第一章統計案例1.1回歸分析的基本思想及其初步應用a.比《數學3》中“回歸”增加的內容數學３——統計畫散點圖了解最小二乘法的思想求回歸直線方程y＝bx＋a用回歸直線方程解決應用問題選修１-２——統計案例引入線性回歸模型y＝bx＋a＋e了解模型中隨機誤差項e產生的原因了解相關指數R2

和模型擬合的效果之間的關系了解殘差圖的作用利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題正確理解分析方法與結果自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫做相關關系。1、定義：1）：相關關系是一種不確定性關系；注對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的方法叫回歸分析。2）：2、現實生活中存在著大量的相關關系。

如：人的身高與年齡；產品的成本與生產數量；商品的銷售額與廣告費；家庭的支出與收入。等等例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數據如表1-1所示。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重。案例1：女大學生的身高與體重解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點圖：2、由散點圖知道身高和體重有比較好的線性相關關系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關系。例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數據如表1-1所示。5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號求根據一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重。根據最小二乘法估計和就是未知參數a和b的最好估計，所以回歸方程是所以，對于身高為172cm的女大學生，由回歸方程可以預報其體重為探究P4：身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？例1從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數據如表1-1所示。5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號求根據一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重。探究P4：身高為172cm的女大學生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？答：身高為172cm的女大學生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認為她的體重在60.316kg左右。60.136kg不是每個身高為172cm的女大學生的體重的預測值，而是所有身高為172cm的女大學生平均體重的預測值。函數模型與回歸模型之間的差別函數模型：回歸模型：可以提供選擇模型的準則思考產生隨機誤差項e的原因是什么？隨機誤差e的來源(可以推廣到一般）：1、其它因素的影響：影響體重y的因素不只是身高x，可能還包括遺傳基因、飲食習慣、生長環境等因素；2、用線性回歸模型近似真實模型所引起的誤差；3、身高x

的觀測誤差。函數模型與回歸模型之間的差別函數模型：回歸模型：

線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機誤差項e，因變量y的值由自變量x和隨機誤差項e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。

在統計中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量y稱為預報變量。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382

我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數據，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。表1-4列出了女大學生身高和體重的原始數據以及相應的殘差數據。使用公式計算殘差殘差圖的制作及作用。坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；若模型選擇的正確，殘差圖中的點應該分布在以橫軸為心的帶形區域；對于遠離橫軸的點，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點

錯誤數據模型問題

幾點說明：第一個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集過程中是否有人為的錯誤。如果數據采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數據；如果數據采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高。我們可以用相關指數R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是

顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。

在線性回歸模型中，R2表示解析變量對預報變量變化的貢獻率。

R2越接近1，表示回歸的效果越好（因為R2越接近1，表示解析變量和預報變量的線性相關性越強）。

如果某組數據可能采取幾種不同回歸方程進行回歸分析，則可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數據的模型。總的來說：相關指數R2是度量模型擬合效果的一種指標。在線性模型中，它代表自變量刻畫預報變量的能力。我們可以用相關指數R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是1354總計0.36128.361隨機誤差(e)0.64225.639解釋變量(身高)比例平方和來源表1-3

從表3-1中可以看出，解析變量對總效應約貢獻了64%，即R2≈0.64，可以敘述為“身高解析了64%的體重變化”，而隨機誤差貢獻了剩余的36%。所以，身高對體重的效應比隨機誤差的效應大得多。用身高預報體重時，需要注意下列問題：1、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；2、我們所建立的回歸方程一般都有時間性；3、樣本采集的范圍會影響回歸方程的適用范圍；4、不能期望回歸方程得到的預報值就是預報變量的精確值。事實上，它是預報變量的可能取值的平均值。——這些問題也使用于其他問題。一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預報變量。（2）畫出確定好的解析變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（如是否存在線性關系等）。（3）由經驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數據呈線性關系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規則估計回歸方程中的參數（如最小二乘法）。（5）得出結果后分析殘差圖是否有異常（個別數據對應殘差過大，或殘差呈現不隨機的規律性，等等），過存在異常，則檢查數據是否有誤，或模型是否合適等。回歸分析與相關分析的區別相關分析中，變量x

變量y處于平等的地位；回歸分析中，變量y稱為因變量，處在被解釋