第4章拉氏變換與連續時間系統S域分析1、拉普拉斯變換2、拉普拉斯變換的性質3、拉普拉斯逆變換4、復頻域分析5、系統函數及其穩定性分析主要內容：第4章拉氏變換與連續時間系統S域分析1、拉普拉斯變換主要1

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.1引言4.1引言傅立葉分析可將任意信號分解為不同頻率的虛指數函數之和，使系統響應的求解得到簡化；給出的結果有清楚的物理意義。但也存在明顯不足：一、傅立葉分析應用條件上的限制：（1）運用傅立葉分析必須滿足一定的條件，因而限制了它的應用范圍；（2）對于給定初始狀態的系統難于進行頻域分析。

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS

針對第一個問題——即找到一種新的變換，既有類似于傅立葉變換的性質，又能克服在應用上的局限。4.1引言19世紀末，英國電氣工程師赫維塞德（O.Heaviside1850-1925）發明了“運算法”（算子法）以解決運算中的問題。赫維塞德拉普拉斯赫維塞德算子法的數學基礎是來源于法國數學家拉普拉斯（P.S.Laplace,1749-1825）的研究。

拉普拉斯變換由此建立起來。

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域拉普拉斯變換的優點：（1）問題求解簡化；初始條件被自動計入，應用更加普遍;（2）把微分、積分方程轉化為代數方程；（3）將復雜函數轉化為簡單的初等函數；（4）將卷積轉化為乘法運算;（5）利用系統函數零、極點分布可以簡明描述系統性能.

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換在第3章中知道，有些函數不滿足絕對可積的條件，使求解傅立葉變換困難。為此，引入一衰減因子（為實常數）乘以信號。

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換不難看出，只要選取，則信號在時間正、負方向上信號幅度趨近于0，從而使的傅立葉變換存在。于是有

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS相應的傅立葉逆變換為令則則有雙邊拉普拉斯變換對4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS將上兩式記為4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域——

的雙邊拉氏變換或象函數——

的雙邊拉氏逆變換或原函數

8拉普拉斯變換與傅里葉變換的區別：（變量t、都是實數）即：傅里葉變換建立了時域與頻域之間的聯系；拉普拉斯變換建立了時域與復頻域之間的聯系。

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMSFT:

時域函數頻域函數變量

t變量

變量

t變量s

（復頻率）

t（實數）（復數）LT:

時域函數復頻域函數4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域拉普拉斯變換與傅里葉變換的區別：（變量t、都是實數9

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS二、雙邊拉普拉斯變換及其收斂域當函數乘以一衰減因子后，只有滿足一定的條件，才能使信號收斂，其積分存在，它的拉普拉斯變換才存在。使存在的取值范圍，稱為雙邊拉普拉斯變換的收斂域。4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域下面舉例說明

的收斂問題。

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS例題4-2-1已知因果信號，求其拉氏變換。解：收斂域收斂邊界可見，對于因果信號，僅當時，其拉氏變換存在。不定無界4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域收斂坐標

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS例題4-2-2反因果信號，求其拉氏變換。解：不定無界可見，對反因果信號，僅當時，其拉氏變換存在。4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS例題4-2-3雙邊信號如下，求其拉氏變換。解：其雙邊拉氏變換為4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域當時,上式第一項存在；當時，上式第二項存在.

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS僅當時，其收斂域為的一個帶狀區域。4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS例題4-2-4求下列雙邊信號的拉氏變換。解：

可見，原函數不同，象函數相同，但收斂域不同。所以雙邊拉氏變換必須標明收斂域。4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS結論：（1）對于雙邊拉普拉斯變換，象函數Fb

(s)和收斂域共同確定原函數f(t)。（2）不同的信號f(t)可以有相同的Fb(s)，但它們的收斂域不同；不同的信號如果有相同的收斂域，則它們的Fb

(s)也不同。4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS三、單邊拉普拉斯變換實際應用中所討論的信號都有初始時刻，一般設t<0時，f(t)=0。從而拉氏變換寫為單邊拉普拉斯變換4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域[注意]：積分下限取為0-是考慮到f(t)中可能包含沖激函數其各階導數。

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS單邊拉普拉斯變換存在定理：4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域如果函數f(t)滿足：（1）在有限區間（其中）內可積；（2）對于某一有則對于，f(t)的拉氏變換一定存在。[表明]：滿足條件（1）和（2）的因果函數f(t)存在拉氏變換，其收斂域為的右半平面。稱為收斂坐標,與f(t)性質有關。

180例如：

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域收斂域

也就是說：單邊拉氏變換的收斂域為平行于軸的一條收斂軸的右邊區域，即0例如：190例如

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域0例如20

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域例題4-2-5求下列矩形脈沖信號的拉氏變換其它解:信號f(t)顯然可積，而且，無論取任何值，都有即其收斂域為則[結論]：僅在有限區間不等于0，而在該區間外為0的可積信號，其拉氏變換在全s平面收斂。

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS四、常用函數的拉普拉斯變換1、階躍函數2、指數函數4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS3、函數所以容易求得則4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS必須注意的是：所討論的單邊拉氏變換是從0點開始積分，因此，t<0區間的函數值與變換結果無關。上3個函數具有相同的拉氏變換式4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域而即單邊拉氏變換所具有的特點！

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4、沖激函數如果沖激函數出現在t=t0（t0>0）時刻，則有4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域5、復指數函數如果，則得虛指數函數的拉氏變換為

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.3拉普拉斯變換的性質4.3拉普拉斯變換的性質一、線性特性（linearity）設K1、K2為常數，如果則

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.3拉普拉斯變換的性質線性舉例例題4-3-1求的拉氏變換解：同樣可求得

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.3拉普拉斯變換的性質線性舉例例題4-3-2已知，求其拉氏逆變換解：因為所以

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.3拉普拉斯變換的性質二、時域微分特性（differentiationinthetimedomain）如果，則一般地，有其中

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.3拉普拉斯變換的性質線性、微分特性舉例例題4-3-3求解微分方程解：對方程兩邊取拉氏變換，并根據線性和微分特性有代入給定的初始值，得則

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.3拉普拉斯變換的性質三、s域微分特性（differentiationins-domain

）如果，則一般地，有例題4-3-4求函數的拉氏變換解：

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.3拉普拉斯變換的性質四、時域積分特性（integrationinthetimedomain）如果，則一般地，有或記為注意積分下限其中

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS六、延時特性（timedelay）（時域平移）4.3拉普拉斯變換的性質如果，則七、S域平移（shiftingins-domain）如果，則

延遲t0后的信號，并非

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.3拉普拉斯變換的性質s域平移舉例例題4-3-5求函數的拉氏變換解：已知則同樣可求得

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.3拉普拉斯變換的性質八、尺度變換（scaling）如果，則

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.3拉普拉斯變換的性質九、初值定理（initial-valuetheorem）如果函數不含沖激函數及其各階導數，的拉氏變換存在，，則初值和終值定理常用于由直接求和的值，而不必求出原函數。

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.3拉普拉斯變換的性質如果函數含有沖激函數及其各階導數，的拉氏變換存在，此時，則初值定理應用條件：

必須是真分式！

若不是真分式，則可利用長除法使中出現真分式項則真分式

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.3拉普拉斯變換的性質初值定理舉例解：例題4-3-6已知求

如果直接用則將得到的錯誤結論。真分式則

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.3拉普拉斯變換的性質十、終值定理（expiration-valuetheorem）如果，的拉氏變換存在，，而且存在，則

當且僅當F(s)在s平面的虛軸上（原點除外）及其右半平面都為解析時，終值定理才可應用。

即：當且僅當F(s)的全部極點在左半s平面，或在s=0處只有一階極點時，終值定理才可應用。

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.3拉普拉斯變換的性質例題4-3-7已知，求解：例題4-3-8已知（在虛軸上）所以，的終值不存在。

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.3拉普拉斯變換的性質十一、卷積定理如果，，則有,

（1）時域卷積（convolutiontheoremintimedomain）（2）s域卷積（convolutiontheoremincomplex

frequencydomain）如果，，則有

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.4拉普拉斯逆變換4.4拉普拉斯逆變換拉氏逆變換的求法：（1）直接利用逆變換的定義式求得；（2）利用拉氏變換的性質求得（查表）；（3）部分分式展開，結合性質求得

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.4拉普拉斯逆變換一、部分分式展開法（赫維塞德展開法）如果象函數是s的有理分式，其一般形式為將分母寫作如下形式是方程的根。其中稱為的“極點”。

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.4拉普拉斯逆變換同樣，可將分子寫作如下形式是方程的根。其中稱為的“零點”。假設均為實數，且無重根可分解為下列形式當時，（1）的根無重根，且根為實數，

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.4拉普拉斯逆變換待定系數則所求拉氏逆變換為

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.4拉普拉斯逆變換例題4-4-1已知，求其逆變換。解：寫成部分分式展開形式

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.4拉普拉斯逆變換注意：以上討論假設，如果不滿足此條件，則上面的方法將不能使用。

下面討論的情況。（按上述方法求得的反變換只適用與的情況）

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.4拉普拉斯逆變換例題4-4-2已知，求其逆變換。解：用長除法求即滿足m<n

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.4拉普拉斯逆變換F(s)展開為下列形式則

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS則求得4.4拉普拉斯逆變換（2）包含共軛復根共軛極點

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS則可求出對應共軛復數極點的有關部分的逆變換為4.4拉普拉斯逆變換

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS例題4-4-3已知，求其逆變換。4.4拉普拉斯逆變換解：共軛復數極點

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.4拉普拉斯逆變換因為所以則有

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.4拉普拉斯逆變換與極點無關的部分求得令于是有（3）有重根

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.4拉普拉斯逆變換對上式求導，可得由此得到一般形式

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.4拉普拉斯逆變換例題4-4-4已知，求其逆變換。解：將F(s)寫成展開式為求與重根有關的系數，令則

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS于是有所求的逆變換為4.4拉普拉斯逆變換

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.4拉普拉斯逆變換二、圍線積分法（留數法）根據復變函數中的留數定理

上式左邊的積分是在s平面內，沿一條不通過被積函數極點的封閉曲線C進行，等式右邊的積分是在此圍線C中被積函數各極點上留數之和。關鍵問題是求出圍線內各極點的留數！

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.4拉普拉斯逆變換為運用留數定理，在求拉氏逆變換的積分線路（由到）上補一條積分線路以構成一封閉曲線。如右圖。則原函數可表示為當為有理函數時，如果為一階極點，則留數為

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS如果為k

階極點，則留數為例題4-4-5已知，求其逆變換。解：用留數法。令求得兩個單極點一個二重極點下面求各極點上的留數4.4拉普拉斯逆變換

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.4拉普拉斯逆變換

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS則有4.4拉普拉斯逆變換

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.5連續時間系統的s域分析4.5連續時間系統的s域分析一、求解具有初始條件的微分方程例題4-5-1已知某一系統的微分方程如下系統初始條件求當時系統的強迫響應和自由響應。解：對系統的微分方程兩邊求拉氏變換，有

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.5連續時間系統的s域分析則得到輸出的拉氏變換強迫響應自由響應代入輸入，則強迫響應的拉氏變換為則強迫響應為

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS自由響應的拉氏變換為4.5連續時間系統的s域分析所求的自由響應為系統的完全響應為

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.5連續時間系統的s域分析分別畫出各響應的波形

66二、實際電路系統的s域分析

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.5連續時間系統的s域分析用拉氏變換分析電路的兩個途徑:（1）首先列寫時域微分方程，再求微分方程的拉氏變換，求出電路響應的拉氏變換，然后求逆變換；（2）利用元件的s域模型分析電路。二、實際電路系統的s域分析67例題4-5-2

下圖所示電路，當t<0時，開關S位于“1”端，電路的狀態已穩定，t=0時S從“1”端打到“2”端，分別求vC(t)與vR(t)。解：二、實際電路系統的s域分析

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.5連續時間系統的s域分析（1）求vC(t)列出微分方程如下此時例題4-5-2下圖所示電路，當t<0時，開關S位于“1”68將上式取拉氏變換，得求VC(s)的逆變換

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS則有4.5連續時間系統的s域分析將上式取拉氏變換，得求VC(s)的逆變換69（2）求vR(t)（注意：從0-到0+發生了跳變的情況）

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.5連續時間系統的s域分析列出微分方程此時如果按0-條件，則有（2）求vR(t)（注意：從0-到0+發生了跳變的情況）70

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS其中：4.5連續時間系統的s域分析將上式取拉氏變換，有則

71其中：

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.5連續時間系統的s域分析如果按0+條件，則有則其中：72最后分別畫出和的波形：t2EvR(t)0

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.5連續時間系統的s域分析EvC(t)t-E0最后分別畫出和73三、利用S域元件模型分析電路

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMSR、L、C元件時域關系R、L、C元件S域關系4.5連續時間系統的s域分析電路元件的S域模型三、利用S域元件模型分析電路74+-RIR(s)VR(s)

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.5連續時間系統的s域分析電阻元件的S域模型或+-RIR(s)VR(s)75

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.5連續時間系統的s域分析電感元件的S域模型_+IL(s)VL(s)sL利用電源轉換可以得到電流源形式的s域模型sL-++IL(s)VL(s)_

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS+-Ic(s)Vc(s)+-4.5連續時間系統的s域分析電容元件的S域模型+-IC(s)VC(s)電流源形式的s域模型：

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.5連續時間系統的s域分析求解S域電路響應的步驟：（1）畫0-等效電路；求起始狀態；（2）畫S域等效電路模型；（3）列寫S域KCL、KVL方程；（4）求解S域方程，求得響應的拉氏變換；（5）求響應的拉氏逆變換。

78例題4-5-4

用s域模型法求解下圖(a)電路的vC(t)和vR(t)。解：畫出s域模型圖(b)

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.5連續時間系統的s域分析(a)(b)例題4-5-4用s域模型法求解下圖(a)電路的vC(t79

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.5連續時間系統的s域分析由得到而所以

80

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.5連續時間系統的s域分析例題4-5-3

下圖所示電路，當t=0前開關位于“1”端，電路的進入狀態，t=0時開關轉到“2”端，求電流it(t)的全響應。+-12解:(1)用拉氏變換解微分方程激勵信號寫為:系統的微分方程為兩邊微分有

81

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.5連續時間系統的s域分析將數據和激勵代入得兩邊取拉氏變換，得所以由題意知所以

82

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.5連續時間系統的s域分析解:（2）用S域模型求解+-+-將下初始條件代入上面方程，有所以

83

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.6系統函數4.6系統函數設系統的n階微分方程為：設系統的初始狀態為零，對上式兩邊取拉氏變換得一、系統函數的概念

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.6系統函數簡寫為：

“系統函數”或“網絡函數”所以系統函數———系統零狀態響應的拉氏變換與激勵的拉氏變換之比。定義為

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.6系統函數說明：

1、H(s)由系統結構、元件參數決定，與系統初始狀態和輸入信號無關；

2、系統函數H(s)是在零狀態條件下得到的，它的原函數即為系統的沖激響應h(t)；3、線性時不變系統的H(s)是s的有理函數，其分子、分母多項式的根或為實數或為共軛復數;

4、一般情況下，H(s)分母多項式的根對應系統變量的固有頻率。H(s)X(s)Y(s)

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS二、系統函數的涵義系統激勵與響應為同一端口激勵與響應不在同一端口則網絡函數稱為“策動點函數”或“驅動點函數”則網絡函數稱之為“轉移函數”或“傳輸函數”系統4.6系統函數電路系統函數可以是阻抗、導納，也可以是數值之比（電流之比電流或電壓之比電壓）。

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.6系統函數例題4-6-1如圖為一低通濾波器，激勵為u1(t)。求響應分別為i1(t)、i2(t)和u2(t)時的網絡函數。解：畫出等效的S域電路如圖(b)+-+-(b)+-+-(a)

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.6系統函數利用回路法列出方程+-+-(b)

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.6系統函數解方程得其中

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.6系統函數其對應的網絡函數分別為：驅動點導納轉移導納轉移電壓比+-+-

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.6系統函數可見，系統函數是該系統的沖激響應的拉氏變換。分別反映了s域和時域的系統特性。三、系統函數H(s)與沖激響應h(t)的關系

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS四、系統函數H(s)的求法

（1）由零狀態下系統的微分方程兩端取拉氏變換求得

（2）由沖激響應的拉氏變換求得（3）用零狀態下的s域模型、應用電路分析方法求得4.6系統函數

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.6系統函數例題4-6-2

已知一平滑窗系統的輸入輸出關系為為非負實數，求該系統的系統函數和沖激響應。解：復指數信號通過系統函數為的LTI系統，其輸出響應為

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.6系統函數而信號通過該系統，其響應為利用和拉氏變換的時移特性，則得

95

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.6系統函數解:（1）先求電路的系統函數例題4-6-3下圖示電路，開關S在t=0時刻閉合，以v2(t)作為響應，輸入信號（1）求沖激響應h(t)；（2）求輸出電壓v2(t)；其中：

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS（2）卷積求v2(t)4.6系統函數所以

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.6系統函數求v2(t)的另一方法:

98

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.7系統函數零極點分布與時域特性4.7系統函數零、極點分布與時域特性在s域的分析中，借助系統函數在s平面零點和極點分布的研究，可以簡明、直觀地給出系統響應的許多規律。系統的時域、頻域特性集中地以其系統函數的零、極點分布表現出來。

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.7系統函數零極點分布與時域特性4.7系統函數零、極點分布與時域特性什么是系統函數的零、極點？分母多項式的根，稱為系統的極點；分子多項式的根，稱為系統的零點；極點使系統函數值無窮大；零點使系統函數值為0

100

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.7系統函數零極點分布與時域特性的分子、分母都可以分解成一階因子的乘積，即——系統函數的零點——系統函數的極點K——系統的增益零極點增益型

101

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.7系統函數零極點分布與時域特性例如極點零點只要知道H(s)在s平面的零、極點分布情況，就可預言該系統在時域方面的特性一階零點二階極點一階極點

102

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.7系統函數零極點分布與時域特性對于具有一階極點的系統，可將H(s)展開成部分分式的形式則其沖激響應為一、H(s)零極點分布與h(t)時域波形的關系1、一階極點

103

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.7系統函數零極點分布與時域特性由此可見，系統函數的極點pi決定了沖激響應h(t)的基本特性。

Ki——受零點和極點位置的影響，也就是說沖激響應的幅值由系統函數的零點和極點共同確定。下面分別討論典型極點分布與h(t)特性的關系

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.7系統函數零極點分布與時域特性（1）極點位于s平面坐標原點，，沖激響應即為階躍響應。

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.7系統函數零極點分布與時域特性（2）極點位于s平面的實軸上，則沖激響應具有指數函數的形式。如果極點pi位于s左半平面，則有

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.7系統函數零極點分布與時域特性（2）極點位于s平面的實軸上，則沖激響應具有指數函數的形式。如果極點pi位于s右半平面，則有

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.7系統函數零極點分布與時域特性（3）如果極點為位于虛軸上的共軛極點，則沖激響應為等幅度振蕩，即

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.7系統函數零極點分布與時域特性（4）如果極點是位于s左半平面內的共軛極點，則沖激響應為等幅度振蕩，即

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.7系統函數零極點分布與時域特性如果極點是位于s右半平面內的共軛極點，則

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.7系統函數零極點分布與時域特性2.二階極點（1）位于s平面坐標原點的二階極點，即

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.7系統函數零極點分布與時域特性2.二階極點（2）位于負實軸上的二階極點

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.7系統函數零極點分布與時域特性2.二階極點（3）位于虛軸上的二階共軛極點，如

113結論：極點：左半s平面→h(t)衰減右半s平面→h(t)增長虛軸上一階極點→h(t)等幅振蕩二階極點→h(t)呈增長形式h(t)衰減：穩定系統（極點在左半s平面）h(t)增長：非穩定系統（極點在右半s平面）極點在虛軸上→一階：階躍或等幅振蕩（臨界穩定）二階：以上不穩定系統

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.7系統函數零極點分布與時域特性結論：極點：左半s平面→h(t)衰減右半s平面→h(t)增長114

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.7系統函數零極點分布與時域特性H(s)零點的位置對系統的特性有何影響？考慮如下兩個系統：

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.7系統函數零極點分布與時域特性結論：H(s)的零點分布只影響時域h(t)的幅度和相位，而不影響振蕩頻率（形狀）。其中

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS二、H(s)零極點分布與自由響應、強迫響應的關系4.7系統函數零極點分布與時域特性激勵：系統函數：響應：

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.7系統函數零極點分布與時域特性系統函數極點激勵信號極點自由響應強迫響應

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.7系統函數零極點分布與時域特性結論：（1）系統自由響應的振蕩頻率由H(s)的極點決定，與激勵無關；（2）自由響應的幅度和相位與H(s)和X(s)的零點有關，即零點影響Ki

,Kk系數；（3）X(s)的極點決定了強迫響應的振蕩頻率，與H(s)無關；（4）用H(s)只能研究零狀態響應，H(s)中零極點相消將使某些固有頻率丟失。

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.7系統函數零極點分布與時域特性+-+-例題4-7-1如圖所示電路已知求并指出其自由響應與強迫響應。解：可直接寫出S域的輸出表達式

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS由4.7系統函數零極點分布與時域特性強迫響應由U1(s)的極點確定自由響應由H(s)的極點確定

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.8系統函數零極點分布與頻響特性什么是頻響特性？

系統在正弦信號激勵下，穩態響應隨信號頻率變化的規律。分為：幅度隨頻率的響應相位隨頻率的響應4.8系統函數零極點分布與頻響特性

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.8系統函數零極點分布與頻響特性一、正弦信號激勵下的系統H(s)的響應激勵系統函數系統響應部分分式展開系數由正弦激勵的極點決定的系統的穩態響應H(s)的極點決定著系統的穩定性

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.8系統函數零極點分布與頻響特性其中

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.8系統函數零極點分布與頻響特性則系統穩態響應可見，在正弦信號作用下，系統的穩態響應仍然為同頻率的正弦信號。

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.8系統函數零極點分布與頻響特性當激勵信號的頻率改變時，則系統函數可表示為系統穩態響應其幅度、相位由系統函數H(s)在處的取值決定。——幅頻響應特性——相頻響應特性

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.8系統函數零極點分布與頻響特性高通濾波器低通濾波器帶通濾波器帶阻濾波器通帶阻帶

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.8系統函數零極點分布與頻響特性二、H(s)零、極點分布與系統頻率特性設系統函數為頻率特性：可見，系統的頻率特性與零、極點分布有關，即取決于的位置。

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.8系統函數零極點分布與頻響特性對于任意的零、極點都可表示為矢量形式畫出的矢量如右圖所示。用幾何法求系統頻率特性

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.8系統函數零極點分布與頻響特性得由

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.8系統函數零極點分布與頻響特性例題4-8-1已知系統的傳遞函數求當激勵時系統的穩態響應。解：系統的頻率特性為穩態響應

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.8系統函數零極點分布與頻響特性系統極點為

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魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS穩態響應4.8系統函數零極點分布與頻響特性

133例4-8-2研究下圖所示的RC高通濾波網絡的頻響特性+-+-RCv1v2一階低通、高通濾波網絡的頻率響應特性

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.8系統函數零極點分布與頻響特性解：它有一個零點，一個極點零極點在S平面的分布如下圖例4-8-2研究下圖所示的RC高通濾波網絡的頻響特性+-134

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.8系統函數零極點分布與頻響特性

135第4章拉氏變換與連續時間系統S域分析課件136本例中：一般將中最大值的倍所對應的頻率稱為截止頻率。（高通濾波網絡）1

魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALSANDSYSTEMS4.8系統函數零極點分布與頻響特性本例中：一般將中最大值的137解：例4-8-2研究下圖所示的RC低通濾波網絡的頻響特性+-+-RCv1v