...wd......wd......wd...第一章緒論1．設,的相對誤差為，求的誤差。解：近似值的相對誤差為而的誤差為進而有2．設的相對誤差為2%，求的相對誤差。解：設，那么函數的條件數為又,又且為23．以下各數都是經過四舍五入得到的近似數，即誤差限不超過最后一位的半個單位，試指出它們是幾位有效數字：,,,,解：是五位有效數字；是二位有效數字；是四位有效數字；是五位有效數字；是二位有效數字。4．利用公式(2.3)求以下各近似值的誤差限：(1),(2),(3).其中均為第3題所給的數。解：5計算球體積要使相對誤差限為1，問度量半徑R時允許的相對誤差限是多少解：球體體積為那么何種函數的條件數為又故度量半徑R時允許的相對誤差限為6．設，按遞推公式〔n=1,2,…〕計算到。假設取〔5位有效數字〕，試問計算將有多大誤差解：……依次代入后，有即，假設取,的誤差限為。7．求方程的兩個根，使它至少具有4位有效數字〔〕。解：，故方程的根應為故具有5位有效數字具有5位有效數字8．當N充分大時，怎樣求解設。那么9．正方形的邊長大約為了100cm，應怎樣測量才能使其面積誤差不超過解：正方形的面積函數為.當時，假設,那么故測量中邊長誤差限不超過0.005cm時，才能使其面積誤差不超過10．設，假定g是準確的，而對t的測量有秒的誤差，證明當t增加時S的絕對誤差增加，而相對誤差卻減少。解：當增加時，的絕對誤差增加當增加時，保持不變，那么的相對誤差減少。11．序列滿足遞推關系(n=1,2,…),假設〔三位有效數字〕，計算到時誤差有多大這個計算過程穩定嗎解：又又計算到時誤差為，這個計算過程不穩定。12．計算，取，利用以下等式計算，哪一個得到的結果最好,,，。解：設，假設，，那么。假設通過計算y值，那么假設通過計算y值，那么假設通過計算y值，那么通過計算后得到的結果最好。13．,求的值。假設開平方用6位函數表，問求對數時誤差有多大假設改用另一等價公式。計算，求對數時誤差有多大解,設那么故假設改用等價公式那么此時，第二章插值法1．當時，,求的二次插值多項式。解：那么二次拉格朗日插值多項式為2．給出的數值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用線性插值及二次插值計算的近似值。解：由表格知，假設采用線性插值法計算即，那么假設采用二次插值法計算時，3．給全的函數表，步長假設函數表具有5位有效數字，研究用線性插值求近似值時的總誤差界。解：求解近似值時，誤差可以分為兩個局部，一方面，x是近似值，具有5位有效數字，在此后的計算過程中產生一定的誤差傳播；另一方面，利用插值法求函數的近似值時，采用的線性插值法插值余項不為0，也會有一定的誤差。因此，總誤差界的計算應綜合以上兩方面的因素。當時，令取令那么當時，線性插值多項式為插值余項為又在建設函數表時，表中數據具有5位有效數字，且，故計算中有誤差傳播過程。總誤差界為4．設為互異節點，求證：〔1〕〔2〕證明令假設插值節點為，那么函數的次插值多項式為。插值余項為又由上題結論可知得證。5設且求證：解：令，以此為插值節點，那么線性插值多項式為=插值余項為6．在上給出的等距節點函數表，假設用二次插值求的近似值，要使截斷誤差不超過，問使用函數表的步長h應取多少解：假設插值節點為和，那么分段二次插值多項式的插值余項為設步長為h，即假設截斷誤差不超過，那么7．假設，解：根據向前差分算子和中心差分算子的定義進展求解。8．如果是m次多項式，記，證明的k階差分是次多項式，并且〔為正整數〕。解：函數的展式為其中又是次數為的多項式為階多項式為階多項式依此過程遞推，得是次多項式是常數當為正整數時，9．證明證明得證10．證明證明：由上題結論可知得證。11．證明證明得證。12．假設有個不同實根，證明：證明：有個不同實根且令那么而令那么又得證。13．證明階均差有以下性質：〔1〕假設，那么〔2〕假設，那么證明：〔1〕得證。+得證。14．求及。解：假設那么15．證明兩點三次埃爾米特插值余項是解：假設，且插值多項式滿足條件插值余項為由插值條件可知且可寫成其中是關于的待定函數，現把看成上的一個固定點，作函數根據余項性質，有由羅爾定理可知，存在和，使即在上有四個互異零點。根據羅爾定理，在的兩個零點間至少有一個零點，故在內至少有三個互異零點，依此類推，在內至少有一個零點。記為使又其中依賴于分段三次埃爾米特插值時，假設節點為，設步長為，即在小區間上16．求一個次數不高于4次的多項式P〔x〕，使它滿足解：利用埃米爾特插值可得到次數不高于4的多項式設其中，A為待定常數從而17．設，在上取，按等距節點求分段線性插值函數，計算各節點間中點處的與值，并估計誤差。解：假設那么步長在小區間上，分段線性插值函數為各節點間中點處的與的值為當時，當時，當時，當時，當時，誤差又令得的駐點為和18．求在上分段線性插值函數，并估計誤差。解：在區間上，函數在小區間上分段線性插值函數為誤差為19．求在上分段埃爾米特插值，并估計誤差。解：在區間上，令函數在區間上的分段埃爾米特插值函數為誤差為又20．給定數據表如下：Xj0.250.300.390.450.53Yj0.50000.54770.62450.67080.7280試求三次樣條插值，并滿足條件：解：由此得矩陣形式的方程組為21M02M12M22M312M4求解此方程組得三次樣條表達式為將代入得由此得矩陣開工的方程組為求解此方程組，得又三次樣條表達式為將代入得21．假設是三次樣條函數，證明：假設，式中為插值節點，且，那么證明：從而有第三章函數逼近與曲線擬合，給出上的伯恩斯坦多項式及。解：伯恩斯坦多項式為其中當時，當時，當時，求證證明：假設，那么3．證明函數線性無關證明：假設分別取，對上式兩端在上作帶權的內積，得此方程組的系數矩陣為希爾伯特矩陣，對稱正定非奇異，只有零解a=0。函數線性無關。4。計算以下函數關于的與：m與n為正整數，解：假設，那么在內單調遞增假設，那么假設m與n為正整數當時,當時,在內單調遞減當時,在內單調遞減。假設當時，在內單調遞減。5。證明證明：6。對，定義問它們是否構成內積。解：令〔C為常數，且〕那么而這與當且僅當時，矛盾不能構成上的內積。假設，那么,那么假設，那么,且即當且僅當時，.故可以構成上的內積。7。令，試證是在上帶權的正交多項式，并求。解：假設，那么令，那么，且，故又切比雪夫多項式在區間上帶權正交，且是在上帶權的正交多項式。又8。對權函數，區間，試求首項系數為1的正交多項式解：假設，那么區間上內積為定義，那么其中9。試證明由教材式給出的第二類切比雪夫多項式族是上帶權的正交多項式。證明：假設令，可得當時，當時，又，故得證。10。證明切比雪夫多項式滿足微分方程證明：切比雪夫多項式為從而有得證。11。假設在上連續，求的零次最正確一致逼近多項式解：在閉區間上連續存在，使取那么和是上的2個輪流為“正〞、“負〞的偏差點。由切比雪夫定理知P為的零次最正確一致逼近多項式。12。選取常數，使到達極小，又問這個解是否唯一解：令那么在上為奇函數又的最高次項系數為1，且為3次多項式。與0的偏差最小。從而有13。求在上的最正確一次逼近多項式，并估計誤差。解：于是得的最正確一次逼近多項式為即誤差限為14。求在上的最正確一次逼近多項式。解：于是得的最正確一次逼近多項式為15。求在區間上的三次最正確一致逼近多項式。解：令，那么且令，那么假設為區間上的最正確三次逼近多項式應滿足當時，多項式與零偏差最小，故進而，的三次最正確一致逼近多項式為，那么的三次最正確一致逼近多項式為16。，在上求關于的最正確平方逼近多項式。解：假設且，那么那么法方程組為解得故關于的最正確平方逼近多項式為17。求函數在指定區間上對于的最正確逼近多項式：解：假設且，那么有那么法方程組為從而解得故關于的最正確平方逼近多項式為假設且，那么有那么法方程組為從而解得故關于的最正確平方逼近多項式為假設且，那么有那么法方程組為從而解得故關于的最正確平方逼近多項式為假設且那么有那么法方程組為從而解得故關于最正確平方逼近多項式為18。，在上按勒讓德多項式展開求三次最正確平方逼近多項式。解：按勒讓德多項式展開那么從而的三次最正確平方逼近多項式為19。觀測物體的直線運動，得出以下數據：時間t(s)00.91.93.03.95.0距離s(m)010305080110求運動方程。解：被觀測物體的運動距離與運動時間大體為線性函數關系，從而選擇線性方程令那么那么法方程組為從而解得故物體運動方程為20。實驗數據如下：192531384419.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如的經歷公式，并計算均方誤差。解：假設，那么那么那么法方程組為從而解得故均方誤差為21。在某佛堂反響中，由實驗得分解物濃度與時間關系如下：時間0510152025303540455055濃度01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64用最小二乘法求。解：觀察所給數據的特點，采用方程兩邊同時取對數，那么取那么那么法方程組為從而解得因此22。給出一張記錄用FFT算法求的離散譜。解：那么01234567432101234444048404801600023，用輾轉相除法將化為連分式。解24。求在處的階帕德逼近。解：由在處的泰勒展開為得從而即從而解得又那么故25。求在處的階帕德逼近。解：由在處的泰勒展開為得從而即解得又那么故第四章數值積分與數值微分1.確定以下求積公式中的特定參數，使其代數精度盡量高，并指明所構造出的求積公式所具有的代數精度：解：求解求積公式的代數精度時，應根據代數精度的定義，即求積公式對于次數不超過m的多項式均能準確地成立，但對于m+1次多項式就不準確成立，進展驗證性求解。〔1〕假設令，那么令，那么令，那么從而解得令，那么故成立。令，那么故此時，故具有3次代數精度。〔2〕假設令，那么令，那么令，那么從而解得令，那么故成立。令，那么故此時，因此，具有3次代數精度。〔3〕假設令，那么令，那么令，那么從而解得或令，那么故不成立。因此，原求積公式具有2次代數精度。〔4〕假設令，那么令，那么令，那么故有令，那么令，那么故此時，因此，具有3次代數精度。2.分別用梯形公式和辛普森公式計算以下積分：解：復化梯形公式為復化辛普森公式為復化梯形公式為復化辛普森公式為復化梯形公式為復化辛普森公式為復化梯形公式為復化辛普森公式為3。直接驗證柯特斯教材公式〔2。4〕具有5交代數精度。證明：柯特斯公式為令，那么令，那么令，那么令，那么令，那么令，那么令，那么因此，該柯特斯公式具有5次代數精度。4。用辛普森公式求積分并估計誤差。解：辛普森公式為此時，從而有誤差為5。推導以下三種矩形求積公式：證明：兩邊同時在上積分，得即兩邊同時在上積分，得即兩連邊同時在上積分，得即6。假設用復化梯形公式計算積分，問區間應人多少等分才能使截斷誤差不超過假設改用復化辛普森公式，要到達同樣精度區間應分多少等分解：采用復化梯形公式時，余項為又故假設，那么當對區間進展等分時，故有因此，將區間213等分時可以滿足誤差要求采用復化辛普森公式時，余項為又假設，那么當對區間進展等分時故有因此，將區間8等分時可以滿足誤差要求。7。如果，證明用梯形公式計算積分所得結果比準確值大，并說明其幾何意義。解：采用梯形公式計算積分時，余項為又且又即計算值比準確值大。其幾何意義為，為下凸函數，梯形面積大于曲邊梯形面積。8。用龍貝格求積方法計算以下積分，使誤差不超過.解：00.771743310.72806990.713512120.71698280.71328700.713272030.71420020.71327260.71327170.7132717因此03.45131318.628283-4.446923因此014.2302495111.171369910.1517434210.443796910.201272510.2045744310.266367210.207224010.207620710.2076691410.222270210.207571210.207594310.207593910.2075936510.211260710.207590910.207592210.207592210.207592210.2075922因此9。用的高斯-勒讓德公式計算積分解：令，那么用的高斯—勒讓德公式計算積分用的高斯—勒讓德公式計算積分10地球衛星軌道是一個橢圓，橢圓周長的計算公式是這是是橢圓的半徑軸，c是地球中心與軌道中心〔橢圓中心〕的距離，記h為近地點距離，H為遠地點距離，R=6371〔km〕為地球半徑，那么我國第一顆地球衛星近地點距離h=439(km)，遠地點距離H=2384(