第二章方陣的行列式

行列式是一種常用的數學工具，也是代數學中必不可少的基本概念，在數學和其他應用科學以及工程技術中有著廣泛的應用。本章主要介紹行列式的概念、性質和計算方法。

教學目的：通過本章的教學使學生了解行列式的概念，掌握行列式的性質，會計算各種類型的行列式.

教學要求：理解行列式的概念，深刻理解方陣與方陣的行列式的關系，會用行列式的六條性質熟練計算各種類型的行列式，掌握行列式的展開定理和拉普拉斯定理.

教學重點：方陣行列式的性質及展開定理，計算典型的行列式的各種方法.

教學難點：n階行列式的計算，拉普拉斯定理的應用.

教學時間：6學時.§1n

階行列式的定義

設n階方陣A=(aij),稱為方陣A的行列式,記為|A|或det

A.

用消元法求解，得：

當時，求得方程組有唯一解：1、

二元線性方程組1.1n階行列式的引出引入二階行列式則方程組的解可以寫成：例1解二元線性方程組解由于2.三元線性方程組

用消元法可求得，當時，

三元線性方程組有唯一解：其中

三階行列式的定義

例2

解三元線性方程組

解

由于所以，方程組的解為，，.

3.n元線性方程組構造：提出三個問題（1）D=？（怎么算）？（2）當D≠0時，方程組是否有唯一解？（3）若D≠0時，方程組有唯一解，解的形式是否是

1.2全排列及其逆序數

1、全排列用1，2，3三個數字可以排6個不重復三位數即：

123，231，312，132，213，321

一般地，把n個不同的元素排成一列，共有幾種不同的排法？這是一個全排列問題。從n個元素中任取一個放在第一個位置上，有n種取法；再從剩下的n-1個元素中任取一個元素，放在的第二個位置上有n-1種取法;依此類推，直到最后剩下一個元素放在最后位置上，只有一種取法；于是：

這樣得到:由n個自然數1,2,…,n按照任何一種次序排成的有序數組j1j2…jn稱為一個n級排列,簡稱排列.

顯然不重復的n級排列共有n!個.

2.逆序數

對于n個不同的元素，可規定各元素之間有一個標準順序（例如，n個不同的自然數，規定由小到大為標準順序）。于是，在這n個元素的任意一個排列中，當某兩個元素的順序與標準順序不同時，就說產生了一個逆序，一個n級排列中所有逆序的總和叫做這個排列的逆序數。排列j1j2…jn

的逆序數記為τ(j1j2…jn).3.逆序數的計算方法

設元素為1至n個自然數，并規定由小到大為標準次序，設j1,j2,…,jn

為這n個自然數的一個n級排列，自j1開始直到jn-1,逐個計算每個元素的右邊比它小的元素的個數k1,k2,…,kn-1,則該排列的逆序數為

由逆序數的定義可知,標準排列12…n的逆序數為0.

而對于一般的n級排列,逆序數可以用如下方法計算:

例如，5級排列32514,其逆序數為：

τ

(32514)=2+1+2+0=5定理1.1一次對換必改變排列的奇偶性.當我們把上面排列改為31524，相當于把32514這個排列的第2、4兩個數碼對換（將一個排列中任意兩個元素對調，其余的元素不動，這種作出新排列的變換稱為對換）。通過計算可知31524

的逆序數為τ

(31524)=2+0+2+0=4

.逆序數是奇數的排列叫做奇排列，逆序數是偶數的排列叫做偶排列。那么排列32514

為奇排列，而31524

為偶排列，由此得一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性。1.3n階行列式值的定義

定義1.1設n階方陣A=（aij)，定義n階行列式|A|的值為的項（稱為行列式的一個均布項），其中j1,j2,…,jn

為自然數1，2，…，n的一個排列，τ為這個排列的逆序數。這樣的排列共有n!個，所有這些項的代數和即為n階行列式的值。

作出n階方陣A=（aij)中位于不同行不同列的n個數的乘積，并冠以符號因子

，得到形如

行列式的另一種定義形式為:

同理，也可以定義為:1.4幾種特殊的行列式（1）對角行列式（2）下（上）三角行列式（3）

其中，證記D=det(dij)，其中

dij=aij

i=1,2,…,m；j=1,2,…,m。dm+i

,m+j=bij

i=1,2,…,n；j=1,2,…,n。在行列式中任取一個均布項

由于當i≤m，j>m時，dij=0，因此r1,r2,…,rm只有在1,…,m中選取時，該均布項才可能不為0，而當r1,r2,…,rm在1,…,m中選取時，rm+1,…,rm+n只能在m+1,…,m+n中選取。于是D中可能不為0的均布項可以記為這里，pi=ri,