一、事件的相互獨立性二、獨立試驗序列概型第五節事件的獨立性一、事件的相互獨立性由條件概率，知一般地，這意味著：事件A

的發生對事件B發生的概率有影響.1.問題的提出問：在任何情形下，式子都成立嗎？則有引例盒中有5個球(3綠2紅)，每次取出一個，有放回地取兩次，記A

＝第一次抽取，取到綠球，B

＝第二次抽取，取到綠球，這說明，在有些情形下，事件A

的發生對事件B發生的概率并沒有影響.2.兩個事件的獨立注

1o說明

事件A與B相互獨立,是指事件A的發生與事件B發生的概率無關.(1)定義1.92o獨立與互斥的關系這是兩個不同的概念.兩事件相互獨立兩事件互斥例如二者之間沒有必然聯系獨立是事件間的概率屬性互斥是事件間本身的關系11由此可見兩事件相互獨立但兩事件不互斥.兩事件相互獨立兩事件互斥.由此可見兩事件互斥但不獨立.又如:兩事件相互獨立.兩事件互斥可以證明：

特殊地，A與B

獨立A與B

相容(不互斥),

或A與B

互斥A與B

不獨立.證若A與B獨立,則

即A與B

不互斥(相容).若A與B互斥，則AB=,B發生時，A一定不發生.這表明:B的發生會影響A發生的可能性(造成A不發生),即B的發生造成A發生的概率為零.所以A與B不獨立.BA逆否命題的理解:1)必然事件

及不可能事件與任何事件A相互獨立.證∵A=A,P()=1,∴P(A)=P(A)=1?P(A)=P()P(A).即與A獨立.∵A=,P()=0,∴P(A)=P()=0=P()P(A).即與A獨立.(2)性質1.52)

若事件A與B相互獨立,則以下三對事件也相互獨立.①②③證①注

稱此為二事件的獨立性關于逆運算封閉.又∵A與B相互獨立,③的概率為0.6,乙擊中敵機的概率為0.5,求敵機不被擊中的概率.解設A={甲擊中敵機},B={乙擊中敵機},C={敵機不被擊中},由于甲，乙同時射擊，甲擊中敵機并不影響乙擊中敵機的可能性，所以A與B獨立,則例1甲,乙兩人同時向敵人炮擊,已知甲擊中敵機依題設,3.多個事件的獨立性

(1)

三事件兩兩相互獨立的概念定義定義1.10(2)三事件相互獨立的概念

一個均勻的正四面體,其第一面染成紅色,第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同時染上紅、白、黑三種顏色.現以A,B,C

分別記投一次四面體出現紅,白,黑顏色朝下的事件,問A,B,C是否相互獨立?解

因此又由題意知伯恩斯坦反例例2由于在四面體中紅,白,黑分別出現兩面,故有因此A、B、C不相互獨立.則三事件A,B,C兩兩獨立.由于

若事件A1，A2，…，An

中任意兩個事件相互獨立，即對于一切1≤i<j≤n,有定義(3)n

個事件的獨立性注

設A1，A2，…，An為n個事件，若對于任意k(2≤k≤n),及1≤i1<i2<···<ik≤n

定義1.11（4）兩個結論n個獨立事件和的概率公式:設事件相互獨立,則

也相互獨立即n個獨立事件至少有一個發生的概率等于1減去各自對立事件概率的乘積.結論的應用假設每個人血清中是否含有肝炎病毒相互獨立，混合100個人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率.解則例3若每個人血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%,依題設，一個元件的可靠性：該元件正常工作的概率.一個系統的可靠性：由元件組成的系統正常工作的概率.

設一個元件的可靠性為r.如果一個系統由2n個元件組成，每個元件能否正常工作是相互獨立的.(1)

求下列兩個系統Ⅰ和Ⅱ的可靠性；(2)問：哪個系統的可靠性更大？事件的獨立性在可靠性理論中的應用：例4系統Ⅰ.系統Ⅱ.設B1={系統Ⅰ正常工作},①②…n+22nn+1…12n…n+22nn+112n解

B2={系統Ⅱ正常工作}設C={通路①正常工作}，D={通路②正常工作}∵每條通路正常工作通路上各元件都正常工作,而系統Ⅰ正常工作兩條通路中至少有一條正常工作.系統Ⅰ.①②…n+22nn+1…12n考察系統Ⅰ:∴

系統Ⅰ正常工作的概率:系統Ⅱ正常工作通路上的每對并聯元件正常工作.

B2={系統Ⅱ正常工作}考察系統Ⅱ:…n+22nn+112n所以，系統Ⅱ正常工作的概率：(2)問：哪個系統的可靠性更大？即系統Ⅱ的可靠性比系統Ⅰ的大.二、獨立試驗序列概型1.定義1.12(獨立試驗序列)設{Ei

}(i=1,2,…)是一列隨機試驗,Ei的樣本空間為i,設Ak

是Ek中的任一事件,Ak

k,若Ak發生的概率都不依賴于其它各次試驗Ei(ik)的結果,則稱{Ei

}是相互獨立的隨機試驗序列,簡稱獨立試驗序列.例5解

令表示此k個數字中最大者不大于m這一事件，則顯然，，令，則從1,2,...,10個數字中任取一個，取后還原，連取k次，獨立進行試驗，試求此k個數字中最大者是m(m≤10)這一事件Bm的概率.則稱這n次重復試驗為n重伯努利試驗.若n

次重復試驗具有下列特點：1)每次試驗的可能結果只有兩個A或2)各次試驗的結果相互獨立，(在各次試驗中p是常數，保持不變）2.n

重伯努利(Bernoulli)試驗實例3

(球在盒中的分配問題)設有n

個球，N個盒子.試驗E：觀察一個球是否投進某一指定的盒中.A={該球進入指定的盒中},實例1

拋一枚硬幣觀察得到正面或反面.若將硬幣拋n次,就是n重伯努利試驗.實例2

拋一顆骰子n次,觀察是否“出現

1點”,就是

n重伯努利試驗.B={某指定的盒中恰有m個球},求P(B).易知，設En:觀察n個球是否投進某一指定的盒中,則En是將E重復了n次，是伯努利試驗.解一般地，對于伯努利試驗，有如下公式：如果在伯努利試驗中，事件A發生的概率為p(0<p<1),則在n次試驗中，A恰好發生k

次的概率為：3.二項概率公式定理推導如下:且兩兩互不相容.稱上式為二項概率公式.記為經計算得解例6個可供選擇的答案，其中一個為正確答案，今有一考生僅會做6道題，有4道題不會做.于是隨意填寫，試問能碰對m(m=0,1,2,3,4)道題的概率.設某考卷上有10道選擇題，每道選擇題有4幾何公式4.幾何公式解例7把能打開這個門，他隨機地選取一把鑰匙開門，即每次以1/n的概率被選中，求該人在第k次打開門的概率.一個人開門，他共有n把鑰匙，其中僅有一內容小結4.二項分布

5.幾何分布再見備用題例1-1設A,B相互獨立，且兩個事件僅A發生的概率或僅B發生的概率都是1/4，求P(A)與P(B).解例1-2解四張卡片上依次標有下列各組數字：110，101，011，000.

從袋中任取一張卡片，記證明Ai={取到的卡片第i位上的數字為1},i=1,2,3.設一個口袋里裝有四張形狀相同的卡片.在這例2-1(1)110，101，011，000證例2-2染紅色，1,2,3,5面染白色，1,6,7,8面染上黑色,以A，B，C表示投擲一次正八面體出現紅,白,黑色的事件，則但兩兩獨立相互獨立若有一個均勻正八面體，其1,2,3,4面0.2,若10名機槍射擊手同時向一架飛機射擊,問擊落飛機的概率是多少?解事件B為“擊落飛機”,射擊問題例3-1設每一名機槍射擊手擊落飛機的概率都是例3-2(小概率事件)試證當購買次數n→∞時,A遲早會出現的概率為1.證以表示在第k次中出現，則若某種博彩獲頭獎這一事件A的概率為ε=10-8,擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7,飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三人都擊中飛機必定被擊落,求飛機被擊落的概率.解

A,B,C

分別表示甲、乙、丙擊中敵機,例3-3甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊,三人因而,由全概率公式得飛機被擊落的概率為該批樂器中隨機地取3件測試(設3件樂器的測試是相互獨立的),如果3件中至少有一件在測試中被認為音色不純,則這批樂器就被拒絕接收.設一件音色不純的樂器經測試查出其為音色不純的概率為0.95;而一件音色純的樂器經測試被誤認為不純的概率為0.01.如果已知這100件樂器中恰有4件是音色不純的.試問這批樂器被接收的概率是多少?解例3-4要驗收一批(100件)樂器.驗收方案如下:自純的樂器,經測試被認為音色純的概率為0.99,已知一件音色而一件音色不純的樂器,經測試被認為音色純的概率為0.05,并且三件樂器的測試是相互獨立的,于是有例4-1設電路由A,B,C三個元件組成，若元件A,B,C發生故障的概率分別為0.3,0.2,0.2，且各元件獨立工作，是在以下情況下，求此電路發生故障的概率：(1)A,B,C三個元件串聯；(2)A,B,C三個元件并聯；(3)元件A與兩個并聯的元件B及C串聯而成.解

設事件A,B,C分別表示元件A,B,C發生故障.(1)因為串聯電路中任一元件發生故障，則電路發生故障，于是所求概率為(2)因為并聯電路中所有元件發生故障，則電路發生故障，于是所求概率為(3)由題意知，所求概率為例4-2某系統如圖所示,各繼電器接點閉合的概率均為p，且各繼電器接點的閉合式相互獨立得的，求各系統是通路的概率.234（a）1234561（b）解將系統分為子系統，子系統又分為并聯與串聯，實行分步驟方法來求系統是通路的概率.(1)第一個子系統中2與3是串聯，線路接通是交事件，由獨立性，接通的概率為p2;而1與2，3是并聯第二個子系統接通的概率為p，與第一個子系統串聯是交事件，故通路的概率為(2)系統由三個大的系統并聯而成，逐個求出是通路的概率再合成求系統的概率.第一個子系統中1,2是并聯，1,2與3是串聯，所以是通路的概率為第二個子系統是通路的概率是p，第三個子系統由5,6串聯而成，是通路的概率為p2.例5-1

在一批N個產品中有M個次品，每次任取一件，觀察后放回，求：(1)n次都取得正品的概率；(2)n次中至少有一次取得正品的概率.解例5-2設4次獨立試驗中事件A發生的概率相等，若已知A至少發生一次的概率為0.59，則A在一次試驗中發生的概率為多少?解例6-1(保險問題)等于0.005，現有10000個這類人參加投保，試求在未來一年中在這些保險者里面：(1)有40個人死亡的概率；(2)死亡人數不超過70個人的概率.解(1)設A表示40個人死亡,則(2)設B表示死亡人數不超過70,

則若一年中某類保險者里面每個人死亡的概率解例6-2查，共取5件樣品，計算這5件樣品中(1)恰好有3件次品的概率,(2)至多有3件次品的概率.一批產品有20％的次品，進行重復抽樣檢En:可看成將E

重復了n次,這是一個n重

貝努里試驗.解E

：觀察1局比賽甲是否獲勝,設在n次試驗中，A恰好出現k

次的概率為：例6-3概率為p,p≥1/2,問對甲而言，采用三局二勝制有利，還是采用五局三勝制有利.設各局勝負相互獨立.甲、乙兩人進行乒乓球