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§4最小二乘逼近4.1一般的最小二乘逼近討論的問題:(4.1)以下討論最小二乘逼近函數是否存在？是否唯一？及計算方法（步驟）。1一、離散范數的基本定義

已知關于點集上函數值，（1）內積：（2）范數：（3）正交關于X線性無關，即是向量組線性無關。

含m個方程的方程組（4）函數組的線性相關與線性無關

定義92

說明：這里定義的的關系是否為內積、范數？需要自己證（1）內積：（2）范數：驗證是否滿足內積的三個條件或范數的三個條件，即3定理2/舉例：二、解決問題的思路：把原問題轉化為多元函數極值問題(類似于連續函數的最佳平方逼近的思路)。4得到4.1的等價問題：5結論：（2）充分性（1）必要條件誤差與基函數正交(4.1)6定理8定理9（最小二乘逼近）7定理9（最小二乘逼近）8注：將(4.7)帶入(4.6),合并得事實上，9（2）矩陣G為正定對稱陣注：注：10（3）計算方法注：注：(4)用正交多項式作最小二乘逼近114.3用正交多項式作曲線擬合(計算方法)已知y=f(x)的實驗數據1、計算方法(步驟):12于是當增加n時，有優點：

當n增加時只須計算，計算量小。132、正交多項式的存在定理定理10

已知點集及權系數,則有關于X及為正交多項式組,滿足下述三項遞推公式：即（1）為首項系數是1的k次多項式。（2）144.4非線性模型舉例

1用最小二乘法解矛盾方程組已知y=f(x)實驗數據

,用較簡單和合適的函數來逼近（或擬合）實驗數據。假設選用n次插值多項式n+1個未知量

m個方程即要滿足方程組的解不能唯一確定，因此，不能要求由于精確成立，而僅僅要求多項式盡可能接近給定的數據。也就是要允許每個等式可以稍有偏差，但偏差又盡可n+1<m能的小。15解法：對矛盾方程組作一輔助函數a0,a1,…,an的多元二次函數1617---法方程18矛盾方程組可寫成矩陣形式：事實上,19舉例用二次多項式來擬合函數解

2021§4最小二乘逼近4.1一般的最小二乘逼近討論的問題:(4.1)22定理9（最小二乘逼近）232

非線性模型舉例

凸性（凹向上或凹向下）時，對于給定y=f(x)實驗數據的走向、趨勢選擇合適的數根據數據學模型。例如,當實驗數據具有單調來擬合實驗數據，其中可選擇下述適當的數學模型a、b為參數，如圖。4.4非線性模型舉例

1用最小二乘法解矛盾方程組24例8

在某化學反應里，根據實驗所得生成物的濃度與時間關系如下，求濃度與時間的擬合曲線25解：

(2)選取數學模型，模型求解（較簡單）。求對數:作變換:令

則（4.14）式變為:于是，問題化為由已知數據求參數A，B使其中，模型

線性模型，可求得作變換，將此模型轉化為線性26從而及最小平方誤差：（3）選取數學模型為雙曲函數其中待定參數。并有且最大偏差：于是得到模型作變換，令于是問題化為，已知數據，尋求a，b使其中為線性模型。27求解法方程得到最大偏差：說明：小，所以用作擬合曲線比雙曲模型要好。選取指數模型從而得數學模型最小平方誤差：都比較28本課重點：理解最

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