第四章三角形第15講三角形及其性質（3~6分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一三角形的相關概念考點二三角形的重要線段考點三三角形的性質04題型精研·考向洞悉命題點一三角形的相關概念?題型01三角形的分類?題型02三角形的穩定性?題型03三角形的三邊關系?題型04三角形的高命題點二三角形的重要線段?題型01畫三角形的高、中線、角平分線?題型02與三角形高有關的計算?題型03利用網格求三角形的面積?題型04三角形的中線問題?題型05三角形的重心問題?題型06三角形的角平分線命題點三與三角形有關的角?題型01與平分線有關的三角形內角和問題?題型02與角平分線有關的三角形內角和問題?題型03三角形折疊中的角度問題?題型04三角形內角和定理的應用?題型05三角形外角和定理?題型06三角形內角和定理與外角和定理綜合05分層訓練·鞏固提升基礎鞏固能力提升考點要求新課標要求考查頻次命題預測三角形的相關概念理解三角形及其內角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩定性.10年5考在初中幾何數學中，三角形的基礎知識是解決后續很多幾何問題的基礎.所以，在中考中，與其它幾何圖形結合考察的幾率比較大，特別是全等三角形的性質和判定的綜合應用.考生在復習該考點時，不僅要熟悉掌握其本身的性質和應用，還要注重轉化思想在題目中的應用，同步聯想，其他幾何圖形在什么情況下會轉化成該考點的知識考察.三角形的重要線段近10年連續考查三角形的性質探索并證明三角形的內角和定理.掌握它的推論:三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊.10年8考考點一三角形的相關概念三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所構成的圖形叫做三角形.三角形的表示：用符號“”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”.三角形的分類：1）三角形按邊分類：三角形2）三角形按角分類：三角形三角形的穩定性:三角形三條邊的長度確定之后，三角形的形狀就唯一確定了.考點二三角形的重要線段重要線段概念圖形性質三角形的高從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）．∵AD是?ABC中BC邊的高∴∠ADB=∠ADC=90°三角形的中線在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線∵AD是?ABC中BC邊的中線∴BD=CDS△ABD=S△ADC三角形的角平分線三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線．∵AD是?ABC中∠BAC的角平分線∴∠BAD=∠DAC=∠BAC三角形的中位線連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線∵DE是?ABC的中位線∴AD=DBAE=ECDE=BCDE∥BC概念圖形性質重心三角形三條中線交點1）重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

2）重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

3)重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。垂心三角形三條高交點1）銳角三角形的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外；

2）銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內切圓與外接圓半徑之和的2倍。3）三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6組四點共圓.4）銳角三角形的垂心是垂足三角形的內心；銳角三角形的內接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短.考點三三角形的性質三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．三角形三邊關系定理及推論的應用：1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形．2）已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個答案的，要注意檢查每個答案能否組成三角形．三角形的內角和定理：三角形三個內角和等于180°．推論：直角三角形的兩個銳角互余.三角形的內角和定理的應用：1)在三角形中,已知兩個內角的度數,可以求出第三個內角的度數；2)在三角形中,已知三個內角的比例關系,可以求出三個內角的度數；3)在直角三角形中,已知一個銳角的度數,可以求出另一個銳角的度數.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角和的性質：1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．命題點一三角形的相關概念?題型01三角形的分類1．（2024·陜西·中考真題）如圖，在中，，是邊上的高，E是的中點，連接，則圖中的直角三角形有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】本題主要考查直角三角形的概念．根據直角三角形的概念可以直接判斷．【詳解】解：由圖得，，，為直角三角形，共有4個直角三角形．故選：C．2．（2022·河南周口·模擬預測）若一個三角形兩個外角之和為，那么這個三角形是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】A【分析】根據三角形的外角和為，兩個外角之和為，則第三個外角的度數為，則其相鄰內角也是，從而判定形狀．【詳解】因為三角形的外角和為，兩個外角之和為，所以第三個外角的度數為，所以其相鄰內角也是，所以三角形是直角三角形，故選A．【點睛】本題考查了三角形的外角和，三角形的形狀判定，熟練掌握三角形外角和，準確判定三角形的形狀是解題的關鍵．3．（2024·山東淄博·二模）已知三角形三個內角的度數之比為，且，則這個三角形是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】C【分析】本題主要考查了三角形的內角和定理，三角形分類，掌握三角形的內角和為是解題的關鍵．設一個角的度數為，則另外兩個角分別為，和，根據，再根據可得出答案．【詳解】解：設一個角的度數為，則另外兩個角分別為，和，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴三角形為鈍角三角形．故選：C．4．（23-24九年級下·湖南永州·階段練習）在中，，為銳角，，則的形狀為（

）A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．直角三角形【答案】A【分析】本題考查的是特殊角的三角函數值，根據特殊角的三角函數值和三角形的內角和定理分別求出、、，根據三角形的分類即可．【詳解】解：依題意，，，，是鈍角三角形，故選A．?題型02三角形的穩定性5．（2024·吉林長春·一模）四邊形結構在生活實踐中有著廣泛的應用，如圖所示的升降機，通過控制平行四邊形形狀的升降桿，使升降機降低或升高，其蘊含的數學道理是（

）A．平行四邊形的對邊相等 B．平行四邊形的對角相等C．四邊形的不穩定性 D．四邊形的內角和等于【答案】C【分析】本題考查了四邊形的不穩定性，根據四邊形的不穩定性求解即可．【詳解】解：升降機降低或升高，其蘊含的數學道理是：四邊形的不穩定性，故選：C．6．（2024·山西陽泉·模擬預測）數學知識在生產和生活中被廣泛應用，下列有關實例（如圖）所應用的最主要的幾何知識，說法不正確的是（

）A．圖①中墻上置物架的支架做成三角形，應用了“三角形的穩定性”B．圖②中建筑工人砌墻時，在墻的兩端之間拉一條線做參考，應用了“兩點之間，線段最短”C．圖③中體育課上，測量立定跳遠的成績，應用了“點到直線的距離是指點到直線的垂線段的長度”D．圖④中車輪做成圓形，應用了“圓上各點到圓心的距離都相等”【答案】B【分析】本題考查了生活常識與課本內容的聯系，在深刻理解課本內容的基礎上正確聯系實際問題是解題的關鍵．根據生活常識及課本相關知識逐項辨析即可．【詳解】解：A、圖①中墻上置物架的支架做成三角形，應用了“三角形的穩定性”，正確，故該選項不符合題意；B、圖②中建筑工人砌墻時，在墻的兩端之間拉一條線做參考，應用了“兩點確定一條直線”，錯誤，故該選項符合題意；C、圖③中體育課上，測量立定跳遠的成績，應用了“點到直線的距離是指點到直線的垂線段的長度”，正確，故該選項不符合題意；D、圖④中車輪做成圓形，應用了“圓上各點到圓心的距離都相等”，正確，故該選項不符合題意．故選：B．7．（2024·吉林長春·一模）三角形結構在生產實踐中有著廣泛的應用，如圖所示的斜拉索橋結構穩固，其蘊含的數學道理是（

）A．兩點之間，線段最短 B．三角形的穩定性C．三角形的任意兩邊之和大于第三邊 D．三角形的內角和等于【答案】B【分析】本題考查了三角形的穩定性，由三角形的穩定性，即可得到答案，掌握三角形的穩定性是解題的關鍵．【詳解】解：如圖所示的斜拉索橋結構穩固，其蘊含的數學道理是三角形的穩定性故選：B．8．（2024·廣西柳州·二模）下列圖形中具有穩定性的圖形是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】此題考查了三角形的穩定性，注意根據三角形的穩定性進行判斷．【詳解】解：∵三角形具有穩定性，五邊形，四邊形，六邊形不具有穩定性，∴具有穩定性的是A選項中的圖形，故選：A．?題型03三角形的三邊關系9．（2024·廣東·模擬預測）已知一個三角形的兩邊長分別為4和1，則這個三角形的第三邊長可能是（

）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查三角形的三邊關系，解題的關鍵是掌握三角形的第三邊大于兩邊之差小于兩邊之和，據此得出第三邊的取值范圍，即可作出判斷．【詳解】解：設三角形的第三邊為，∵三角形的兩邊長分別為和，∴，即，∴這個三角形的第三邊長可能是．故選：C．10．（2024·廣東中山·模擬預測）已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程的兩個根，則該三角形的周長是（

）A．9 B．15 C．12或15 D．不能確【答案】B【分析】本題考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）．也考查了三角形三邊的關系和等腰三角形的定義．先利用因式分解法解得到，，然后分類討論：當三角形的腰為6，底為3時，得三角形的周長；當三角形的腰為3，底為6時不符合三角形三邊的關系，舍去．【詳解】解：，，或，解得：，，當三角形的腰為6，底為3時，三角形的周長為，當三角形的腰為3，底為6時，，故不符合三角形三邊的關系，舍去，所以三角形的周長為15．故選：B．11．（2024·廣東河源·一模）在下列長度的四條線段中，能與長5cm，12cm的兩條線段圍成一個三角形的是（

）A．5cm B．7cm C．15cm D．17cm【答案】C【分析】此題主要考查了三角形的三邊關系．首先設第三條線段長為，再利用三角形的三邊關系可得的范圍，然后可得答案．【詳解】解：設第三條線段長為，由題意得：，解得：，只有適合，故選：C．12．（2024·廣東惠州·一模）若一個等腰三角形的兩邊長分別為4和7，則這個三角形的周長為（）A．15 B．12或21 C．15或18 D．21【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系，本題沒有明確說明已知的邊長哪個是腰長，則有兩種情況：①腰長為4；②腰長為7．再根據三角形的性質：三角形的任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊判斷是否滿足，再將滿足的代入周長公式即可得出周長的值．【詳解】解：①腰長為4時，符合三角形三邊關系，則其周長；②腰長為7時，符合三角形三邊關系，則其周長．所以三角形的周長為15或18．故選：C．?題型04三角形的高13．（2024·陜西渭南·模擬預測）如圖，在中，過點作于點，過點作于點，若，則的高與的比是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查與高有關的計算，根據等積關系求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴，故選：A．14．（2024·山東德州·中考真題）如圖，在中，是高，是中線，，，則的長為（

）A． B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】本題考查了三角形的高線和中線的意義，根據和求出，根據是中線即可求解．【詳解】解：∵，，∴∵是中線，∴故選：B15．（2024·河北·模擬預測）如圖，D是的邊上一點，將折疊，使點C落在上的點處，展開后得到折痕，則是的（

）A．中線 B．高線 C．角平分線 D．中位線【答案】B【分析】本題考查了翻折變換折疊問題，三角形的高線，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．根據折疊的性質和三角形的高線的定義即可得到結論．【詳解】解：將折疊，使點落在邊上，∴，∵，∴，，是的高線，故選：B．16．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，點A，B，C都在網格線的交點上，則中邊上的高為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理、面積法以及三角形面積公式等知識，由勾股定理求出的長，再由三角形面積求出中邊上的高即可．熟練掌握勾股定理和面積法是解題的關鍵．【詳解】解：設中邊上的高為，由勾股定理得：，∵，∴，∴，即中邊上的高為，故選：B．命題點二三角形的重要線段?題型01畫三角形的高、中線、角平分線17．（2023·廣東深圳·二模）觀察下列尺規作圖痕跡，其中所作線段為的角平分線的是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】根據基本作圖的方法對各選項進行判斷即可．【詳解】解：對于A選項，由作圖痕跡可知，為的平分線，故A選項符合題意；對于B選項，由作圖痕跡可知，為中邊上的高線，故B選項不符合題意；對于C選項，由作圖痕跡可知，為的中線，故C選項不符合題意；對于D選項，由作圖痕跡可知，為中邊上的高線，故D選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查作圖—基本作圖：作三角形的角平分線、中線和高，熟練掌握基本作圖的方法是解答本題的關鍵．18．（2023·廣東佛山·三模）如圖，在中，，按如下步驟作圖．第一步：作的平分線交于點；第二步：作的垂直平分線，交于點，交于點；第三步：連接．則下列結論正確的是（

）A． B．平分 C． D．【答案】A【分析】如圖，由角平分線和垂直平分線的性質可得，進而得到，最后運用平行線的判定定理即可說明B選項正確．【詳解】解：如圖：∵是的角平分，是的中垂線，∴，，∴，∴，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義、垂直平分線的性質以及平行線的判定，靈活運用相關知識成為解答本題的關鍵．19．（2024·河北·中考真題）觀察圖中尺規作圖的痕跡，可得線段一定是的（

）A．角平分線 B．高線 C．中位線 D．中線【答案】B【分析】本題考查的是三角形的高的定義，作線段的垂線，根據作圖痕跡可得，從而可得答案．【詳解】解：由作圖可得：，∴線段一定是的高線；故選B20．（2023·河北石家莊·模擬預測）在中，，長度不確定，根據尺規作圖痕跡，用直尺不一定能直接畫出邊的高的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分別考慮選項中的作圖方法，然后結合三角形高的定義即可求解．【詳解】解：A中以邊為直徑作弧，沒有作線段中點的作圖痕跡，∴無法直接畫出邊上的高，符合題意；B中分別以點B、C為圓心，為半徑畫弧，交點為邊垂直平分線上的點，連接交點和點A延長到邊即為邊上的高，不符合題意；C中作的是的角平分線，連接點A與交點并延長與相交，即為邊上的高，不符合題意；D中分別以為半徑畫圖，所得圖形為菱形，連接點A及其相對的交點，根據菱形的性質即可得出邊上的高，不符合題意；故選A．【點睛】題目主要考查基本的作圖方法及三角形高的判定，熟練掌握各個作圖方法是解題關鍵．?題型02與三角形高有關的計算21．（2023·廣東東莞·模擬預測）如果線段和線段分別是邊上的中線和高，那么下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分不是等腰三角形或是等腰三角形兩種情況進行討論，即可得出答案．【詳解】解：當不是等腰三角形時，如圖所示：∵為直角三角形，為斜邊，為直角邊，∴；當為等腰三角形，且為底時，如圖所示：根據等腰三角形三線合一可知，此時與重合，∴此時；綜上分析可知，，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，直角三角形的性質，解題的關鍵是分類討論，熟練掌握等腰三角形三線合一．22．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在中，，、分別是邊上的中線和高，，，則（

）A．－1 B．－1 C．1 D．【答案】A【分析】本題主要考查了直角三角形的性質，求三角形的面積，先根據三角形的面積公式求出，再根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得，然后根據勾股定理求出，進而得出答案．【詳解】∵，，∴，解得．∵是的中線，∴．在中，，∴．故選：A．23．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，若，，點E為的中點，過點E作于點F，則的長為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了等腰三角形性質和勾股定理，連接．由等腰三角形三線合一性質可知，，再由勾股定理求出，進而由三角形面積求出高．【詳解】如圖，連接．∵，點E為的中點，，∴，，∵，∴在中，，∵，∴．故選C．24．（2024·安徽蚌埠·二模）清初安徽數學家梅文鼎創造性的設計直角三角形，證明了：是銳角的高，則．如圖，已知中，，，，點在邊上，以為折痕將折疊，使得點落在上的點，則（

）A．3 B．4 C． D．5【答案】B【分析】本題考查了三角形的高的定義，正確的使用公式是解題的關鍵．由折疊性質可設：，根據求解即可．【詳解】解：由折疊性質可設：∴∵∴，解得：∴故選：B．?題型03利用網格求三角形的面積25．（2024·陜西西安·一模）如圖，在的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點，，都在格點上，為的高，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了割補法求三角形的面積和等面積法，以及勾股定理，根據題意利用割補法求得的面積，利用勾股定理算出的長，再利用等面積法即可求得的長．【詳解】解：由題可得：，，，解得：，故選：D．26．（2023·陜西西安·二模）如圖，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得，則邊上的高長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出三角形的面積，再根據三角形的面積公式即可求得邊上的高．【詳解】解：四邊形是正方形，面積是4；，的面積相等，且都是．的面積是：．則的面積是：．在直角中根據勾股定理得到：．設邊上的高線長是．則，解得：，故選A．【點睛】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理，利用“割補法”求面積是解決本題的關鍵．27．（23-24浙江衢州）學習了勾股定理后，老師給大家留了一個作業題，小華看了后，無從下手，請你幫幫小華．如圖，的頂點都在邊長為1的正方形網格的格點上，于點D，則CD的長是（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】本題考查勾股定理，以及根據等面積法求三角形的高，根據勾股定理算出，利用割補法求出的面積，再利用的面積還等于，即可解題．【詳解】解：由題知，，，，，，解得，故選：A．28．（23-24八年級上·陜西西安·期末）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網格，的頂點，，均在格點上．若于點，則線段的長為（

）A． B．2 C．1 D．2【答案】D【分析】此題主要考查了勾股定理以及三角形面積求法，利用勾股定理得出的長，再利用等面積法得出的長．【詳解】解：由圖可知：，，∵，

∴，解得：．故選：D．?題型04三角形的中線問題29．（2023·廣東梅州·一模）如圖，的面積為30，，E為的中點，則的面積等于（

）

A．15 B．12 C．10 D．9【答案】C【分析】根據三角形的中線的性質與面積公式即可得到結論．【詳解】解：∵的面積為30，，∴，又E為的中點，∴．故選：C．【點睛】本題考查了三角形的中線，三角形的面積的計算，正確的識別圖形是解題的關鍵．30．（2022·黑龍江·中考真題）如圖，中，，AD平分與BC相交于點D，點E是AB的中點，點F是DC的中點，連接EF交AD于點P．若的面積是24，，則PE的長是（

）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【答案】A【分析】連接DE，取AD的中點G，連接EG，先由等腰三角形“三線合一“性質，證得AD⊥BC，BD=CD，再由E是AB的中點，G是AD的中點，求出S△EGD=3，然后證△EGP≌△FDP（AAS），得GP=CP=1.5，從而得DG=3，即可由三角形面積公式求出EG長，由勾股定理即可求出PE長．【詳解】解：如圖，連接DE，取AD的中點G，連接EG，∵AB=AC，AD平分與BC相交于點D，∴AD⊥BC，BD=CD，∴S△ABD==12，∵E是AB的中點，∴S△AED==6，∵G是AD的中點，∴S△EGD==3，∵E是AB的中點，G是AD的中點，∴EGBC，EG=BD=CD，∴∠EGP=∠FDP=90°，∵F是CD的中點，∴DF=CD，∴EG=DF，∵∠EPG=∠FPD，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴GP=PD=1.5，∴GD=3，∵S△EGD==3，即，∴EG=2，在Rt△EGP中，由勾股定理，得PE==2.5，故選：A．【點睛】本題考查等腰三角形的性質，三角形面積，全等三角形判定與性質，勾股定理，熟練掌握三角形中線分三角形兩部分的面積相等是解題的關鍵．31．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）如圖，D，E，F分別為三邊上一點，且交于點G，若，則（

）A．50 B．54 C．60 D．63【答案】C【分析】本題主要考查等積法及一元二次方程的解法，熟練掌握等積法是解題的關鍵；設，由題意易得，，然后可建立方程進行求解．【詳解】解：設，由等積法可知：，∴，即①，∵，∴，即②，聯立①②可得：，解得：（負根舍去），∴，∴；故選C．32．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，是的中線，點E是的中點，連接并延長，交于點F，若．則的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，三角形的中線，正確添加輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．過點A作平行線交延長線于點G，可得，通過比例式即可求出，即可解決問題．【詳解】解：過點A作平行線交延長線于點G，∵，∴，∴，∵點E是的中點，∴，∴，∵是的中線，∴，∴，∴，∴，故選：B．?題型05三角形的重心問題33．（2024·江蘇徐州·模擬預測）如圖，在中，分別為的中點，與交于點，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理定理，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，三角形中線交點的性質，根據勾股定理可求出，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得，再根據三角形中線交點（重心）的性質“三角形的三條中線交于一點，該點叫三角形的重心，重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍”即可求解，掌握勾股定理定理，直角三角形斜邊中線的性質，重心的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，∵點是中點，∴，且點是三角形的重心，∴，∴，故選：B．34．（2024·陜西渭南·二模）如圖，點P是的重心，點D是邊的中點，交于點E，交于點F．若四邊形的面積為6，則的面積為（

）A．12 B．18 C．20 D．24【答案】B【分析】本題考查了三角形重心的性質，相似三角形的判定與性質，難度適中．準確作出輔助線是解題的關鍵．連接，根據三角形重心的性質可知：在上，由三角形中線平分三角形的面積可知：，證明和，根據相似三角形面積的比等于相似比的平方可解答．【詳解】解：如圖，連接．點是的重心，點是邊的中點，在上，，，，，，，，，設的面積為，則的面積為，的面積為，四邊形的面積為6，，，的面積為9，的面積是18．故選：B．35．（2024·江蘇鹽城·一模）如圖，在中，是邊上的中線，是重心．如果，那么線段的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．6【答案】C【分析】本題考查了重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為，熟記重心的性質是解題的關鍵．根據重心性質可得，從而可得答案．【詳解】解：∵是邊上的中線，點是重心，∴，∵，∴，故選：C．36．（2024·上海普陀·二模）如圖，在中，，是的重心，點在邊上，，如果，，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了三角形重心的性質，相似三角形的性質與判定，余弦的定義；根據題意得出，設，則，進而根據得出，即可求解．【詳解】解：如圖所示，延長交于點，連接交于點，∵是的重心，點在邊上，∴，∴∴∴設，則，∵，∴，∴，即∴解得：（負值舍去）∴∴，故選：D．?題型06三角形的角平分線37．（2024·新疆昌吉·模擬預測）如圖，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線交邊于點D，若，則的度數是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查尺規作圖?角平分線、角平分線的定義，根據角平分線的作法可得平分，即可得，即可求解．【詳解】解：由題意得，平分，∴，故選：C．38．（2020·湖南懷化·中考真題）在中，，平分，交于點，，垂足為點，若，則的長為（

）

A．3 B． C．2 D．6【答案】A【分析】證明△ABD≌△AED即可得出DE的長．【詳解】∵DE⊥AC，∴∠AED=∠B=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD，又∵AD=AD，∴△ABD≌△AED，∴DE=BE=3，故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的判斷和性質，角平分線的性質，掌握全等三角形的判定定理是解題關鍵．39．（2024·陜西西安·一模）如圖，在中，平分，交于點，作，交于點，若，，則的長為（

）A． B．9 C． D．8【答案】B【分析】先證，則，，再證明得，即，由此即可求出的長．此題主要考查了等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質是解決問題的關鍵．【詳解】解：平分，，，，，，，，∴，，即，，故選：B40．（2024·云南·模擬預測）在中，的平分線相交于I，過點I且，若，則（）A．8 B．6 C．7 D．5【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，角平分線的定義，利用“等角對等邊”及“等邊對等角”證明，，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，同理可得：，∴；故選：A．命題點三與三角形有關的角?題型01與平分線有關的三角形內角和問題41．（2024·廣東中山·模擬預測）將一副三角板（）按如圖方式擺放，使，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了三角形內角和定理，平行線的性質，解題的關鍵是掌握以上知識點．首先根據三角形內角和定理得到，然后由平行線的性質得到，然后利用三角形內角和定理求解即可．【詳解】∵∴∵∴∴．故選：C．42．（2024·浙江臺州·二模）將一個含角的直角三角板和一把等寬的直尺按如圖所示的位置擺放，其中，若，則的度數是(

)A．1 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質、鄰補角和三角形內角和定理，由平行線的性質可得，根據鄰補角求得，由三角形內角和定理可求出的度數．【詳解】解：，，，，，．故選：C．43．（2024·山東青島·三模）把直角三角板和長方形紙片按如圖方式擺放，使直角頂點在紙片邊緣上，若，，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的公理及性質、三年級內角和，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．過點作，則，根據平行線的性質得出，再根據三角形內角和得出、，再根據角的和差得出，最后根據平行線的性質即可得出答案．【詳解】解：過點作，則，，，，故選C．44．（2024·陜西西安·三模）如圖，在中，是的角平分線，點在上，，若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形內角和定理，平行線的性質，角平分線的定義，根據三角形內角和定理得出，進而根據角平分線的定義，以及平行線的性質，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵是的角平分線，∴∵，∴，故選：C．?題型02與角平分線有關的三角形內角和問題45．（2024·廣東惠州·二模）如圖，在中，，平分，若，，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內角和定理，熟知三角形內角和為180度是解題的關鍵．先求出，再根據三角形內角和定理得到，由角平分線的定義得到，則，即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，故選：C．46．（2024·廣東揭陽·一模）如圖，在中，點O是內一點，且點O到三邊的距離相等，，則（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了角平分線的性質，三角形內角和定理的應用．由題意可知點O為的三條角平分線的交點，可得，，根據三角形內角和定理求出，可得的度數，再根據三角形內角和定理求出的度數即可．【詳解】解：∵點O到三邊距離相等，∴點O為的三條角平分線的交點，∴，，∵，∴，∴，∴，故選：B．47．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，在中，，，與，分別切于點D，C，連接．則的度數為（

）

A．50 B．40 C．30 D．20【答案】C【分析】由，，求得，由與，分別切于點，，根據切線長定理得，則，所以，求得，則，于是得到問題的答案．【詳解】解：，，，與，分別切于點，，，，，，，，故選：C．【點睛】此題重點考查等腰三角形的性質、三角形內角和定理、切線長定理等知識，求得并且證明是解題的關鍵．48．（2022·陜西西安·三模）如圖，⊙O在△ABC三邊上截得的弦長相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，則∠BOC＝（

）A．100° B．110° C．115° D．120°【答案】C【分析】過點O作OP⊥AB于點P，OQ⊥AC于點Q，OK⊥BC于點K，由于DE＝FG＝MN，所以弦的弦心距也相等，所以OB、OC是角平分線，根據∠A＝50°，先求出，再求出，進而可求出∠BOC．【詳解】解：過點O作OP⊥AB于點P，OQ⊥AC于點Q，OK⊥BC于點K，∵DE＝FG＝MN，∴OP＝OK＝OQ，∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，，，∵∠A＝50°，∴，∴，∴∠BOC＝故選：C．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，角平分線的判定，三角形內角和，角平分線的定義，解題關鍵是構造出輔助線——弦心距．?題型03三角形折疊中的角度問題49．（2024·廣東·模擬預測）如圖所示，在中，將點A與點B分別沿和折疊，使點A，B都與點C重合，若，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形內角和定理，熟練掌握三角形內角和定理，折疊的性質是解題關鍵．根據折疊的性質得，，，再根據三角形內角和定理，最后由求的度數．【詳解】解：將點與點分別沿和折疊，使點、與點重合，∴，，∵，∴，∵，∴，解得故選：B．50．（2024·河南周口·一模）如圖，將沿直線折疊，使點A落在邊上的點F處，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質，折疊的性質；根據平行線的性質可得，根據折疊的性質求出，進而可計算的度數．【詳解】解：∵，，∴，由折疊得：，∴，故選：B．51．（2021·浙江麗水·中考真題）如圖，在紙片中，，點分別在上，連結，將沿翻折，使點A的對應點F落在的延長線上，若平分，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據勾股定理求出AB，再根據折疊性質得出∠DAE=∠DFE，AD=DF，然后根據角平分線的定義證得∠BFD=∠DFE=∠DAE，進而證得∠BDF=90°，證明Rt△ABC∽Rt△FBD，可求得AD的長．【詳解】解：∵，∴=5，由折疊性質得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，則BD=5﹣AD，∵平分，∴∠BFD=∠DFE=∠DAE，∵∠DAE+∠B=90°，∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°，∴Rt△ABC∽Rt△FBD，∴即，解得：AD=，故選：D．【點睛】本題考查折疊性質、角平分線的定義、勾股定理、相似三角形的判定與性質、三角形的內角和定理，熟練掌握折疊性質和相似三角形的判定與性質是解答的關鍵．52．（2012·廣東梅州·中考真題）如圖，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D、E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，若∠A=75°，則∠1+∠2=【】A．150° B．210° C．105° D．75°【答案】A【詳解】翻折變換（折疊問題），三角形內角和定理．∵△A′DE是△ABC翻折變換而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°．∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°．故選A．?題型04三角形內角和定理的應用53．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，在中，，，點，分別是邊，上的動點，且，連接，，當的值最小時，的度數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的性質，等腰三角形的判定和性質．將拼接到，連接交于點，推出，當點與點重合時，的值最小，據此求解即可．【詳解】解：如圖，將拼接到，連接交于點，則，，，，，當A，，三點共線，即點與點重合時，的值最小，，，，，，，即最小時，的度數為．故選：C．54．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，在中，分別以點A和點C為圓心，大于的長為半徑作弧（弧所在圓的半徑都相等），兩弧相交于M，N兩點，直線分別與邊，相交于點D，E，連接．若，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由作法可知是的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質可得，從而可得，再結合已知易得，從而可得，然后利用三角形內角和定理即可求解．【詳解】解：由作法可知是的垂直平分線，∴，，，，，，，，，，故選：B．【點睛】本題考查了尺規作圖-作線段垂直平分線，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，熟練掌握勾股定理，以及線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．55．（2024·廣東中山·三模）如圖，直線，，于點，若，則的度數為（）A．. B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線的性質和三角形內角和，根據可得，再結合和三角形內角和即可求解．【詳解】∵，，∴∵∴∵∴故選：B．56．（2024·廣東深圳·三模）如圖，在已知中，按以下步驟作圖：①分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點，；②作直線交于點，交于點，連接．若，，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由等腰三角的性質和三角形內角和定理求出，根據線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質求出，即可求出答案．本題主要考查了基本作圖，線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質，綜合運用這些知識是解決問題的關鍵．【詳解】解：，，，由作圖的步驟可知，直線是線段的垂直平分線，，，．故選：C．?題型05三角形外角和定理57．（2024·廣東深圳·模擬預測）抖空竹是我國的傳統體育，也是國家級非物質文化遺產之一．明代《帝京景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見抖空竹在民間流行的歷史至少在年以上．如圖，通過觀察抖空竹發現，可以將某一時刻的情形抽象成數學問題：，，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質，延長交于點，先利用平行線的性質可得，然后利用三角形的外角性質進行計算，即可解答．根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：延長交于點，∵，∴，∵是的一個外角，∴，故選：．58．（2024·廣東廣州·二模）如圖，，，則的度數為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查平行線的性質和三角形外角的性質，由平行線的性質推出，由三角形外角的性質得到．【詳解】解：如圖主，

∵，∴，∵，∴．故選：D．59．（2024·廣東深圳·三模）如圖，將一把直尺與一塊三角板按圖中所示位置放置，若，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查平行直線的性質、直角三角形的性質和三角形的外角，根據兩直線平行，同位角相等，可得，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，求出．【詳解】解：如圖，∵直尺的兩邊互相平行，∴．由三角形的外角性質得：，故選：C．60．（2024·廣東廣州·二模）如圖，以的頂點為圓心任意長為半徑作弧，分別交角的兩邊于，兩點；再分別以點，為圓心大于長度的一半為半徑作弧，兩弧交于點，連接．若，，，那么點到的距離是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了角平分線的性質，平行線的性質，三角形的外角性質和解直角三角形，過作于點，由題意可得平分，則，由可得，通過三角形外角性質得，通過三角函數求出即可，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】如圖，過作于點，由作圖可知，平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點到的距離是，故選：．?題型06三角形內角和定理與外角和定理綜合61．（2024·廣東云浮·一模）在中，是的平分線，其中點D在邊上．

(1)用圓規和直尺在圖中作出角平分線．（不要求寫作法，保留作圖痕跡）(2)若，，求的度數．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了尺規作圖—作角平分線，三角形的內角和定理，解題的關鍵是掌握作角平分線的方法和步驟，以及三角形的內角和是180度．（1）以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，交于兩點，再分別以兩點為圓心，大于兩點間距離的一半為半徑畫弧，兩弧相交于一點，連接點A和兩弧交點，交于點D，即為所求；（2）根據三角形的內角和定理求出，進而得出，最后根據即可解答．【詳解】（1）解：如圖，即為所求．

（2）解：，，．平分，，．62．（2023·廣東清遠·一模）如圖，已知，在邊上取點，在的外部取點，連接，交于點，且，，．(1)求證：；(2)求的度數．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）由可得，即得，進而得，再由得，即可由證明；（）由全等三角形的性質得，即得，據此即可求解；本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，對頂角的性質，掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵，∴，，，，，，即，在和中，，；（2）解：∵，，，．63．（2024·廣東·三模）綜合與實踐：數學活動課上，同學們以“黃金三角形”為主題展開探究活動．【查閱資料】在等腰三角形中，若底與腰的比是，則這個三角形是黃金三角形．【動手操作】如圖1是老師展示的一張郵票，同學們發現郵票中五角星的五個角都是，并制作了相同五角星如圖2所示，的度數為，且，于是猜測是黃金三角形．【解決問題】(1)________°；(2)求證：是黃金三角形；(3)如圖3，在中，，，，求的長．【答案】(1)36(2)見解析(3)【分析】本題考查等腰三角形的性質，三角形外角的性質，相似三角形的判定和性質，垂直平分線的性質，理解和運用“黃金三角形”的性質是解題的關鍵．（1）根據等腰三角形的性質，結合三角形外角的性質求解；（2）證明，根據相似三角形的性質證明；（3）延長至點D，使得，連接，證明是線段的垂直平分線，證明等腰是黃金三角形，根據黃金三角形的性質求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，又∵，，∴．（2）證明：∵，∴，，∴，∴．設，則，∴，整理得，解得，（不符合題意舍去），∴，∴是黃金三角形；（3）解：如圖1，延長至點D，使得，連接，則．∵，∴是線段的垂直平分線，∴，∴，由黃金三角形定義可知，等腰是黃金三角形，∴，即，解得．64．（2024·廣東廣州·一模）課本再現我們在小學就已經知道，任意一個三角形的內角和等于．我們是通過度量或剪拼得出這一結論的，圖（1）、（2）分別是兩位同學拼合的圖形．定理證明（1）請你證明“三角形的內角和是”．已知：（如圖（3））．求證：．深入探究（2）三角形的內角和是，那么四邊形（如圖（4））的內角和是多少度呢？請你證明你的結論．結論應用（3）如圖（5），在中，為的中點，點在上，且，求的長．【答案】（1）見解析；（2）四邊形的內角和是，證明見解析；（3）【分析】本題考查了平行線的性質、三角形內角和定理、相似三角形的判定與性質、勾股定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）過點作，由平行線的性質可得，，由平角的定義得出，從而得出，即可得證；（2）連接，由（1）可得：，，結合，，計算即可得出答案；（3）由勾股定理得出，證明，得出，代入計算即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，過點作，則，，，，即；（2）四邊形的內角和是，證明：如圖，連接，由（1）可得：，，，，，四邊形的內角和是；（3）在中，，，為的中點，，，，，，，，即，解得：．基礎鞏固單選題1．（2024·廣東韶關·模擬預測）如圖，人字梯的支架的長度都為（連接處的長度忽略不計），則B，C兩點之間的距離可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據三角形任意一邊小于其它兩邊兩邊之和求出的取值范圍，判斷各選項即可得的答案．本題主要考查了三角形的三邊關系，掌握據三角形任意一邊小于其它兩邊兩邊之和是解決問題的關鍵．【詳解】解：，，即．只有A選項數值滿足上述的范圍，故選：A．2．（2024·廣東廣州·一模）現有長的四根木棒，任取其中三根組成一個三角形，那么可以組成的三角形的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題主要考查三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系是解題的關鍵．根據三角形的三邊關系直接進行求解即可．【詳解】解：當取這三根木棒時，則有：，故不可以構成三角形；當取這三根木棒時，則有，故不能構成三角形；當取這三根木棒時，則有，故能構成三角形；當取這三根木棒時，則有，故可以構成三角形；∴能構成三角形的有2個；故選B．3．（2023·廣東佛山·二模）如圖，在中，點，分別是，的中點，若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】D【分析】先證明是的中位線，根據中位線的性質得，，，則，再根據相似三角形的性質求解即可．【詳解】解：∵D，E分別是和的中點，∴是的中位線，∴，，∴，，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查三角形的中位線的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握三角形的中位線的性質和相似三角形的性質是解題的關鍵．4．（2025·廣東·模擬預測）如圖，點A，B，C在上，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握相關的定義，先根據等腰三角形性質得出，再根據三角形內角和定理求出，再根據圓周角定理求出結果即可．【詳解】解：，，，，．故選：B．5．（2024·廣東惠州·模擬預測）將一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點D在邊上，，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質以及三角形的外角性質，先由得出，再結合三角形的外角性質列式計算，即可作答．【詳解】解：如圖：解：依題意，∵∴則故選：B二、填空題6．（2023·廣東東莞·一模）如圖，是的中位線，的面積為，則的面積為．【答案】12【分析】本題考查了三角形的中位線定理，相似三角形的性質和判定的應用，能得出是解此題的關鍵，注意：相似三角形的面積之比等于相似比的平方．根據三角形的中位線得出，，根據相似三角形的判定得出，得出比例式，即可得出答案．【詳解】解：∵是的中位線，∴，，∴，∴，∵的面積為，∴△ABC的面積為，故答案為：12．7．（2023·安徽·中考真題）清初數學家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數學家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術”給出了一個完整的證明，證明過程中創造性地設計直角三角形，得出了一個結論：如圖，是銳角的高，則．當，時，．

【答案】【分析】根據公式求得，根據，即可求解．【詳解】解：∵，，∴∴,故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的高的定義，正確的使用公式是解題的關鍵．8．（2024·廣東·模擬預測）如圖，以平行四邊形的一邊為直徑作，若過點C，且，則【答案】【分析】本題主要考查了圓的基本性質，等邊對等角，平行四邊形的性質和三角形內角和定理，先由平角的定義得到，再由等邊對等角和三角形內角和定理得到，則由平行四邊形對角相等可得．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，故答案為：．9．（2024·廣東·模擬預測）如圖，把一長一短的兩根木棍的一端固定在一起（點A處），擺出，．固定住長木棍，轉動短木棍，得到等腰三角形，此時B，C，D三點在同一條直線上，則．【答案】【分析】證明，可得結論．本題考查等腰三角形的性質，三角形的內角和性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【詳解】解：，，，，，．故答案為：．三、解答題10．（2023·廣東云浮·一模）如圖，在中，D是邊上的一點，．(1)尺規作圖：作平分，交于點E，連接（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求證：．【答案】(1)畫圖見解析(2)證明見解析【分析】（1）先根據角平分線的尺規作圖方法作出點E的位置，再連接即可；（2）只需要利用證明即可證明．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：∵平分，∴，在和中，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規作圖，全等三角形的性質與判定，角平分線的定義，正確作出對應的圖形是解題的關鍵．11．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在菱形中，點E是的中點．(1)請僅用無刻度的直尺作圖，作出邊的中點F；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，連接，點G是的中點，連接，若的面積為3，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)．【分析】本題考查菱形的性質，三角形中線的性質．（1）作菱形對角線的交點，連接交延長交邊于點F，點F即為所作；（2）根據三角形中線的性質求得，再根據菱形的性質求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，點F即為所作；（2）解：∵點G是的中點，的面積為3，∴，∵點F是的中點，∴．能力提升一、單選題1．（2022·廣東珠海·三模）如圖，E是正方形內一點，于E，，則的面積是（）．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】過點B作于G，證明，得出，根據三角形面積公式求出結果即可．【詳解】解：如圖，過點B作于G，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，三角形全等的判定和性質，三角形面積的計算，解題的關鍵是作出輔助線，構造全等三角形，證明．2．（2023·廣東廣州·一模）如圖，在中，，將繞點C逆時針旋轉得到，點A，B的對應點分別為D，E，連接．當點A，D，E在同一條直線上時，下列結論一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由旋轉的性質可得，，，證明是等邊三角形，得到，進一步證明，即可判斷A；根據大角對大邊即可判定B；根據三角形三邊的關系即可判斷C；根據現有條件無法證明，即可判斷D．【詳解】解：由旋轉的性質可得，，，當A，D，E共線時，則，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，故A符合題意；∵，∴，故B不符合題意；∵，∴，故C不符合題意；根據現有條件無法證明，故D不符合題意；故選A．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質與判定，平行線的性質與判定，三角形三邊的關系，證明是等邊三角形是解題的關鍵．3．（2024·廣東河源·一模）如圖，是平行四邊形邊中點，與交于點，連接，已知，，．下列命題：①點是的重心；②與相似；③；④平行四邊形的面積為．其中正確的命題為（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】D【分析】本題主要考查平行四邊形的性質和判定、勾股定理、三角形中位線定理：①設與交于點，可得到在中，為邊上的中線，為邊上的中線；②在上取一點，使，連接，，，可求得，，進而可求得，，證得為直角三角形，證明可得；③可證得；④先求得，結合，可求得結論．【詳解】①設與交于點，如圖1所示．∵四邊形為平行四邊形，∴，．在中，為邊上的中線，∵點是的中點，∴為邊上的中線．∴點是的重心．故命題①正確．②在上取一點，使，連接，，，如圖2所示．∵四邊形為平行四邊形，，，，點是的中點，∴，，，．∴四邊形為平行四邊形．∴，，即．∴為的中位線．∴，．∴，．∴，．∴．在中，，，∴．∴為直角三角形，即．在中，由勾股定理得：．在中，，．∵，∴不是直角三角形．∴與不相似．故命題②不正確．③在中，，，由勾股定理得：，∴．故命題③不正確．④∵，，，∴．∴．故命題④正確．綜上所述：正確的命題是①④．故選：D4．（2021·廣東珠海·一模）如圖所示，矩形中，平分交于，，則下面的結論：①是等邊三角形；②；③；④，其中正確的有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】由矩形的性質得OA＝OD＝OC＝OB，再證∠ACD＝60°，得△ODC是等邊三角形，故①正確；然后由含30°角的直角三角形的性質得AC＝2AB，則2AB＞BC，故②錯誤；然后由OA＝OC得，，故③④正確．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴ADBC，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD，∴OA＝OD＝OC＝OB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝45°，∵∠CAE＝15°，∴∠DAC＝45°?15°＝30°，∴∠ACD＝90°?∠DAC＝90°?30°＝60°，∵OD＝OC，∴△ODC是等邊三角形，故①正確；∵ADBC，∴∠ACB＝∠DAC＝30°，∵∠ABC＝90°，∴AC＝2AB，∴2AB＞BC，故②錯誤；∵OA＝OC，∴，，故③④正確；故答案為：C.【點睛】本題考查了矩形的性質、等邊三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質以及三角形面積等知識；熟練掌握矩形的性質，證出OA＝OD＝OC是解題的關鍵．5．（2024·廣東梅州·模擬預測）如圖，在中，為中點，且交于點E，，則的長為（

）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質，三角形內角和定理，勾股定理等，熟記線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．連接，根據三角形內角和定理求出，根據線段垂直平分線的判定與性質求出，根據等腰三角形的性質及三角形外角性質求出，根據三角形內角和定理求出，解直角三角形求出，，再根據線段的和差求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，，，為中點，且交于點，垂直平分，，，，，，，，故選：B．6．（2023·安徽·一模）已知：中，是中線，點在上，且．則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了相似三角形、等腰三角形的性質、三角形外角與內角的關系等知識點，先利用等腰三角形的性質及外角與內角的關系說明，再判斷，利用相似三角形的性質用表示出，最后代入比例可得結論．【詳解】解：是的中線，，，，，，，又，，，，，，故選B．二、填空題7．（2024·廣東廣州·二模）如圖，D、E分別是上兩點，點A與點關于軸對稱，，，，則．

【答案】1