2021-2022高考數學模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．《九章算術》“少廣”算法中有這樣一個數的序列：列出“全步”（整數部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分數進行通分約簡，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）分子和以通之數，逐個照此同樣方法，直至全部為整數，例如：及時，如圖：記為每個序列中最后一列數之和，則為（）A．147 B．294 C．882 D．17642．盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”，其中只有2張“刮刮卡”有獎，現甲從盒中隨機取出2張，則至少有一張有獎的概率為()A． B． C． D．3．已知函數，.若存在，使得成立，則的最大值為（）A． B．C． D．4．已知向量，，且與的夾角為，則（）A． B．1 C．或1 D．或95．已知實數x，y滿足，則的最小值等于（）A． B． C． D．6．設一個正三棱柱，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面的某頂點出發，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為，則為（）A． B．C． D．7．若，則“”是“的展開式中項的系數為90”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．某調查機構對全國互聯網行業進行調查統計，得到整個互聯網行業從業者年齡分布餅狀圖，90后從事互聯網行業崗位分布條形圖，則下列結論中不正確的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.A．互聯網行業從業人員中90后占一半以上B．互聯網行業中從事技術崗位的人數超過總人數的C．互聯網行業中從事運營崗位的人數90后比80前多D．互聯網行業中從事技術崗位的人數90后比80后多9．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術數之源，其中河圖的排列結構是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽數，黑點為陰數，若從陰數和陽數中各取一數，則其差的絕對值為5的概率為A． B． C． D．10．已知函數，則（）A．函數在上單調遞增 B．函數在上單調遞減C．函數圖像關于對稱 D．函數圖像關于對稱11．已知向量，，=(1，)，且在方向上的投影為，則等于（）A．2 B．1 C． D．012．“幻方”最早記載于我國公元前500年的春秋時期《大戴禮》中．“階幻方”是由前個正整數組成的—個階方陣，其各行各列及兩條對角線所含的個數之和（簡稱幻和）相等，例如“3階幻方”的幻和為15（如圖所示）．則“5階幻方”的幻和為（）A．75 B．65 C．55 D．45二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，點，B均在拋物線上，等腰直角的斜邊為BC，點C在x軸的正半軸上，則點B的坐標是________.14．已知為橢圓上的一個動點，，，設直線和分別與直線交于，兩點，若與的面積相等，則線段的長為______.15．將含有甲、乙、丙的6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發宣傳資料，則甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一個組的概率為__________.16．已知函數，若函數有6個零點，則實數的取值范圍是_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）若，設，證明：，，使.18．（12分）已知函數，．（1）當時，求不等式的解集；（2）若函數的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形，求的值．19．（12分）已知函數的最大值為2.（Ⅰ）求函數在上的單調遞減區間；（Ⅱ）中,,角所對的邊分別是，且，求的面積．20．（12分）已知函數，.（1）討論的單調性；（2）若存在兩個極值點，，證明：.21．（12分）函數（1）證明：；（2）若存在，且，使得成立，求取值范圍.22．（10分）已知在平面直角坐標系中，橢圓的焦點為為橢圓上任意一點，且.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線交橢圓于兩點，且滿足（分別為直線的斜率），求的面積為時直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

根據題目所給的步驟進行計算，由此求得的值.【詳解】依題意列表如下：上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選：A【點睛】本小題主要考查合情推理，考查中國古代數學文化，屬于基礎題.2．C【解析】

先計算出總的基本事件的個數，再計算出兩張都沒獲獎的個數，根據古典概型的概率，求出兩張都沒有獎的概率，由對立事件的概率關系，即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機取出2張，共有種情況，2張均沒有獎的情況有（種），故所求概率為.故選:C.【點睛】本題考查古典概型的概率、對立事件的概率關系，意在考查數學建模、數學計算能力，屬于基礎題.3．C【解析】

由題意可知，，由可得出，，利用導數可得出函數在區間上單調遞增，函數在區間上單調遞增，進而可得出，由此可得出，可得出，構造函數，利用導數求出函數在上的最大值即可得解.【詳解】，，由于，則，同理可知，，函數的定義域為，對恒成立，所以，函數在區間上單調遞增，同理可知，函數在區間上單調遞增，，則，，則，構造函數，其中，則.當時，，此時函數單調遞增；當時，，此時函數單調遞減.所以，.故選：C.【點睛】本題考查代數式最值的計算，涉及指對同構思想的應用，考查化歸與轉化思想的應用，有一定的難度.4．C【解析】

由題意利用兩個向量的數量積的定義和公式，求的值.【詳解】解：由題意可得，求得，或，故選：C.【點睛】本題主要考查兩個向量的數量積的定義和公式，屬于基礎題．5．D【解析】

設，，去絕對值，根據余弦函數的性質即可求出．【詳解】因為實數，滿足，設，，，恒成立，，故則的最小值等于.故選：．【點睛】本題考查了橢圓的參數方程、三角函數的圖象和性質，考查了運算能力和轉化能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．6．D【解析】

由題意，設第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,可得，根據求數列的通項知識可得選項.【詳解】由題意，設第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下面，則第步不在上面的概率是.如果爬上來，其概率是，兩種事件又是互斥的,∴，即，∴，∴數列是以為公比的等比數列，而，所以，∴當時，，故選：D.【點睛】本題考查幾何體中的概率問題，關鍵在于運用遞推的知識，得出相鄰的項的關系，這是常用的方法，屬于難度題.7．B【解析】

求得的二項展開式的通項為,令時,可得項的系數為90,即,求得,即可得出結果.【詳解】若則二項展開式的通項為,令,即,則項的系數為,充分性成立;當的展開式中項的系數為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.【點睛】本題考查二項式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識,考查考生的分析問題的能力和計算能力,難度較易.8．D【解析】

根據兩個圖形的數據進行觀察比較，即可判斷各選項的真假．【詳解】在A中，由整個互聯網行業從業者年齡分別餅狀圖得到互聯網行業從業人員中90后占56%，所以是正確的；在B中，由整個互聯網行業從業者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯網行業崗位分布條形圖得到：，互聯網行業從業技術崗位的人數超過總人數的，所以是正確的；在C中，由整個互聯網行業從業者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯網行業崗位分別條形圖得到：，互聯網行業從事運營崗位的人數90后比80后多，所以是正確的；在D中，互聯網行業中從事技術崗位的人數90后所占比例為，所以不能判斷互聯網行業中從事技術崗位的人數90后比80后多．故選：D.【點睛】本題主要考查了命題的真假判定，以及統計圖表中餅狀圖和條形圖的性質等基礎知識的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.9．A【解析】

陽數：，陰數：，然后分析陰數和陽數差的絕對值為5的情況數，最后計算相應概率.【詳解】因為陽數：，陰數：，所以從陰數和陽數中各取一數差的絕對值有：個，滿足差的絕對值為5的有：共個，則.故選：A.【點睛】本題考查實際背景下古典概型的計算，難度一般.古典概型的概率計算公式：.10．C【解析】

依題意可得，即函數圖像關于對稱，再求出函數的導函數，即可判斷函數的單調性；【詳解】解：由，，所以函數圖像關于對稱，又，在上不單調.故正確的只有C，故選：C【點睛】本題考查函數的對稱性的判定，利用導數判斷函數的單調性，屬于基礎題.11．B【解析】

先求出，再利用投影公式求解即可.【詳解】解：由已知得，由在方向上的投影為，得，則.故答案為：B.【點睛】本題考查向量的幾何意義，考查投影公式的應用，是基礎題.12．B【解析】

計算的和，然后除以，得到“5階幻方”的幻和.【詳解】依題意“5階幻方”的幻和為，故選B.【點睛】本小題主要考查合情推理與演繹推理，考查等差數列前項和公式，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設出兩點的坐標，結合拋物線方程、兩條直線垂直的條件以及兩點間的距離公式列方程，解方程求得的坐標.【詳解】設，由于在拋物線上，所以.由于三角形是等腰直角三角形，，所以.由得，化為，可得，所以，解得，則.所以.故答案為：【點睛】本題考查拋物線的方程和運用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．14．【解析】

先設點坐標，由三角形面積相等得出兩個三角形的邊之間的比例關系，這個比例關系又可用線段上點的坐標表示出來，從而可求得點的橫坐標，代入橢圓方程得縱坐標，然后可得．【詳解】如圖，設，，，由，得，由得，∴，解得，又在橢圓上，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查直線與橢圓相交問題，解題時由三角形面積相等得出線段長的比例關系，解題是由把線段長的比例關系用點的橫坐標表示．15．【解析】

先求出總的基本事件數，再求出甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件數，然后根據古典概型求解．【詳解】6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發宣傳資料的基本事件總數共有個，甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件個數有：個，所以甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為.故答案為：【點睛】本題主要考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.16．【解析】

由題意首先研究函數的性質，然后結合函數的性質數形結合得到關于a的不等式，求解不等式即可確定實數a的取值范圍.【詳解】當時，函數在區間上單調遞增，很明顯，且存在唯一的實數滿足，當時，由對勾函數的性質可知函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，結合復合函數的單調性可知函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，且當時，，考查函數在區間上的性質，由二次函數的性質可知函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，函數有6個零點，即方程有6個根，也就是有6個根，即與有6個不同交點，注意到函數關于直線對稱，則函數關于直線對稱，繪制函數的圖像如圖所示，觀察可得：，即.綜上可得，實數的取值范圍是.故答案為．【點睛】本題主要考查分段函數的應用，復合函數的單調性，數形結合的數學思想，等價轉化的數學思想等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1），分，，，四種情況討論即可；（2）問題轉化為，利用導數找到與即可證明.【詳解】（1）.①當時，恒成立，當時，；當時，，所以，在上是減函數，在上是增函數.②當時，，.當時，；當時，；當時，，所以，在上是減函數，在上是增函數，在上是減函數.③當時，，則在上是減函數.④當時，，當時，；當時，；當時，，所以，在上是減函數，在上是增函數，在上是減函數.（2）由題意，得.由（1）知，當，時，，.令，，故在上是減函數，有，所以，從而.，，則，令，顯然在上是增函數，且，，所以存在使，且在上是減函數，在上是增函數，，所以，所以，命題成立.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性以及證明不等式的問題，考查學生邏輯推理能力，是一道較難的題.18．（1）（2）【解析】

（1）當時，，由可得，（所以，解得，所以不等式的解集為．（2）由題可得，因為函數的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形，所以，解得，當時，，函數的圖象與軸沒有交點，不符合題意；當時，，函數的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形，符合題意．綜上，可得．19．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

(1)由題意，f(x)的最大值為所以而m>0，于是m=，f(x)=2sin(x+).由正弦函數的單調性可得x滿足即所以f(x)在［0,π］上的單調遞減區間為(2)設△ABC的外接圓半徑為R，由題意，得化簡得sinA+sinB=2sinAsinB.由正弦定理，得①由余弦定理，得a2+b2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9=0②將①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或(舍去)，故20．（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）