分為優秀，85分以下為非優秀統計成績后，得到如下列聯表.優秀非優秀總計甲班10乙班30合計1052已知在全部105人中隨機抽取1人為優秀的概率為7?請完成上面的列聯表．根據列聯表中的數據，若按95%的可靠性要求，能否認為“成績與班級有關系”？若按下面的方法從甲班優秀的學生中抽取一人：把甲班優秀的10名學生從2到11進行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現的點數之和為被抽取人的序號．試求抽到6號或10號的概率．2［審題導引］第(I)問由題易知成績優秀的概率是7,則成績優秀的學生數是30，成績非優秀的學生數是75，據此即可以完成列聯表；第(2)問按照獨立性檢驗的原理進行判斷；第(3)問列舉基本事件個數和隨機事件含有的基本事件個數,按照古典概型的概率公式進行計算．［規范解答］(1)列聯表如表所示優秀非優秀總計甲班104555乙班203050合計3075105(2)根據列聯表中的數據，得到k丿駕為咒餘4"^6.109>3.841,因此有95%的把握認為“成績與班級有關系”．(3)設“抽到6號或10號”為事件A,先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現的點數為(x，y).所有的基本事件有(1,1),(1,2),?(6,6)，共36個.事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8個，故82P(A)=^=9-【規律總結】獨立性檢驗的一般步驟根據樣本數據列出2X2列聯表，假設兩個變量無關系；

5.(2012?南京模擬)某研究小組為了研究中學生的身體發育情況，在某學校隨機抽出20名15至16周歲的男生，將他們的身高和體重制成2X2列聯表，根據列聯表的數據，可以有 %的把握認為該學校15至16周歲的男生的身高和體重之間有關系.招重不招重合計偏高415不偏高31215合計71320獨立性檢驗臨界值表：P（K2三k）00.0250.0100.0050.001k05.0246.6357.87910.828獨立性檢驗隨機變量K2值的計算公式:_ n(ad-bc)2K (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)°解析k=2￥4X12；3X1"=5.934,根據臨界值表可知有97.5%的把握認為5X15X7X13該學校15至16周歲的男生的身高和體重之間有關系．答案97.5名師押題高考【押題1】根據下面頻率分布直方圖(如圖所示)估計樣本數據的中位數、眾數分別為A．12.5,12.5 B．13,12.5C．12.5,13 D．14,12.5解析中位數是位于中間的數，故中位數是13，眾數是12.5，中位數把圖形的面積一分為二．答案B［押題依據］高考要求考生能通過樣本的分布估計總體的分布；根據樣本的特征

數估計總體的特征數，考查考生的讀圖能力、概括能力，故押此題．【押題2】某高校從參加今年自主招生考試的學生中隨機抽取50名學生的成績作為樣本，得頻率分布表如下：組號分組頻數頻率第一組[230,235)0.16第二組[235,240)①0.24第三組[240,245)15②第四組[245,250)100.20第五組[250,255]50.10合計501.00寫出表中位置①②處的數據；為了選拔更優秀的學生，高校決定在第三、四、五組中用分層抽樣法抽取6名學生進行第二輪考核，分別求出第三、四、五組參加考核的人數；在(2)的前提下，高校決定在這6名學生中錄取2名學生，求2人中至少有1人在第四組中的概率．解析(1)由題知位置①的數據是50X0.24=12,位置②的數據是50=0.30.(2)第三組參加考核的人數為3^X6=3;第四組參加考核的人數為30X6=2;第五組參加考核的人數為30X6=1.(3)設第三組的3名學生為A、B、C,第四組的2名學生為D、E,第五組的1名學生為F,則從這6名學生中