專題01二次根式的化簡與求值閱讀與思考二次根式的化簡與求值問題常涉及最簡根式、同類根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、換元等技巧.有條件的二次根式的化簡與求值問題是代數變形的重點，也是難點，這類問題包含了整式、分式、二次根式等眾多知識，又聯(lián)系著分解變形、整體代換、一般化等重要的思想方法，解題的基本思路是：1、直接代入直接將已知條件代入待化簡求值的式子.2、變形代入適當地變條件、適當地變結論，同時變條件與結論，再代入求值數學思想：數學中充滿了矛盾，如正與負，加與減，乘與除，數與形，有理數與無理數，常量與變量、有理式與無理式，相等與不等，正面與反面、有限與無限，分解與合并，特殊與一般，存在與不存在等，數學就是在矛盾中產生，又在矛盾中發(fā)展.想一想：若、彳+\5=、n（其中羽y,n都是正整數），則%小,\5高都是同類二次根式，為什么？例題與求解【例1】1+72552

2時，代數式【例1】1+72552

2時，代數式(4x3—2005x—2001)2003的值是(A、0B、一1C、1 D、-22003（紹興市競賽試題）【例2】化簡(1)(1)a弋b+bxja

aa+bbabb—b（黃岡市中考試題）40+E-樂-%萬J0+<14+<15+、;21(五城市聯(lián)賽試題)

(4)<6+4<3+3<2(<6+3)(<3+72)(4)<6+4<3+3<2(<6+3)(<3+72)（北京市競賽試題）3<15—<10—2<6+3<3—、2+18v15+2c3+1（陜西省競賽試題）解題思路：若一開始把分母有理化，則計算必定繁難，仔細觀察每題中分子與分母的數字特點，通過分解、分析等方法尋找它們的聯(lián)系，問題便迎刃而解.思想精髓：因式分解是針對多項式而言的，在整式，分母中應用非常廣泛，但是因式分解的思想也廣泛應用于解二次根式的問題中，恰當地作類似于因式分解的變形，可降低一些二次根式問題的難度【例3】比（v16+、：'5）6大的最小整數是多少?（西安交大少年班入學試題）解題思路：直接展開，計算較繁，可引入有理化因式輔助解題，即設x=+石+<5,y=,而73, , ，不_,x4一6x3-2x2+18x+23，― 、，、， “…，想一想：設x=<19-8v3,求 的值.（“祖沖之杯”邀請賽試題）x3-7x2+5x+15形如：\；A土JB的根式為復合二次根式，常用配方，引入參數等方法來化簡復合二次根式【例4】 設實數％,y滿足(x+\■'X2+T)(y+、2+1)=1,求x+y的值.（“宗瀘杯”競賽試題）解題思路：從化簡條件等式入手，而化簡的基本方法是有理化【例5】 （1）代數式\42+4+、:：（12-x）2+9的最小值.（2）求代數式\:x2—8x+41+x2—4x+13的最小值.（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：對于（1），目前運用代數的方法很難求此式的最小值，aa2+b2的幾何意義是直角邊為a，b的直角三角形的斜邊長，從構造幾何圖形入手，對于（2），設y=式x—4）2+52+q（x—2）2+32，設a（x，0），B（4，5），C（2，3）相當于求AB+AC的最小值，以下可用對稱分析法解決.方法精髓：解決根式問題的基本思路是有理化，有理化的主要途徑是乘方、配方、換元和乘有理化因式.【例6】設m—a++2a—1+\:a—2a—1（1VaV2），求m10+m9+m8+m7+L+m—47的值.解題思路：配方法是化簡復合二次根式的常用方法，配方后再考慮用換元法求對應式子的值能力訓練A級,7、 ；32008+152008.化簡：(7)1001^——--(“希望杯”邀請賽試題)3 72008+352008.若x+J=瓜仁反x—J=J3”-有，則?=（北京市競賽試題）71^97a/1^9(J1W-<1999)(<1997-<,2001)(./1999-、-,2001)(<1999-<1W)3.計算：2001(<2001-<1997)(<2001-$1999)（“希望杯”邀請賽試題）.若滿足0Vx<J及71088=?+G的不同整數對（x,J）是（上海市競賽試題）.如果式子"■'（X-1）2+v'（x-2）2化簡結果為2x—3,則x的取值范圍是（ ）A.xW1 B.x三2 C.1WxW2 D.x>06、計算%；14+65-\.14-65的值為（ ）

1%5D1%5D.5（全國初中數學聯(lián)賽試題）a,b,c為有理數，且等式a+仄；2+c右=<5+26成立，則2a+999b+1001c的值是（ ）A.1999B.2000C.2001D.不能確定（全國初中數學聯(lián)賽試題）8、有下列三個命題甲：若a,B是不相等的無理數，則ap+a-0是無理數；乙：若a,B是不相等的無理數，則a-P是無理數；a+p丙：若a,B是不相等的無理數，則忑+ 是無理數；TOC\o"1-5"\h\z其中正確命題的個數是（ ）A.0個 B.1個 C.2個 D.3個（全國初中數學聯(lián)賽試題）9、化簡：（1）x弋y-yOx_2+xc （2） 2口x<y+y、：xy\x-x《y <3+J2-<5(3) E+5幣+4旗7+<77+<66+<42(4(4)(5(5)一—3—%6—<10+<15（“希望杯”邀請賽試題）10、設10、設％="3：-5,求代數式(x+1)(X+2)(X+3)(x+4)的值.（“希望杯邀請賽試題）（“希望杯邀請賽試題）11、已知\7x2+9x+13+%：7x2—5x+13=7x，求％的值.nn+1—\.n nn+1+nn12nn+1—\.n nn+1+nn12、設%――: =,%=一; =7n+1+yn\.1n+1—n值為1985?（n為自然數），當n為何值，代數式19%2+123盯+19y2的B級1 11.已矢口%= ,y= =,貝U%3+12%y+y3=2+J3 2—<3（四川省競賽試題）2.已知實數%，y滿足(%—%-,%2—2008)(y—、:y2—2008)—2008，則3%2—2y2+3%—3y—2007=（全國初中數學聯(lián)賽試題）, 4—<7 X2 ―一3.已知%――^,那么 = (重慶市競賽試題)3 %4+%2+1■— :: 3 3 3 1a=孤+尬+裊那么—+一+一=. (全國初中數學聯(lián)賽試題)aa2a3a,b為有理數，且滿足等式a+以3―66g\,1+<4+2<3則a+b=( )A.2 B.4 C.6 D.8(全國初中數學聯(lián)賽試題)已知a=<2—1，b=2<2—\6,c=x'6—2，那么a,b,c的大小關系是( )Aa<b<cB.b<a<cC.c<b<cD.c<a<b（全國初中數學聯(lián)賽試題）— 1 .— 二-已知匯%=一aa，則v4%+%2的值是（ ）aa1 1A. a—— B. ——aa a1C. a+- D.不能確定a（陜西省競賽試題））TOC\o"1-5"\h\z8.若［a］表示實數a的整數部分，則［-=1==］等于（ ）\，16—6口A.1 B.2 C.3 D.49.把(9.把(a—1)?中根號外的因式移到根號內，則原式應等于（a—1A.v1—aB.<a—1 C.一弋a—1D.—\：1—a10、化簡:：1998*1999*2000*2001+1⑴V + 1 +L+ 1)2H+1%■'123<2+2<3 100<99+99<1008+2<15—,.10—v,6(3)g+*汴—、/(4);2(6—2<3—2<5+<15)（武漢市調考題）（“希望杯”邀請賽試題）（新加坡