一、原函數與不定積分的概念四、不定積分的性質三、基本積分表五、小結思考題第一節不定積分的概念與性質二、不定積分的幾何意義一、原函數與不定積分的概念四、不定積分的性質三、基本積分表五例定義：一、原函數與不定積分的概念(primitivefunction)定義例定義：一、原函數與不定積分的概念(primitivef原函數存在定理：簡言之：連續函數一定有原函數.問題：(1)原函數是否唯一？例（為任意常數）(2)若不唯一它們之間有什么聯系？定理原函數存在定理：簡言之：連續函數一定有原函數.問題：(1)關于原函數的說明：（1）若，則對于任意常數，（2）若和都是的原函數，則（為任意常數）證（為任意常數）關于原函數的說明：（1）若任意常數積分號被積函數不定積分(indefiniteintegral)的定義：被積表達式積分變量定義原函數任意常數積分號被積函數不定積分(indefiniteint例1

求解解例2

求例1求解解例2求例3某商品的邊際成本為,求總成解其中

為任意常數本函數.例3某商品的邊際成本為,求總成二、不定積分的幾何意義顯然，求不定積分得到一積分曲線族,橫坐標處,任一曲線的切線有相同的斜率.0xy在同一二、不定積分的幾何意義顯然，求不定積分得到一積分曲線族,橫坐實例啟示能否根據求導公式得出積分公式？結論既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據求導公式得出積分公式.三、基本積分表實例啟示能否根據求導公式得出積分公式？結論既然積分運算和微分基本積分表是常數);說明：基本積分表是常數);說明：第五章--不定積分--(《微積分》課件)第五章--不定積分--(《微積分》課件)例4

求積分解例4求積分解證等式成立.（此性質可推廣到有限多個函數之和的情況）四、不定積分的性質證等式成立.（此性質可推廣到有限多個函數之和的情況）四、不例5

求積分解例5求積分解例6

求積分解例6求積分解例7

求積分解例7求積分解例8

求積分解說明：以上幾例中的被積函數都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表.化積分為代數和的積分例8求積分解說明：以上幾例中的被積函數都需要進行恒等變解所求曲線方程為解所求曲線方程為基本積分表（1）～（13）不定積分的性質

原函數的概念：不定積分的概念：求微分與求積分的互逆關系五、小結基本積分表（1）～（13）不定積分的性質原函數的概念：不定思考題符號函數在內是否存在原函數？為什么？思考題符號函數在內是否思考題解答不存在.假設有原函數故假設錯誤所以在內不存在原函數.結論每一個含有第一類間斷點的函數都沒有原函數.思考題解答不存在.假設有原函數故假設錯誤所以練習題練習題第五章--不定積分--(《微積分》課件)第五章--不定積分--(《微積分》課件)練習題答案練習題答案第五章--不定積分--(《微積分》課件)一、第一類換元法二、第二類換元法三、小結思考題第二節換元積分法一、第一類換元法二、第二類換元法三、小結思考題第二節問題？解決方法利用復合函數，設置中間變量.過程令一、第一類換元法問題？解決方法利用復合函數，設置中間變量.過程令一、第一類換在一般情況下：設則如果（可微）由此可得換元法定理在一般情況下：設則如果（可微）由此可得換元法定理第一類換元公式（湊微分法）說明使用此公式的關鍵在于將化為注意：觀察點不同，所得結論不同.定理1定理第一類換元公式（湊微分法）說明使用此公式的關鍵在于將化為注意解法1解法2解法3解法1解法2解法3例1

求解例1求解一般地例1

求又解湊微分一般地例1求又解湊微分例2

求解例2求解例3

求解例3求解例4

求例4求利用基本積分表的公式把被積函數中的一部分湊成中間變量的微分，常見的有：利用基本積分表的公式把被積函數中的一部分湊成例5

求解例5求解例6

求解例6求解例7

求解例7求解例8

求解例8求解例9

求解（一）例9求解（一）解（二）類似地可推出解（二）類似地可推出例10

求解例10求解例11

求解例11求解例12

求原式例12求原式例13

求解例13求解降冪拆項降冪拆項例14

求解例14求解例15

求解例15求解例16求解例16求解例17

求解例17求解第五章--不定積分--(《微積分》課件)例18

求解例18求解問題解決方法改變中間變量的設置方法.過程令（應用“湊微分”即可求出結果）二、第二類換元法問題解決方法改變中間變量的設置方法.過程令（應用“湊微分”即證設為的原函數,令則則有換元公式定理2證設為第二類積分換元公式第二類積分換元公式例19

求解法一第一類換元法解法二第二類換元法例19求解法一第一類換元法解法二第二類換元法例20

求解令例20求解令例21

求解令例21求解令解令例21

求解令例21求說明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規律如下：當被積函數中含有可令可令可令說明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉

積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對的，需根據被積函數的情況來定.說明(2)例22

求（三角代換很繁瑣）令解積分中為了化掉根式是否一定采用三說明(3)當分母的階較高時,可采用倒代換例23

求令解說明(3)當分母的階較高時,可采用倒代換例23求令解例24

求解令（分母的階較高）例24求解令（分母的階較高）第五章--不定積分--(《微積分》課件)說明(4)當被積函數含有兩種或兩種以上的根式時，可采用令（其中為各根指數的最小公倍數）例25

求解令說明(4)當被積函數含有兩種或兩種以上的根式第五章--不定積分--(《微積分》課件)例26

求積分解令注意無理函數去根號時,取根指數的最小公倍數.例26求積分解令注意無理函數去根號時,取根例27

求積分解令說明(5)當被積函數含有例27求積分解令說明(5)當被積函數含有第五章--不定積分--(《微積分》課件)例28

求解令例28求解令說明(6)當被積函數含有例29

求解說明(6)當被積函數含有例29求解第五章--不定積分--(《微積分》課件)說明(7)無理函數的積分方法要會用會選例說明(7)無理函數的積分方法要會用會選例基本積分表基本積分表第五章--不定積分--(《微積分》課件)三、小結兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、倒代換、根式代換基本積分表(14)～（22）三、小結兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、倒代換、思考題求積分思考題求積分思考題解答思考題解答練習題練習題第五章--不定積分--(《微積分》課件)第五章--不定積分--(《微積分》課件)第五章--不定積分--(《微積分》課件)練習題答案練習題答案第五章--不定積分--(《微積分》課件)第五章--不定積分--(《微積分》課件)一、基本內容二、小結三、思考題第三節分部積分法一、基本內容二、小結三、思考題第三節分部積分法問題解決思路利用兩個函數乘積的求導法則.分部積分(integrationbyparts)公式一、基本內容問題解決思路利用兩個函數乘積的求導法則.分部積分(integ例1

求積分解（一）令顯然，選擇不當，積分更難進行.解（二）令例1求積分解（一）令顯然，選擇不當，積例2

求積分解（再次使用分部積分法）總結

若被積函數是冪函數和正(余)弦函數或冪函數和指數函數的乘積,就考慮設冪函數為,使其降冪一次(假定冪指數是正整數)例2求積分解（再次使用分部積分法）總結例3

求積分解令例3求積分解令例4

求積分解總結

若被積函數是冪函數和對數函數或冪函數和反三角函數的乘積，就考慮設對數函數或反三角函數為.例4求積分解總結若被積函數是例5

求積分解例5求積分解例6

求積分解注意循環形式例6求積分解注意循環形式例7

求積分解例7求積分解令令解兩邊同時對求導,得解兩邊同時對求導,得合理選擇，正確使用分部積分公式二、小結合理選擇，正確使用分部積分公式二、小結思考題

在接連幾次應用分部積分公式時，應注意什么？思考題在接連幾次應用分部積分公式時，應注思考題解答注意前后幾次所選的應為同類型函數.例第一次時若選第二次時仍應選思考題解答注意前后幾次所選的應為同類型函數.例第一次練習題練習題第五章--不定積分--(《微積分》課件)練習題答案練習題答案第五章--不定積分--(《微積分》課件)一、六個基本積分二、待定系數法舉例三、小結

第四節有理函數的積分一、六個基本積分二、待定系數法舉例三、小結第四節有理有理函數的定義：兩個多項式的商表示的函數稱之為有理函數.一、六個基本積分定義有理函數的定義：兩個多項式的商表示的函數稱之為有理函數.一、假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數是真分式；這有理函數是假分式；

利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.例難點將有理函數化為部分分式之和.假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數是真分式；這有理函數是

理論上，任何一個有理函數(真分式)都可分為以下六個類型的基本積分的代數和:1.2.3.理論上，任何一個有理函數(真分式)都可分為以下六4.5.6.可用遞推法求出4.5.6.可用遞推法求出（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數化為部分分式之和的一般規律：特殊地：分解后為※二、待定系數法舉例（1）分母中若有因式，則分解后（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為（2）分母中若有因式真分式化為部分分式之和的待定系數法例1真分式化為部分分式之和的待定系數法例1代入特殊值來確定系數取取取并將值代入例2代入特殊值來確定系數取取取并將值代入例2例3整理得例3整理得例4

求積分解例4求積分解例5

求積分解例5求積分解例6

求積分解令例6求積分解令第五章--不定積分--(《微積分》課件)說明將有理函數化為部分分式之和后，只出現三類情況：多項式；討論積分令說明將有理函數化為部分分式之和后，只出現三類情況：多項式；討則記則記這三類積分均可積出,且原函數都是初等函數.結論：有理函數都可積，且積分結果可能的形式為有理函數、反正切函數、對數函數及它們之間的組合。這三類積分均可積出,且原函數都是初等函數.結論：有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）三、小結有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）三、思考題任何有理函數都有原函數嗎？任何初等函數都有原函數嗎？都能求出其原函數嗎？思考題任何有理函數都有原函數嗎？思考題解答任何有理函數都有初等原函數，任何初等函數在其連續區間內也有原函數，但并不是所有連續的初等函數都有初等原函數，如：即有些初等函數是不可積的。思考題解答任何有理函數都有初等原函數，任何初等函數在其連續區練習題4.有理函數的原函數都是_________.

練習題4.有理函數的原函數都是_________.第五章--不定積分--(《微積分》課件)第五章--不定積分--(《微積分》課件)練習題答案練習題答案第五章--不定積分--(《微積分》課件)第五章--不定積分--(《微積分》課件)第五章--不定積分--(《微積分》課件)一、原函數與不定積分的概念四、不定積分的性質三、基本積分表五、小結思考題第一節不定積分的概念與性質二、不定積分的幾何意義一、原函數與不定積分的概念四、不定積分的性質三、基本積分表五例定義：一、原函數與不定積分的概念(primitivefunction)定義例定義：一、原函數與不定積分的概念(primitivef原函數存在定理：簡言之：連續函數一定有原函數.問題：(1)原函數是否唯一？例（為任意常數）(2)若不唯一它們之間有什么聯系？定理原函數存在定理：簡言之：連續函數一定有原函數.問題：(1)關于原函數的說明：（1）若，則對于任意常數，（2）若和都是的原函數，則（為任意常數）證（為任意常數）關于原函數的說明：（1）若任意常數積分號被積函數不定積分(indefiniteintegral)的定義：被積表達式積分變量定義原函數任意常數積分號被積函數不定積分(indefiniteint例1

求解解例2

求例1求解解例2求例3某商品的邊際成本為,求總成解其中

為任意常數本函數.例3某商品的邊際成本為,求總成二、不定積分的幾何意義顯然，求不定積分得到一積分曲線族,橫坐標處,任一曲線的切線有相同的斜率.0xy在同一二、不定積分的幾何意義顯然，求不定積分得到一積分曲線族,橫坐實例啟示能否根據求導公式得出積分公式？結論既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據求導公式得出積分公式.三、基本積分表實例啟示能否根據求導公式得出積分公式？結論既然積分運算和微分基本積分表是常數);說明：基本積分表是常數);說明：第五章--不定積分--(《微積分》課件)第五章--不定積分--(《微積分》課件)例4

求積分解例4求積分解證等式成立.（此性質可推廣到有限多個函數之和的情況）四、不定積分的性質證等式成立.（此性質可推廣到有限多個函數之和的情況）四、不例5

求積分解例5求積分解例6

求積分解例6求積分解例7

求積分解例7求積分解例8

求積分解說明：以上幾例中的被積函數都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表.化積分為代數和的積分例8求積分解說明：以上幾例中的被積函數都需要進行恒等變解所求曲線方程為解所求曲線方程為基本積分表（1）～（13）不定積分的性質

原函數的概念：不定積分的概念：求微分與求積分的互逆關系五、小結基本積分表（1）～（13）不定積分的性質原函數的概念：不定思考題符號函數在內是否存在原函數？為什么？思考題符號函數在內是否思考題解答不存在.假設有原函數故假設錯誤所以在內不存在原函數.結論每一個含有第一類間斷點的函數都沒有原函數.思考題解答不存在.假設有原函數故假設錯誤所以練習題練習題第五章--不定積分--(《微積分》課件)第五章--不定積分--(《微積分》課件)練習題答案練習題答案第五章--不定積分--(《微積分》課件)一、第一類換元法二、第二類換元法三、小結思考題第二節換元積分法一、第一類換元法二、第二類換元法三、小結思考題第二節問題？解決方法利用復合函數，設置中間變量.過程令一、第一類換元法問題？解決方法利用復合函數，設置中間變量.過程令一、第一類換在一般情況下：設則如果（可微）由此可得換元法定理在一般情況下：設則如果（可微）由此可得換元法定理第一類換元公式（湊微分法）說明使用此公式的關鍵在于將化為注意：觀察點不同，所得結論不同.定理1定理第一類換元公式（湊微分法）說明使用此公式的關鍵在于將化為注意解法1解法2解法3解法1解法2解法3例1

求解例1求解一般地例1

求又解湊微分一般地例1求又解湊微分例2

求解例2求解例3

求解例3求解例4

求例4求利用基本積分表的公式把被積函數中的一部分湊成中間變量的微分，常見的有：利用基本積分表的公式把被積函數中的一部分湊成例5

求解例5求解例6

求解例6求解例7

求解例7求解例8

求解例8求解例9

求解（一）例9求解（一）解（二）類似地可推出解（二）類似地可推出例10

求解例10求解例11

求解例11求解例12

求原式例12求原式例13

求解例13求解降冪拆項降冪拆項例14

求解例14求解例15

求解例15求解例16求解例16求解例17

求解例17求解第五章--不定積分--(《微積分》課件)例18

求解例18求解問題解決方法改變中間變量的設置方法.過程令（應用“湊微分”即可求出結果）二、第二類換元法問題解決方法改變中間變量的設置方法.過程令（應用“湊微分”即證設為的原函數,令則則有換元公式定理2證設為第二類積分換元公式第二類積分換元公式例19

求解法一第一類換元法解法二第二類換元法例19求解法一第一類換元法解法二第二類換元法例20

求解令例20求解令例21

求解令例21求解令解令例21

求解令例21求說明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規律如下：當被積函數中含有可令可令可令說明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉

積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對的，需根據被積函數的情況來定.說明(2)例22

求（三角代換很繁瑣）令解積分中為了化掉根式是否一定采用三說明(3)當分母的階較高時,可采用倒代換例23

求令解說明(3)當分母的階較高時,可采用倒代換例23求令解例24

求解令（分母的階較高）例24求解令（分母的階較高）第五章--不定積分--(《微積分》課件)說明(4)當被積函數含有兩種或兩種以上的根式時，可采用令（其中為各根指數的最小公倍數）例25

求解令說明(4)當被積函數含有兩種或兩種以上的根式第五章--不定積分--(《微積分》課件)例26

求積分解令注意無理函數去根號時,取根指數的最小公倍數.例26求積分解令注意無理函數去根號時,取根例27

求積分解令說明(5)當被積函數含有例27求積分解令說明(5)當被積函數含有第五章--不定積分--(《微積分》課件)例28

求解令例28求解令說明(6)當被積函數含有例29

求解說明(6)當被積函數含有例29求解第五章--不定積分--(《微積分》課件)說明(7)無理函數的積分方法要會用會選例說明(7)無理函數的積分方法要會用會選例基本積分表基本積分表第五章--不定積分--(《微積分》課件)三、小結兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、倒代換、根式代換基本積分表(14)～（22）三、小結兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、倒代換、思考題求積分思考題求積分思考題解答思考題解答練習題練習題第五章--不定積分--(《微積分》課件)第五章--不定積分--(《微積分》課件)第五章--不定積分--(《微積分》課件)練習題答案練習題答案第五章--不定積分--(《微積分》課件)第五章--不定積分--(《微積分》課件)一、基本內容二、小結三、思考題第三節分部積分法一、基本內容二、小結三、思考題第三節分部積分法問題解決思路利用兩個函數乘積的求導法則.分部積分(integrationbyparts)公式一、基本內容問題解決思路利用兩個函數乘積的求導法則.分部積分(integ例1

求積分解（一）令顯然，選擇不當，積分更難進行.解（二）令例1求積分解（一）令顯然，選擇不當，積例2

求積分解（再次使用分部積分法）總結

若被積函數是冪函數和正(余)弦函數或冪函數和指數函數的乘積,就考慮設冪函數為,使其降冪一次(假定冪指數是正整數)例2求積分解（再次使用分部積分法）總結例3

求積分解令例3求積分解令例4

求積分解總結

若被積函數是冪函數和對數函數或冪函數和反三角函數的乘積，就考慮設對數函數或反三角函數為.例4求積分解總結若被積函數是例5

求積分解例5求積分解例6

求積分解注意循環形式例6求積分解注意循環形式例7

求積分解例7求積分解令令解兩邊同時對求導,得解兩邊同時對求導,得合理選擇，正確使用分部積分公式二、小結合理選擇，正確使用分部積分公式二、小結思考題

在接連幾次應用分部積分公式時，應注意什么？思考題在接連幾次應用分部積分公式時，應注思考題解答注意前后幾次所選的應為同類型函數.例第一次時若選第二次時仍應選思考題解答注意前后幾次所選的應為同類型函數.例第一次練習題練習題第五章--不定積分--(《微積分》課件)練習題答案練習題答案第五章--不定積分--(《微積分》課件)一、六個基本積分二、待定系數法舉例三、小結

第四節有理函數的積分一、六個基本積分二、待定系數法舉例三、小結第四節有理有理函數的定義：兩個多項式的商表示的函數稱之為有理函數.一、六個基本積分定義有理函數的定義：兩個多項式的商表示的函數稱之為有理函數.一、假定分子與分母之間沒有公因式這