《幾何概型》同步練習基礎鞏固一、選擇題1．如下四個游戲盤(各正方形邊長和圓的直徑都是單位1)，如果撒一粒黃豆落在陰影部分，則可中獎．小明希望中獎，則應選擇的游戲盤是()[答案]A[解析]P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1－\f(π,4),1)＝1－eq\f(π,4)，P(D)＝eq\f(1,π).則P(A)最大，故選A.2.如圖，在正方形圍欄內均勻撒米粒，一只小雞在其中隨意啄食，此刻小雞正在正方形的內切圓中的概率是()\f(1,4) \f(π,4)\f(1,3) \f(π,3)[答案]B[解析]設事件A＝{小雞正在正方形的內切圓中}，則事件A的幾何區域為內切圓的面積S＝πR2(2R為正方形的邊長)，全體基本事件的幾何區域為正方形的面積，由幾何概型的概率公式可得P(A)＝eq\f(πR2,2R2)＝eq\f(π,4)，即小雞正在正方形的內切圓中的概率為eq\f(π,4).3．在正方體ABCD－A1B1C1D1內隨機取點則該點落在三棱錐A1－ABC內的概率是()\f(1,3) \f(1,6)\f(1,2) \f(1,4)[答案]B[解析]體積型幾何概型問題．P＝eq\f(VA1－ABC,VABCD－A1B1C1D1)＝eq\f(1,6).4.如圖，在一個邊長為a、b(a＞b＞0)的矩形內畫一個梯形，梯形上、下底邊分別為eq\f(a,3)與eq\f(a,2)，高為b.向該矩形內隨機地投一點，則所投的點落在梯形內部的概率為()\f(1,12) \f(1,4)\f(5,12) \f(7,12)[答案]C[解析]S矩形＝ab.S梯形＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a＋\f(1,2)a))b＝eq\f(5,12)ab.故所投的點落在梯形內部的概率為P＝eq\f(S梯形,S矩形)＝eq\f(\f(5,12)ab,ab)＝eq\f(5,12).5．(2015·山東濟南模擬)在區間[0,1]內任取兩個數，則這兩個數的平方和也在[0,1]內的概率是()\f(π,4) \f(π,10)\f(π,20) \f(π,40)[答案]A[解析]設在[0,1]內取出的數為a，b，若a2＋b2也在[0,1]內，則有0≤a2＋b2≤1.如右圖，試驗的全部結果所構成的區域為邊長為1的正方形，滿足a2＋b2在[0,1]內的點在eq\f(1,4)單位圓內(如陰影部分所示)，故所求概率為eq\f(\f(1,4)π,1)＝eq\f(π,4).6．在面積S為△ABC的邊AB上任取一點P，則△PBC的面積大于eq\f(S,4)的概率是()\f(1,4) \f(1,2)\f(3,4) \f(2,3)[答案]C[解析]如圖，設點C到邊AB的距離為h，則S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·h，S△PBC＝eq\f(1,2)|PB|·h.又因為S△PBC>eq\f(1,4)S△ABC，所以|PB|>eq\f(1,4)|AB|，故△PBC的面積大于eq\f(S,4)的概率是eq\f(3,4).二、填空題7．(2013·福建)利用計算機產生0～1之間的均勻隨機數a，則事件“3a－1＜0”發生的概率為________．[分析]解不等式，求出a的取值范圍，算出此范圍與所給區間的比值即可．[答案]eq\f(1,3)[解析]由題意，得0＜a＜eq\f(1,3)，所以根據幾何概型的概率計算公式，得事件“3a－1＜0”發生的概率為eq\f(1,3).8．一只小蜜蜂在一個棱長為3的正方體容器內自由飛行，若小蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體的6個表面的距離均大于1，則稱其為“安全飛行”．那么小蜜蜂“安全飛行”的概率為________．[答案]eq\f(1,27)[解析]棱長為3的正方體的體積為3×3×3＝27，若小蜜蜂“安全飛行”，則需控制在以原正方體的中心為中心的棱長為1的小正方體內部，故小蜜蜂飛行區域的體積為1×1×1＝1.根據幾何概型的概率公式，可得小蜜蜂“安全飛行”的概率為eq\f(1,27).三、解答題9．一個路口的紅綠燈，紅燈亮的時間為30秒，黃燈亮的時間為5秒，綠燈亮的時間為40秒(沒有兩燈同時亮)，當你到達路口時，看見下列三種情況的概率各是多少？(1)紅燈；(2)黃燈；(3)不是紅燈．[解析]在75秒內，每一時刻到達路口是等可能的，屬于幾何概型．(1)P＝eq\f(亮紅燈的時間,全部時間)＝eq\f(30,30＋40＋5)＝eq\f(2,5)；(2)P＝eq\f(亮黃燈的時間,全部時間)＝eq\f(5,75)＝eq\f(1,15)；(3)P＝eq\f(不是紅燈亮的時間,全部時間)＝eq\f(黃燈或綠燈亮的時間,全部時間)＝eq\f(45,75)＝eq\f(3,5).10．一海豚在水池中自由游弋，水池為長30m、寬20m的長方形，求海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率．[分析]海豚在水中自由游弋，它的嘴尖在水池中的位置有無限多個，并且每個位置都是等可能的，滿足幾何概型的條件，本題可先求出所求事件對應部分面積及整個區域面積，再利用幾何概型概率公式求解．[解析]如下圖，該區域是長30m、寬20m的長方形．圖中陰影部分表示事件A：“海豚嘴尖離岸邊不超過2m\”，問題可以理解為求海豚嘴尖出現在圖中陰影部分的概率，由于該區域的面積為30×20＝600(m2)，陰影部分的面積為30×20－26×16＝184(m2)，所以P(A)＝eq\f(184,600)＝eq\f(23,75)≈.[點評]解決此類題的關鍵：(1)根據題意確定是與面積(體積)有關的幾何概型；(2)找出或構造出對應的幾何圖形，求出面積(體積)．能力提升一、選擇題1．(2015·東曲阜師大附中月考)在腰長為2的等腰直角三角形內任取一點，則該點到此三角形的直角頂點的距離小于1的概率為()\f(π,16) \f(π,8)\f(π,4) \f(π,2)[答案]B[解析]該點到此三角形的直角頂點的距離小于1，則此點落在以直角頂點為圓心，1為半徑的eq\f(1,4)圓內，所以所求的概率為eq\f(π,8).2．(2015·虹寧大連質檢)一只螞蟻在邊長分別為3,4,5的三角形區域內隨機爬行，則其恰在離三個頂點距離都不小于1的地方的概率為()\f(π,2) B．1－eq\f(π,12)C．1－eq\f(π,6) D．1－eq\f(π,3)[答案]B[解析]作出滿足題意的區域如右圖，則由幾何概型的知識得，所求概率P＝eq\f(\f(1,2)×3×4－\f(1,2)π×12,\f(1,2)×3×4)＝1－eq\f(π,12).3．某人從甲地去乙地共走了500m，途中要過一條寬為xm的河流，他不小心把一件物品丟在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知該物品能被找到的概率為eq\f(24,25)，則河寬為()A．16m B．20mC．8m D．10m[答案]B[解析]物品在途中任何一處丟失的可能性是相等的，所以符合幾何概型的條件．找到的概率為eq\f(24,25)，即掉到河里的概率為eq\f(1,25)，則河流的寬度占總距離的eq\f(1,25)，所以河寬為500×eq\f(1,25)＝20(m)．4．(2014·湖北，理7)由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x－2≤0))確定的平面區域記為Ω1，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x＋y≥－2))確定的平面區域記為Ω2，在Ω1中隨機取一點，則該點恰好在Ω2內的概率為()\f(1,8) \f(1,4)\f(3,4) \f(7,8)[答案]D[解析]如圖，由題意知平面區域Ω1的面積SΩ1＝S△AOM＝eq\f(1,2)×2×2＝2.Ω1與Ω2的公共區域為陰影部分，面積S陰＝SΩ1－S△ABC＝2－eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(7,4).由幾何概型得該點恰好落在Ω2內的概率P＝eq\f(S陰,SΩ1)＝eq\f(\f(7,4),2)＝eq\f(7,8).故選D.二、填空題5．一只螞蟻在三邊邊長分別為3、4、5的三角形的邊上爬行，某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1的概率為________．[答案]eq\f(1,2)[解析]如圖所示，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，則△ABC的周長為3＋4＋5＝12.設某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1為事件A，則P(A)＝eq\f(DE＋FG＋MN,BC＋CA＋AB)＝eq\f(3＋2＋1,12)＝eq\f(1,2).6．在一個球內挖去一個幾何體，其三視圖如圖．在球內任取一點P，則點P落在剩余幾何體上的概率為________．[答案]eq\f(53,125)[解析]由三視圖可知，該幾何體是球與圓柱的組合體，球半徑R＝5，圓柱底面半徑r＝4，高h＝6，故球體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)，圓柱體積V1＝πr2·h＝96π，∴所求概率P＝eq\f(\f(500π,3)－96π,\f(500π,3))＝eq\f(53,125).三、解答題7．(1)在半徑為1的圓的一條直徑上任取一點，過該點作垂直于直徑的弦，其長度超過該圓內接正三角形的邊長eq\r(3)的概率是多少？(2)在半徑為1的圓內任取一點，以該點為中點作弦，問其長超過該圓內接正三角形的邊長eq\r(3)的概率是多少？(3)在半徑為1的圓周上任取兩點，連成一條弦，其長超過該圓內接正三角形邊長eq\r(3)的概率是多少？[解析](1)設事件A＝“弦長超過eq\r(3)”，弦長只與它跟圓心的距離有關，∵弦垂直于直徑，∴當且僅當它與圓心的距離小于eq\f(1,2)時才能滿足條件，由幾何概率公式知P(A)＝eq\f(1,2).(2)設事件B＝“弦長超過eq\r(3)”，弦被其中點唯一確定，當且僅當其中點在半徑為eq\f(1,2)的同心圓內時，才能滿足條件，由幾何概率公式知P(B)＝eq\f(1,4).(3)設事件C＝“弦長超過eq\r(3)”，固定一點A于圓周上，以此點為頂點作內接正三角形ABC，顯然只有當弦的另一端點D落在eq\o\ac(BC,\s\up7(︵))上時，才有|AD|>|AB|＝eq\r(3)，由幾何概率公式知P(C)＝eq\f(1,3).8．(2015·江西南昌摸底)兩人約定在20時到21時之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發是各自獨立的，且在20時到21時之間各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內相見的概率．[探究]兩人不論誰先到都要等遲到者40分鐘，即eq\f(2,3)小時，設兩人分別于(20＋x)時和(20＋y)時到達約見地點，要使兩人在約定的時間范圍內相見，則有－eq\f(2,3)≤x－y≤eq\f(2,3)，因此轉化成與面積有關的幾何概型問題，利用幾何概型概率公式求解．[解析]設兩