點差法公式在橢圓中點弦問題中的妙用22定理在橢圓篤爲1〔a>b>0〕中，假設直線I與橢圓相交于M、Nab兩點,是弦MN的中點，弦MN所在的直線I的斜率為kMN，那么kMNy。Xob2~2.a證明：設M、N兩點的坐標分別為 區，％)、(X2,y2)，那么有2X1~Ta2X2~2~a22y21,1.點P(Xo,yo)(1)(2)2(1)⑵，得X1-2X222y1 y2a20.y2 %X2X1y2y1X2 X1y2y1X2X1yx1bia2同理可證，在橢圓b2~2.ay2X2X22y2x〔a>b>0〕中，假設直線I與橢圓相交于N兩點，點2

2

a

衣.P(Xo,yo)是弦MN的中點，弦MN所在的直線I的斜率為kMN,那么kMNZ"Xo典題妙解例1 〔04遼寧〕設橢圓方程為2冷1，過點M(0J)的直線1交橢圓于點A、B,O為坐 1 標原點，點P滿足OP-(OAOB)，點N的坐標為2,2.當1繞點M旋轉時，求〔1〕動點P的軌跡方程;〔2〕|NP|的最大值和最小值?解：〔1〕設動點P的坐標為(X,y).由平行四邊形法那么可知：點P是弦AB的中點

焦點在y上，a2 4,b21.假設直線I的斜率存在2?由kABy 與得：rJy 4.x b xx整理，得：4x2y2y0.當直線I的斜率不存在時，弦AB的中點P為坐標原點0(0,0)，也滿足方程。2所求的軌跡方程為4x0.2〔2〕配方，得：2所求的軌跡方程為4x0.2〔2〕配方，得：—116(y1.|NP|2(x-)22(1x2 1 2(x) x\o"CurrentDocument"2 4\o"CurrentDocument"c/1\2 73(x)612(y1)2當x當x-時，|NP|min4時，|NP|max36〔07年海南、寧夏〕在直角坐標系xOy中，經過點(0,??2)且斜率為k的直線〔07年海南、寧夏〕在直角坐標系1有兩個不同的交點P和Q.求k的取值范圍;〔2〕設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B,是否存在常數k，使得向量OPOQ與AB共線？如果存在，求k的取值范圍；如果不存在，請說明理由解:〔1〕直線1的方程為ykx■■2.ykx2由x2得：(2k2 1)x2 4屁kx2 0y1.22直線l與橢圓 y2 1有兩個不同的交點,2232k 8(2k1)>0.解之得：kv—或k>2.22k的取值范圍是-■222〔2〕在橢圓Ly2 1中，焦點在x軸上，a..2,b 1,2A(、、2,0),B(0,1),AB (.2,1).設弦PQ的中點為M(x0,y0)，那么OM (x0,y10).由平行四邊形法那么由平行四邊形法那么可知： OPOQ2OM.OPOQ與AB共線,OM與AB共線.X。?2Xoyo，從而也X。〔1〕可知-時，直線I與橢圓沒有兩個公共點,2不存在符合題意的常數k.2x2x2a例3〔09年四川〕橢圓￡ 1〔a>b>0〕的左、右焦點分別為F例3〔09年四川〕橢圓b2，右準線方程為x2.2(I)求橢圓的標準方程;(n)過點F1的直線I與該橢圓相交于M、N兩點，且|F2MF2N|◎，求直線I的方程.解：〔I〕根據題意，得2.a、2,b1,c 1.所求的橢圓方程為x2y2〔n〕橢圓的焦點為1,0)、由平行四邊形法那么知:F2Mf2n2.26由If2m f2n|3得:|F2P2226(x1)y9那么1假設直線1的斜率不存在，與題設相矛盾，故直線l的斜率存在.由kMN 2得：yyx ax1x2 1,2y —(xx).-2②代入①，得(X1)21/22(xx)整理，得：9x245x170.17解之得：x一,或x233由②可知，x177-不合題意.32‘1x 一，從而y33k y 1.x1所求的直線l方程為yx11.2F2P.例4 (09全國n)橢圓，或269(_26I312F2(1,0).設直線l被橢圓所截的弦MN的中點為P(x,y).x軸，這時點P與Fi(1,0)重合，|F2MF2N||2F2F1|4,x1.2x

cr

a2yb21〔a>b>0〕的離心率為二衛，過右焦點F的直3線I與C相交于A、B兩點?當I的斜率為1時，坐標原點0到I的距離為二.2〔1〕求a,b的值;0a0b成立？假設存在,〔2〕c上是否存在點p,使得當I繞f轉到某一位置時，有0a0b成立？假設存在,求出所有點p的坐標與I的方程；假設不存在，說明理由解〔1〕橢圓的右焦點為F(c,0)，直線I的斜率為1時，那么其方程為xc，即xyc0.原點o到I的距離:|00c|<22c2-3.從而2.橢圓的方程為x21.設弦AB的中點為Q(x,y).由OPOAOB可知，點Q是線段OP的中點，點P的坐標為(2x,2y).4x22y2 1.假設直線I的斜率不存在，那么x軸，這時點Q與F(1,0)重合，OP(2,0)，點P不在橢圓上，故直線I的斜率存在.bjbj2由kAB2(23(xx).由①和②解得:3x;,y34,y2時,4kAB— 3、22，點P的坐標為(一，——)，直線22I的方程為■-2xy34,y2時,kAB■■-2，點P的坐標為(-,222，直線I的方程為2xy.2 0.金指點睛21.21.橢圓x22y2 4，那么以(1,1)為中點的弦的長度為〔A.32 A.32 B.23D.2.〔06江西〕橢圓Q:a2.〔06江西〕橢圓Q:a22b-1[a>b>0〕的右焦點為F(c，0)，過點F的一動直線m繞點F轉動，并且交橢圓于A、B兩點，P為線段AB的中點?〔1〕求點P〔1〕求點P的軌跡H的方程;〔2〕略.3.〔05上海〕〔1〕求右焦點坐標是(2,0)且過點(2,-2)的橢圓的標準方程;〔2〕橢圓C的方程為2〔2〕橢圓C的方程為2x~2a2爲1〔a>b>0〕?設斜率為k的直線I，交橢圓C于A、Bb2兩點，AB的中點為M.證明：當直線I平行移動時，動點M在一條過原點的定直線上;〔3〕略.22〔3〕略.224.(05湖北)設A、B是橢圓3xy上的兩點，點N(1,3)是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于 C、D兩點.〔1〕確定 的取值范圍，并求直線〔2〕略.AB的方程;5?橢圓C的中心在原點，并以雙曲線5?橢圓C的中心在原點，并以雙曲線1的焦點為焦點，以拋物線x26.6y的準線為其中一條準線?〔1〕求橢圓C的方程;〔2〕設直線I:ykx2(k0)與橢圓C相交于A、B兩點，使A、B兩點關于直線I:ymx1(m0)對稱，求k的值.參考答案221?解：由x2y4得2x2y1, a24,b2 2.42弦MN的中點(1,1),由kMN1b2/2得kMN1—, 直線MN的方程為y1-(x1)xa22即x2y3.k22,由：2；3得：6y212y52,y“2設M(Xi,yJ,N(X2,y2)，那么yi2,y“2|MN|1|MN|1k2)(y1點仆y::105(4 3)30~3~故答案選C.2?解：〔1〕設點P的坐標為〔x,y〕,由kABb22?解：〔1〕設點P的坐標為〔x,y〕,由kABb2~2，a整理，得：b2 2 2 2 ,2 cxaybcx0.點P的軌跡22222H的方程為bxaybcx0.3?解：〔1〕右焦點坐標是〔2,0〕， 左焦點坐標是〔2,0〕.c2.由橢圓的第一定義知,2a22)2(22)2 ( 2)2 42，a22.bb2a2c2 4.x2所求橢圓的標準方程為-〔2〕設點x2所求橢圓的標準方程為-〔2〕設點M的坐標為〔x,y〕，由kAB雖，整理得：b2xa2. aky0.aa、b、k為定值,當直線l平行移動時，動點2M在一條過原點的定直線bx當直線l平行移動時，動點2M在一條過原點的定直線bxa2ky0上.4.解：〔1〕點N〔1,3〕在橢圓3x2內,2231 3<，即>12.的取值范圍是的取值范圍是〔12,〕.22由3x22由3x2y2得- —,b2，焦點在y軸上.假設直線AB的斜率不存在，那么直線ABX軸，根據橢圓的對稱性,不合題意，故直線假設直線AB的斜率不存在，那么直線ABX軸，根據橢圓的對稱性,不合題意，故直線AB的斜率存在?線段AB的中點N在x軸上,由kAB—22得：kAB3xb1所求直線AB的方程為y3—,kAB1?31(x1)，即xy4 0.從而線段AB的垂直平分線CD的方程為y1(x1)，即xy2 0.225.解：⑴在雙曲線冷y1中，a2，b 2，c a2b2 6，焦點為F1(0, 6),F2(,.6).在拋物線x226y中，p'.6，準線為y在拋物線x226y中，p'.6，準線為y在橢圓中,a2從而a3,b.3.22yx所求橢圓C的方程為 1.xoxo1得：kyo由①、②得：Xo2由①、②得