2021-2022學年湖北省武漢市高一上學期期末模擬（二）數學試題一、單選題1．已知，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根據已知條件求得，化簡求得正確答案.【詳解】依題意，，，，，，.故選：C2．已知集合，則集合的真子集的個數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化簡集合，得到集合的元素個數，繼而可以得到真子集的個數【詳解】解：集合，所以集合中的元素個數為9，故其真子集的個數為個，故選:3．若函數的定義域為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】依題意恒成立，分和兩種情況討論，當時，即可求出參數的取值范圍；【詳解】解：因為函數的定義域為，所以恒成立，當時顯然恒成立，當，則，解得，綜上可得；故選：A4．已知正數，滿足，則下列說法不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據對數定義把指數化為對數，再根據對數運算結合基本不等式逐個運算判斷.【詳解】設，則∴對A：，A正確；對B：由題意可得：，同理可得：∵∴，則，B錯誤；對C：∵∴，C正確；對D：∴，D正確；故選：B.5．關于的不等式的解集為，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得是方程的兩個根，利用根與系數的關系，可得，再求出，代入中化簡后利用基本不等式可求得結果.【詳解】因為關于的不等式的解集為，所以是方程的兩個根，且，所以，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最大值是，故選：C6．若定義在實數集R上的偶函數滿足，，對任意的恒成立，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根據題干條件得到為周期函數，最小正周期為4，進而得到，利用是偶函數得到，進而得到，結合，得到.【詳解】，則，所以，即，為周期函數，最小正周期為4，則，令得：，即，又因為為偶函數，所以，故，即，因為，所以.故選：D7．已知函數，則使不等式成立的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷的奇偶性與單調性，由題意列不等式后求解【詳解】由得定義域為，，故為偶函數，而，在上單調遞增，故在上單調遞增，則可化為，得解得故選：D8．函數，已知為圖象的一個對稱中心，直線為圖象的一條對稱軸，且在上單調遞減．記滿足條件的所有的值的和為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由一條對稱軸和一個對稱中心可以得到或，由在上單調遞減可以得到，算出的大致范圍，驗證即可.【詳解】由題意知：或∴或∴或∵在上單調遞減，∴∴①當時，取知此時，當時，滿足在上單調遞減，∴符合取時，，此時，當時，滿足在上單調遞減，∴符合當時，，舍去，當時，也舍去②當時，取知此時，當時，，此時在上單調遞增，舍去當時，，舍去，當時，也舍去綜上：或2，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數的圖象與性質，難度較大，易錯點在于已知一條對稱軸和一個對稱中心要分兩種情況分析.二、多選題9．，關于x的不等式恒成立的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】先求出，關于x的不等式恒成立的充要條件，再根據必要不充分條件的定義可求出答案.【詳解】當對于，關于x的不等式恒成立，則，得，對于A，是充要條件，所以A錯誤，對于B，因為當時，一定成立，所以是關于x的不等式恒成立的一個必要不充分條件，所以B正確，對于C，因為當時，成立，所以是關于x的不等式恒成立的一個充分不必要條件，所以C錯誤，對于D，因為當時，一定成立，所以是關于x的不等式恒成立的一個必要不充分條件，所以D正確，故選：BD.10．已知關于x的不等式的解集為，且，若，是方程的兩個不等實根，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由題意可以判斷A錯誤；根據圖像的平移變換，可得變換前后對稱軸不變，即，變形后可判斷B正確；根據,亦可判斷C正確，通過舉反例，即可判斷D錯誤.【詳解】解：由題意得,故A錯誤，因為將二次函數的圖像上的所有點向上平移1個單位長度，得到二次函數的圖像，所以,即，B正確，如圖，又，所以，C正確，當時，，，所以，D錯誤.故選：BC.11．函數在區間上的大致圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據函數圖象的對稱性可得函數的奇偶性，從而確定參數的值，再判斷即可.【詳解】解：對于A，B中函數圖象關于原點對稱，則對應的為奇函數，令，則為偶函數，即，即，所以，解得，當時，，符合A項，當時，，符合B項.對于C，D中函數圖象關于y軸對稱，則對應的為偶函數，令，則為奇函數，即，即，所以，此時，當時，，故D正確，故C錯誤；故選：ABD.12．已知函數的最小值為0，e是自然對數的底數，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AD【分析】由已知得當時，，對于AC，當時，為上的減函數，則，代入解不等式得解；對于BD，當時，由對勾函數在上單調遞減，在上單調遞增，判斷的單調性，求出最小值即可判斷.【詳解】由函數的最小值為0，當時，，即，故當時，的值域為的子集，即對于AC，當時，為上的減函數，又，則，即，故A正確，C錯誤；當時，對勾函數在上單調遞減，在上單調遞增，對于B，當時，對勾函數在上單調遞增，則函數在上單調遞減，由A知，，故B錯誤；對于D，當時，對勾函數在上單調遞減，則函數在上單調遞增，又，則，即，故D正確；故選：AD【點睛】思路點睛：本題考查已知函數的最值求參數，解題時需先求出由函數在時的值域為，進而將問題轉化為當時，函數的值域為的子集，即，分類討論研究函數的單調性求出最值，考查學生的分析轉化能力，屬于難題.三、填空題13．已知函數為定義在上的奇函數，則的值為________．【答案】【分析】根據奇函數的定義及性質計算可得.【詳解】解：因為函數為定義在上的奇函數，則有，解得，又由函數為奇函數，則有，則，所以恒成立，即，所以；故答案為：14．已知函數，，對于存在，存在，使得，則實數的取值范圍是__________．【答案】【分析】設函數的值域為，的值域為，若存在，存在，使得，則，再利用集合的計算可得參數范圍.【詳解】設函數的值域為，的值域為，則，，若存在，存在，使得，則，當時，或，解得或，所以當時，，故答案為：.15．已知，，則的最大值為________.【答案】【分析】依題意利用和差角公式將其變形為，整理可得，再利用基本不等式計算可得.【詳解】解：，，，，，，即，，即，所以，當且，即，等號成立，取得最大值．故答案為：16．已知，在時，的最小值為，當關于的方程有有兩個不等實根時，的取值范圍是__________.【答案】【分析】換元，求出二次函數在上的最小值的表達式，然后作出函數與函數的圖象，利用數形結合思想可求出實數的取值范圍.【詳解】當時，令，則為二次函數在上的最小值，該二次函數圖象開口向上，對稱軸為直線.①當時，函數在區間上單調遞增，此時，；②當時，二次函數在處取得最小值，即；③當時，二次函數在區間上單調遞減，此時，.綜上所述，.由得，則函數與函數的圖象有兩個交點，令，作出函數與函數的圖象如下圖所示：如圖所示，當時，即當時，函數與函數的圖象有兩個交點，此時，關于的方程有有兩個不等實根.因此，實數的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查二次函數在定區間上最值的求解，同時也考查了利用方程根的個數求參數的取值范圍，考查分類討論思想與數形結合思想的應用，綜合性較強，屬于難題.四、解答題17．已知函數的定義域為.（1）求實數的取值集合；（2）設為非空集合，若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意可知，在上恒成立，在對參數進行分類討論，根據二次函數的性質，即可求出結果；（2）由命題的關系與集合間的包含關系得：是的必要不充分條件，所以，由此列出關系式，即可求出結果.【詳解】（1）可知，在上恒成立，當時，，成立；當時，，解得；綜上所述，.

所以集合（2）因為，是的必要不充分條件.

所以，故,解得所以，實數的取值范圍是.18．設（，且）（1）若，且滿足，求x的取值范圍；（2）若，是否存在實數a使得在區間上是增函數？如果存在，說明a可以取哪些值；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）利用指數函數的單調性解不等式，繼而得出答案；（2）當時,在區間上是增函數，即在區間為增函數；當時，在區間上是增函數，即在區間為減函數，再利用二次函數的單調性與對稱軸的大小，分別列出不等式組解出即可．【詳解】（1），即，解得x的取值范圍是；（2）①當時，在區間上是增函數，即在區間為增函數，圖象開口向上,對稱軸為，，解得，故；②當時，在區間上是增函數，即在區間為減函數，，解得；故或．19．已知函數，，且將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象.（1）若函數是奇函數，求的值；（2）若，當時函數取得最大值，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用三角函數恒等變換公式將的表達式化簡得到利用圖象平移變換法則得到＇利用奇函數的條件求得φ的值；（2）根據正弦函數的最大值性質求得，，得到，根據，利用同角三角函數關系，倍角公式，兩角和差公式計算即得.【詳解】解：（1）由題得，將的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，則，若函數是奇函數，則.因為，所以，從而，解得；（2）由題知，則，，從而，，因此，因為，且，所以，因此，，所以，所以.【點睛】本題考查三角函數的恒等變形，三角函數的圖象與性質，屬中檔題，關鍵是熟練掌握三角函數的恒等變形公式，掌握圖象的平移變換法則，掌握三角函數的奇偶性和最值.20．已知函數，，．（1）若恒成立，求實數的取值范圍；（2）是否存在這樣的實數（其中），使得，都有不等式恒成立？若存在，求出實數a的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，．【解析】（1）利用絕對值三角不等式求得的最小值，進而根據不等式恒成立的意義得到關于的含絕對值的不等式，求解即得；（2）根據和的范圍化簡得到含有參數的關于的一元二次不等式，利用二次函數的圖象和性質，并根據不等式恒成立的意義得到關于實數的有關不等式（組），求解即得.【詳解】解：（1）∵，∴，當且僅當時，取等號．∴原不等式等價于，解得或．故的取值范圍是．（2）∵，∴，∵，∴，，∴原不等式恒成立在上恒成立，令，得，且，得，又，得．故實數的取值范圍是．【點睛】本題考查不等式恒成立求參數取值范圍問題，涉及利用絕對值三角不等式求最值和利用二次函數的性質和圖象求解一元二次不等式恒成立問題，屬中檔題,21．某地某路無人駕駛公交車發車時間間隔（單位：分鐘）滿足，．經測算，該路無人駕駛公交車載客量與發車時間間隔滿足：，其中．（1）求，并說明的實際意義；（2）若該路公交車每分鐘的凈收益（元），問當發車時間間隔為多少時，該路公交車每分鐘的凈收益最大？并求每分鐘的最大凈收益．【答案】（1），發車時間間隔為分鐘時，載客量為；（2）當發車時間間隔為分鐘時，該路公交車每分鐘的凈收益最大，最大凈收益為元．【解析】（1）將代入函數的解析式，可計算出，結合題意說明的實際意義；（2）求出函數的解析式，分別求出該函數在區間和上的最大值，比較大小后可得出結論.【詳解】（1），實際意義為：發車時間間隔為分鐘時，載客量為；（2），當時，，任取，則，，所以，，，，所以，函數在區間上單調遞增，同理可證該函數在區間上單調遞減，所以，當時，取得最大值；當時，，該函數在區間上單調遞減，則當時，取得最大值．綜上，當發車時間間隔為分鐘時，該路公交車每分鐘的凈收益最大，最大凈收益為元．【點睛】本題考查分段函數模型的應用，考查分段函數最值的計算與實際應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.22．已知函數，且.(1)，求；(2)設函數，其中常數.①當，時，函數在上的最大值為2，求實數的值；②若函數的一個單調減區間內有一個零點，且其圖像過點，記函數的最小正周期為，試求取最大值時函數的解析式.【答案】(1)；(2)①；②.【分析】（1）應用和角余弦、二倍角正余弦及輔助角公式可得，結合已知條件即可求；（2）由（1）有，①將已知條件代入，利用誘導公式、二倍角余弦公式可得，結合已知及正弦型函數性質求得，再由二次函數性質及其最大值求.②由題設得，、，，再令得，進而由周期最大及確定、，即可得的解析式.【詳解