20132013初一數學培優匯總（精華）第一講數系擴張--有理數（一）一、【問題引入與歸納】1、正負數，數軸，相反數，有理數等概念。2、有理數的兩種分類：m3、有理數的本質定義，能表成一（n豐0,m,n互質）。n4、性質：①順序性（可比較大小）；四則運算的封閉性（0不作除數）；稠密性：任意兩個有理數間都存在無數個有理數。5、絕對值的意義與性質：①Ia1=；"""-0）②非負性（Ia1>0,a2>0）[-a（a<0）③非負數的性質：i）非負數的和仍為非負數。ii）幾個非負數的和為0，則他們都為0。二、【典型例題解析】：1、若abf0,則—+型-凹的值等于多少？abab2、如果m是大于1的有理數，那么m一定小于它的（）相反數B.倒數C.絕對值D.平方3、已知兩數a、b互為相反數，c、d互為倒數，x的絕對值是2，求x2—（a+b+cd）x+（a+b）2oo6+（—cd）2007的值。aQb4、如果在數軸上表示a、b兩上實數點的位置，如下圖所示，那么Ia—bI+1a+bI化簡的結果等于（A.2aB.—2aC.0D.2b5、已知（a—3）2+Ib—2I=0，求ab的值是（）A.2B.3C.9D.66、有3個有理數a,b,c，兩兩不等，那么口,出,C—a中有幾個負數？b一cc一aa一b0，7、設三個互不相等的有理數，既可表示為1,a+b,a的形式式，又可表示為0，，b的形式，求a2006+b2007。a

8、三個有理數a,b,c的積為負數，和為正數，且abc|ab||bc||ac|X=+++++則ax3+bx2+cx+1的值是多少？|a||b||c|abbcac9、若a,b,c為整數，且Ia-bI2007+|c-aI2007=1，試求|c-aI+1a-bI+1b-cI的值。三、課堂備用練習題。1、計算：1+2-3-4+5+6-7-8+???+2005+20062、計算：1X2+2X3+3X4+…+n(n+1)91733651293、計算：一+一++++已知a,b為非負整數，且滿足丨a-bI+ab=1，求a,b的所有可能值。5、若三aIIbIIcIIabcI個有理數a,b,c滿足一+一+=1，求的值。abcabc第二講數系擴張--有理數(二)一、【能力訓練點】：1、絕對值的幾何意義丨aI=Ia-0I表示數a對應的點到原點的距離。丨a-bI表示數a、b對應的兩點間的距離。2、利用絕對值的代數、幾何意義化簡絕對值。二、【典型例題解析】：1、(1)若-2<a<0，化簡丨a+2I+1a-2I2）若xp0，化簡2）若xp0，化簡x-3I-1xI2、設ap0，且x＜缶，試化簡Ix+1I-1x-2I3、a、b是有理數，下列各式對嗎？若不對，應附加什么條件?Ia+Ia+bI=IaI+1bI;Ia-bI=Ib-aI;IabI=IaIIbI;若IaI=b貝Ua二b20132013初一數學培優匯總（精華）20132013初一數學培優匯總（精華）20132013初一數學培優匯總(精華)若|apIbI，則apb(6)若afb，則丨aIfIbI4、若Ix+5I+1x-21=7，求x的取值范圍。5、不相等的有理數a,b,c在數軸上的對應點分別為A、B、C，如果Ia-bI+1b-cI=Ia-cI，那么B點在A、C的什么位置？6、設apbpcpd，求Ix-aI+1x-bI+1x-cI+1x-d丨的最小值。7、abcde是一個五位數，apbpcpdpe,求Ia-bI+1b-cI+1c-dI+1d-eI的最大值。8、設a,a,a,L,a都是有理數，令M=(a+a+a+L+a)12320061232005(a+a+a+L+a),N=(a+a+a+L+a)(a+a+a+L+a),試^匕234200612320062342005較M、N的大小。三、【課堂備用練習題】：1、已知f(x)=Ix-1I+1x-2I+1x-3I+L+1x-2002I求f(x)的最小值。2、若Ia+b+1I與(a-b+1)2互為相反數，求3a+2b-1的值。3、如果abc豐0，求空+型+勺的值。abc4、x是什么樣的有理數時，下列等式成立？丨(丨(x-2)+(x-4)I=Ix-21+1x-411(7x+6)(3x-5)I=(7x+6)(3x-5)5、化簡下式：5、化簡下式：Ix-1xIIx第三講數系擴張--有理數(三)一、【能力訓練點】：1、運算的分級與運算順序；2、有理數的加、減、乘、除及乘方運算的法則。加法法則：同號相加取同號，并把絕對值相加；異號相加取絕對值較大數的符號，并用較大絕對值減較小絕對值；一個數同零相加得原數。6cVLQn2。2)減法法則：減去一個數等于加上這個數的相反數。

（3）乘法法則：幾個有理數相乘，奇負得負，偶負得正，并把絕對值相乘。（4）除法法則：除以一個數，等于乘以這個數的倒數。3、準確運用各種法則及運算順序解題，養成良好思維習慣及解題習慣。二、【典型例題解析】：(3、(5、(1、1、計算：0.75+-23+(+0.125)+|—12—+—4-14丿17丿18丿2、計算：(1)、56+(-0.9)+4.4+(-8.1)+1(1、(1、(1\+-31++6-+-2113J12丿14丿（-43）(-1|I-(+（-43）(-1|I-(+1.75)3)、4、（2（3（4）3.75-04、（2（3（4）3.75-0+1-(7、(1、(1、(1、—4-—-51+—4-—+3-18丿12丿14丿18丿(3「(5「(1「2—++4-「8丿<6丿「2丿3化簡：計算：（1）(—1)—(3「-(+5)-(4]「-丿「-丿-0.125+|-4|(2)(3)(5)x+1-13丿14丿16丿(1)(1)(1)—1—+—4———2—12J14丿13丿3、計算：①（七）757-4.035X12+7.535X12-36X(-—-+—)9618(2「(2)8(13)—2-x—1-<-丿15丿——14丿3—(—3)23)⑵一a*一（-。也x5、計算：(1)(-2)3+3—(—3)23)⑵一a*一（-。也x1—0.5十2x-r<1+1(3丫1x(—2)4(-6—14丿6、計算：6、計算：TOC\o"1-5"\h\z)—10—-—0.54丿134711137、計算：(一—一)x[0.25-+(——)3]—(5-—1.25—4―)一[(0.45)2+(2一)-]+(—1)200281634242001

第四講數系擴張--有理數（四）、【能力訓練點】：1、運算的分級與運算順序；2、有理數的加、減、乘、除及乘方運算的法則。1、運算的分級與運算順序；2、有理數的加、減、乘、除及乘方運算的法則。3、巧算的一般性技巧：①湊整（湊0）；①湊整（湊0）；②巧用分配律1、③去、添括號法則；④裂項法綜合運用有理數的知識解有關問題。二、【典型例題解析】341、③去、添括號法則；④裂項法綜合運用有理數的知識解有關問題。二、【典型例題解析】34、計算：237970.7xl—-6.6x--2.2一-+0.7x—+3.3一-3118111t1.41t1.411TL—)x(—\-H\-L31996234111x(—++—+L+)2341996(1+需)—(1—1一1—L—需)兀3、計算：①一22+(—2)2—13.14—兀I——I—3.141(-1)3②5—3x{-2+4x[—3x(—2)2—(—4)-(—1)3]—7}4、化簡：(x+y)+(2x+y)+(3x+y)+L(9x+y)并求當x=2,y=9時TOC\o"1-5"\h\z1x22x38x9的值。5、計算：6、比較S22+132+142+1n5、計算：6、比較S=+++L+22—132—142—1n2—1234n=—+—+—++L+與2的大小。48162?134711137、計算：(一—一)x[0.253+(——)3]—(5-—1.25—4―)一[(0.45)2+(2——)3]+(—1)2002816342420018、已知a、b是有理數'且a8、已知a、b是有理數'且apb，含c=弓x=，y=，請將3a,b,c,x,y按從小到大的順序排列。三、【備用練習題】：11112221、計算(1)—+一+一+——+一(2)++L+2870130208lx33x599xlOl2、計算:2007—-2006—+2005—-2004—+L1—-—323233、計算:3、計算:20064、如果(a-"2+|b+21二0，求代數式(b-a)2+(a+b)2006的值。2ab+(a+b)20055、若a、b互為相反數，c、d互為倒數，m的絕對值為2，求a2-b2+一（】一2m+m2）的值。cd第五講代數式（一）一、【能力訓練點】:1）列代數式；（2）代數式的意義；3）代數式的求值（整體代入法）二、【典型例題解析】:1、用代數式表示:（1）比x與y的和的平方小x的數。（2）比a與b的積的2倍大5的數。（3）甲乙兩數平方的和（差）。（4）甲數與乙數的差的平方。（5）甲、乙兩數和的平方與甲乙兩數平方和的商。（6）甲、乙兩數和的2倍與甲乙兩數積的一半的差（7）比a的平方的2倍小1的數。（8）任意一個偶數（奇數）（9）能被5整除的數。10）任意一個三位數。20132013初一數學培優匯總（精華）20132013初一數學培優匯總（精華）20132013初一數學培優匯總(精華)2、代數式的求值：已知口=5，求代數式2(2a-b)+3也的值。a+ba+b2a-b已知x+2y2+5的值是7,求代數式3x+6y2+4的值。已知a二2b;c二5a，求6"十2b_C的值(c豐0)a—4b+c12a-2b-ab已知—-—=3，求的值。baa—b+2ab已知：當x二1時，代數式Px3+qx+1的值為2007,求當x=-1時，代數式Px3+qx+1的值。已知等式(2A—7B)x+(3A—8B)=8x+10對一切x都成立，求A、B的值。已知(1+x)2(1-x)=a+bx+cx2+dx3，求a+b+c+d的值。當多項式m2+m-1=0時，求多項式m3+2m2+2006的值。3、找規律：I.(1)(1+2)2-12二4(1+1)；(2)(2+2)2-22二4(2+1)(3+2)2-32二4(3+1)(4)(4+2)2-42二4(4+1)第N個式子呢？第N個式子呢？22II.已知2+—=22x一；33+上=42x_±；151533+-=32x-；88若10+=102xbb(a、b為正整數)，求a+b二?III.13=12；13+23二32；13+23+33=62；1+23+33+43=1。2；猜想:13+23+33+43+L+n3=?三、【備用練習題】：1、若(m+n)個人完成一項工程需要m天，則n個人完成這項工程需要多少天？32、已知代數式3y2-2y+6的值為8,求代數式一y2—y+1的值。23、某同學到集貿市場買蘋果，買每千克3元的蘋果用去所帶錢數的一半，

而余下的錢都買了每千克2元的蘋果，則該同學所買的蘋果的平均價格是每千克多少元？4、已知a—1(n—1,2,3,L,2006)求當a—1時，n+1r111+—anaa+aa+L+aa122320062007第六講代數式（二）一、【能力訓練點】：（1）同類項的合并法則；（2）代數式的整體代入求值二、【典型例題解析】：1、已知多項式2y+5x2-9xy2+3x+3nxy2-my+7經合并后，不含有y的項,求2m+n的值。2、當50-（2a+3b）2達到最大值時，求1+4a2-9b2的值。3、已知多項式2a3-a2+a-5與多項式N的2倍之和是4a3-2a2+2a-4，求N?4、若a,b,c互異，且==—，求x+y+Z的值。a一bb一cc一a5、已知m2+m一1=0，求m3+2m2+2005的值。6、已知m2一mn=15,mn一n2=-6，求3m2一mn一2n2的值。7、已知a，b均為正整數，且ab=1，求汩+島的值。8、求證112L31??242等于兩個連續自然數的積。9、2006個1已知9、2006個1已知abc=12006個2求一a一+

ab+a+1bbc+b+1c+ac+c+1的值。10、一堆蘋果，若干個人分，每人分4個，剩下9個，若每人分6個，最后一個人分到的少于3個，問多少人分蘋果？三、【備用練習題】：N=ab+——1+a1+b1、已知N=ab+——1+a1+bM=丄+苗，

2、已知x2—x—1=0，求x3—2x+1的值。3、已知===K，求K的值。y+zx+zx+y4、a=355,b=444,c=533，比較a,b,c的大小。5、已知2a2—3a—5=0，求4a4—12a3+9a2—10的值。第七講發現規律一、【問題引入與歸納】我國著名數學家華羅庚先生曾經說過：“先從少數的事例中摸索出規律來，再從理論上來證明這一規律的一般性，這是人們認識客觀法則的方法之一”。這種以退為進，尋找規律的方法，對我們解某些數學問題有重要指導作用，下面舉例說明。能力訓練點：觀察、分析、猜想、歸納、抽象、驗證的思維能力。二、【典型例題解析】1、觀察算式：+3=凹纟,1+3+5=皿3,1+3+5+7上公4,1+3+5+7+9=35丄,2222按規律填空：1+3+5+…+99=？，1+3+5+7+…+（2n—1）=？2、如圖是某同學在沙灘上用石子擺成的小房子。觀察圖形的變化規律，寫出第n個小房子用了多少塊石子？■*'3、用黑、白兩種顏色的正六邊形地面磚*第2個第g個（如圖所示）的規律，拼成若干個圖案：（1）第3個圖案中有白色地面磚多少塊？（2）第n第2個第g個4、觀察下列一組圖形，如圖，根據其變化規律，可得第10個圖形中三角形的個數為多少？第n個圖形中三角形的個數為多少？$5、觀察右圖，回答下列問題：?@@@応Lt?@@@（1）圖中的點被線段隔開分成四層，則第一層有1個點，第二層有3個點，第三層有多少個點，第四層有多少個點？（2）如果要你繼續畫下去，那第五層應該畫多少個點，第n層有多少個點？（3）某一層上有77個點，這是第幾層？（4）第一層與第二層的和是多少？前三層的和呢？前4層的和呢？你有沒有發現什么規律？根據你的推測，前12層的和是多少？K⑸sEu。bsE6V7O°IcCig0i。6、讀一讀：式子“1+2+3+4+5+???+100”表示從1開始的100個連續自然數的和，由于上述式子比較長，書寫也不方便，為了簡便起見，我們可將“1+2+3+4+5+…+100”表示為100n，這里“Z”是求和符號，例如“1+3+5+7+9+???+99”（即從1開始的100門以內的連續奇數的和）可表示為0（2n-1）;又如“13+23+33+43+53+63+73+83+93+103”可表示為010n3，同學們，通過以上n=1材料的閱讀，請解答下列問題：（1）2+4+6+8+10+-+100（即從2開始的100以內的連續偶數的和）用求和符號可表示為；mVtXJz6。mXWvmON。QQTQawA。（2）計算：0（n2-1）=（填寫最后的計算結果）。n=17、觀察下列各式，你會發現什么規律？3X5=15，而15=42-15X7=35，而35=62-111X13=143，而143=122-1TOC\o"1-5"\h\z將你猜想的規律用只含一個字母的式子表示出來。r一i2348、請你從右表歸納出計算13+23+33+…+n3的分式，并算出2~*2468—*■S69L213+23+33+…+1003的值。.f—K，1S1216TOC\o"1-5"\h\z三、【跟蹤訓練題】11、有一列數a,a,a,aLa,其中：a=6X2+1，a=6X3+2，a=6X4+3，a=61234n1234X5+4;…則第n個數a=，當a=2001時，n=。nn

2、將正偶數按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行182022242826TOC\o"1-5"\h\z根據上面的規律，則2006應在行列。3、已知一個數列2,5,9,14,20,x,35…則x的值應為：（）4、在以下兩個數串中：3,5,7,…，1991,1993,1995,1997,1999和1,4,7,10,…，1990,1993,1996,1999,同時出現在這兩個數串中的數的個數共有（）個。A.333334C.335D.336△△△△5、學校閱覽室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2張方桌拼成一行能坐6△△△△種規定填寫下表的空格：拼成一行的桌子數123???n人數46???6、給出下列算式：2一12=8X1TOC\o"1-5"\h\z2一32=8x272一52=8x392一72=8x4AAAAA觀察上面的算式，你能發現什么規律，用代數式表示這個規律：7、通過計算探索規律：152=225可寫成100X1X（1+1）+2520132013初一數學培優匯總(精華)20132013初一數學培優匯總(精華)252=625可寫成100X2X(2+1)+25352=1225可寫成100X3X(3+1)+25452=2025可寫成100X4X(4+1)+25752=5625可寫成歸納、猜想得：(10n+5)2=根據猜想計算：19952二8、已知12+22+32+A+n2=-n(n+l)2n+1),計算:6112+122+132+…+192=；9、從古到今,所有數學家總希望找到一個能表示所有質數的公式,有位學者提出：當n是自然數時，代數式n2+n+41所表示的是質數。請驗證一下，當n=40時，呼+n+41的值是什么？這位學者結論正確嗎？第八講綜合練習(一)—曲2叫1、若口=5，求上二+5X±^的值。x+y2x+2y3x-3y2、已知丨x+y-91與(2x-y+3)2互為相反數，求yx。3、已知Ix-21+x-2=0，求x的范圍。4、判斷代數式的正負。x|abcd||a||b||c||d|5、若=—1，求一+一++的值。abcdabcd6、若丨ab-2I+(b-1)2二0，求丄+1+1+Lab(a+1)(b+1)(a+2)(b+2)1(a+2007)(b+2007)7、已知-2pxp3，化簡|x+2|-|x-3|8、已知a,b互為相反數，c,d互為倒數，m的絕對值等于2,P是數軸上的表示原點的數，求P1000-cd+a+b+m2的值。abcd9、問□中應填入什么數時，才能使I2006xW-2006l=2006

10、a,b,c在數軸上的位置如圖所示,化簡：Ia+bI+1b-II—Ia-c丨一11-cI-12b-3111、若af0,bp0，求使Ix-aI+1x-bI=Ia-bI成立的x11、12、計算.(212、計算.(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)232-12004x2004-200472005x2005-2005、已知a=-，b=-2003x2003+20032004x2004+20042006x2006-2006c=-，求abc。2005x2005+20051399911914、已知P=,q=，求P、q的大小關系。99999015、有理數a,b,c均不為0,且a+b+c=0。設x=|丄卩+丄刃-+丄門-1，求代數b+cc+aa+b式x19-99x+2008的值。第九講一元一次方程(一)、知識點歸納：1、等式的性質。2、一元一次方程的定義及求解步驟。3、元一次方程的解的理解與應用。43、二、典型例題解析：「解下列方程"「解下列方程"呼=罟-1--1]-2=x+2;2L314丿」0.5⑶0.7+型-0'2=1.5-5x

0.20.5TOC\o"1-5"\h\zb+3b+32、能否從(a-2)x=b+3;得到x=，為什么？反之，能否從x=得a—2a—2到(a-2)x=b+3，為什么？3、若關于x的方程竺嚴=2+丁，無論k為何值時，它的解總是％=1，求m、m、n的值。4、若(3x+1)5二ax5+ax4+L+ax+ao＜求a—a+a—a+a—a的值。54105432105、已知x二1是方程丄mx=3x-的解，求代數式(m2-7m+9)2007的值。226、關于x的方程(2k-1)x=6的解是正整數，求整數K的值。7、若方程2x—上竺=4—6x與方程2mx—土5=2—竺二1同解，求m的值。468、關于x的一元一次方程(m2—1)x2—(m+1)x+8=0求代數式200(m+x)(x一2m)+m的值。9、解方程丄+亠+亠+L+x=20061x22x33x42006x200710、已知方程2(x+1)=3(x—1)的解為a+2，求方程2[2(x+3)—3(x—a)]=3a的解。11、當a滿足什么條件時，關于x的方程Ix—21—Ix—51=a，①有一解；②有無數解；③無解。第十講一元一次方程(2)一、能力訓練點：1、列方程應用題的一般步驟。2、利用一元一次方程解決社會關注的熱點問題(如經濟問題、利潤問題、增長率問題)二、典型例題解析。1、要配制濃度為20%的硫酸溶液100千克，今有98%的濃硫酸和10%的硫酸，問這兩種硫酸分別應各取多少千克？2、一項工程由師傅來做需8天完成，由徒弟做需16天完成，現由師徒同時做了4天，后因師傅有事離開，余下的全由徒弟來做，問徒弟做這項工程共花了幾天？vcmHEbS。oaOwCyf。3、某市場雞蛋買賣按個數計價，一商販以每個0.24元購進一批雞蛋，但在販運途中不慎碰壞了12個，剩下的蛋以每個0.28元售出，結果仍獲利11.2元，問該商販當初買進多少個雞蛋？vz8r1hvH1qZ0BDl7uXqWp20132013初一數學培優匯總（精華）20132013初一數學培優匯總（精華）4、某商店將彩電按原價提高40%，然后在廣告上寫“大酬賓，八折優惠”，結果每臺彩電仍可獲利270元，那么每臺彩電原價是多少？5、一個三位數，十位上的數比個位上的數大4，個位上的數比百位上的數小2，若將此三位數的個位與百位對調，所得的新數與原數之比為7:4，求原來的三位數？6、初一年級三個班，完成甲、乙兩項任務，（一）班有45人，（二）班有50人，（三）班有43人，現因任務的需要，需將（三）班人數分配至（一）、（二）兩個班，且使得分配后（二）班的總人數是（一）班的總人數的2倍少36人，問：應將（三）班各分配多少名學生到（一）、（二）兩班？7、一個容器內盛滿酒精溶液，第一次倒出它的1后，用水加滿，第二次倒出它3的1后用水加滿，這時容器中的酒精濃度為25%,求原來酒精溶液的濃度vakZsE32vakzsE3。8、某中學組織初一同學春游，如果租用45座的客車，則有15個人沒有座位；如果租用同數量的60座的客車，則除多出一輛外，其余車恰好坐滿，已知租用45座的客車日租金為每輛車250元，60座的客車日租金為每輛300元，問租用哪種客車更合算？租幾輛車？9、1994年底，張先生的年齡是其祖母的一半，他們出生的年之和是3838，問到2006年底張先生多大？10、有一滿池水，池底有泉總能均勻地向外涌流，已知用24部A型抽水機，6天可抽干池水，若用21部A型抽水機13天也可抽干池水，設每部抽水機單位時間的抽水量相同，要使這一池水永抽不干，則至多只能用多少部A型抽水機抽水？11、狗跑5步的時間，馬能跑6步，馬跑4步的距離，狗要跑7步，現在狗已跑出55米，馬開始追它，問狗再跑多遠馬可以追到它？12、一名落水小孩抱著木頭在河中漂流，在A處遇到逆水而上的快艇和輪船，因霧大而未被發現，1小時快艇和輪船獲悉此事，隨即掉頭追救，求快艇和輪船從

獲悉到追及小孩各需多少時間？數形結合談數軸一、閱讀與思考數學是研究數和形的學科，在數學里數和形是有密切聯系的。我們常用代數的方法來處理幾何問題；反過來，也借助于幾何圖形來處理代數問題，尋找解題思路，這種數與形之間的相互作用叫數形結合，是一種重要的數學思想。運用數形結合思想解題的關鍵是建立數與形之間的聯系，現階段數軸是數形結合的有力工具，主要體現在以下幾個方面：1、利用數軸能形象地表示有理數；2、利用數軸能直觀地解釋相反數；3、利用數軸比較有理數的大小；4、利用數軸解決與絕對值相關的問題。二、知識點反饋1、利用數軸能形象地表示有理數；例1:已知有理數a在數軸上原點的右方，有理數b在原點的左方，那么（）A.ab<bB.ab>bc.a+b>0D.a一b>0拓廣訓練：1、如圖a,b為數軸上的兩點表示的有理數，在a+b,b-2a,|a-b|,|b|—|a|中，負數的個數有（）（“祖沖之杯”邀請賽試題）TOC\o"1-5"\h\zA.1B.2c.3D.43、把滿足2<a<5中的整數a表示在數軸上，并用不等號連接。2、利用數軸能直觀地解釋相反數；例2:如果數軸上點A到原點的距離為3，點B到原點的距離為5，那么A、B兩點的距離為。拓廣訓練：1、在數軸上表示數a的點到原點的距離為3，則a-3二.2、已知數軸上有A、B兩點，A、B之間的距離為1，點A與原點0的距離為3，那么所有滿足條件的點B與原點0的距離之和等于。（北京市“迎春杯”競賽題）3、利用數軸比較有理數的大小；例3:已知a>0,b<0且a+b<0，那么有理數a,b,-a,|b|的大小關系是。（用“<”號連接）（北京市“迎春杯”競賽題）拓廣訓練:1、若m<0,n>0且mi>W，比較一m,-n,m+n,m一n,n一m的大小，并用“>”號連接。例4:已知a例4:已知a<5比較與4的大小拓廣訓練：1、已知a>-3，試討論|a|與3的大小2、已知兩數a,b,如果a比b大，試判斷|a|與|b|的大小4、利用數軸解決與絕對值相關的問題。例5：有理數a,b,c在數軸上的位置如圖所示，式子|a|+|b|+|a++|b一化簡結果為「‘?A）-1aO1beA.2a+3b一cB.3b一cc.b+cd.c一b拓廣訓練：1、有理數a,b,c在數軸上的位置如圖所示，則化簡|a+b\—|b—1|—|a—c\—1—c|的結果>為。baOe12、已知|a2、已知|a+b\+|a—b|=2b，在數軸上給出關于b0a~*②是—①ba,b的四種情況如圖所示，則成立的0ba*④3、已知有理數a,b,c在數軸上的對應的位置如下圖：則|c—1|+|a—c|+|a—b\化簡后的結果是（）（湖北省初中數學競賽選撥賽試題）1OA.b-1b.2a-b-1C.1+2a-b-2cCd.1—2c+b三、培優訓練1、已知是有理數，且（x|—1）+1、已知是有理數，且（x|—1）+（2y+1》=0，那以x+y的值是（133C.2或一2D—1或213B.—22（07樂山）如圖，數軸上一動點A向左移動2個單位長度到達點B,位長度到達點C.若點C表示的數為1,則點A表示的數為A.7B.3C.—3D.—23、如圖，數軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距1個單位，A.2、5Bor——-J<再向右移動5個單點A、B、C、D對應的數分別是整數a,b,c,d且d—2a=10，那么數軸的原點應是（）A.A點B.B點C.C點D.D點4、數a,b,c,d所對應的點A，B，C，D在數軸上的位置如圖所示，那么a+c與b+d的大小關系是()A.a+c小關系是()A.a+c<b+dB.a+c=b+幺Dc.』+dD.不確定的5、不相等的有理數a,b,c在數軸上對應點分別為A，B，C,若|a—b|+|b—c|=|a—c|，那么點B（）A.在A、C點右邊B.在A、C點左邊C.在A、C點之間D.以上均有可能6、設y=|x—1|+|x+1|，則下面四個結論中正確的是（）（全國初中數學聯賽題）

A.y沒有最小值B.只一個x使y取最小值有限個x（不止一個）使y取最小值D.有無窮多個x使y取最小值117、在數軸上，點A,B分別表示-3和5，則線段AB的中點所表示的數8、若a>0,b<0，則使|x-a\+|x-b|=a-b成立的x的取值范圍是c9、10095x+x+9、10095x+x+221221x是有理數，則的最小值10、已知a,b,c,d為有理數，在數軸上的位置如圖所示:dbOac且6||a|=6b|=3C|=4d\=6,求|3a-2d|-|3b-2a|+|2b-c|的值。11、（南京市中考題）（1）閱讀下面材料:點A、B在數軸上分別表示實數a,b，A、B兩點這間的距離表示為|AB|，當A、B兩點中有當A、B兩點都不一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖1，IABI=OB=|b|=當A、B兩點都不在原點時，①如圖2,點A、B都在原點的右邊|AB|=OB-|OA|=|b|在原點時，①如圖2,點A、B都在原點的右邊|AB|=OB-|OA|=|b|-|a|=b-a=O(A)B才oba-bO②如圖3,點A、B都在原點的左邊|AB|=OB—|OA|=bl—ia=-b—(—a)=|a—彳;③如圖4,點A、b在原點的兩邊|ab|=OA+OB=\a+bi=a+(-b)=a-b。B~b~BOao_>aoA_（2）回答下列問題：boa綜上，數軸上A、B兩點之間的距離|AB|=|a-b|。①數軸上表示2和5兩點之間的距離，數軸上表示-2和-5的兩點之間的距離是，數軸上表示1和-3的兩點之間的距離；②數軸上表示x②數軸上表示x和-1的兩點A和B之間的距離是，如果|AB=2，那么x為；③當代數式|x+1|+|x-2取最小值時，相應的x的取值范圍是④求|x—1|+|x—2+|x—3*卜|x—1997］的最小值。聚焦絕對值一、閱讀與思考絕對值是初中代數中的一個重要概念，引入絕對值概念之后，對有理數、相反數以及后續要學習的算術根可以有進一步的理解；絕對值又是初中代數中一個基本概念，在求代數式的值、代數式的化簡、解方程與解不等式時，常常遇到含有絕對值符號的問題，理解、掌握絕對值概念應注意以下幾個方面：20132013初一數學培優匯總（精華）20132013初一數學培優匯總(精華)1、脫去絕值符號是解絕對值問題的切入點。脫去絕對值符號常用到相關法則、分類討論、數形結合等知識方法去絕對值符號法則：a(a>0)|a|=<0(a=0)-a(a<0)2、恰當地運用絕對值的幾何意義從數軸上看|a|表示數a的點到原點的距離；|a-b\表示數a、數b的兩點間的距離。3、靈活運用絕對值的基本性質①問>0②a2=|a|2=a2③|ab|=|a|?|b||a+b<|a|+b|⑥|a-b\>|a|-|b|二、知識點反饋1、去絕對值符號法則例1：已知|a|=5,b|=3且|a-b|=b-a那么a+b=拓廣訓練：1、已知a=1,b|=2,c=3,且a>b>c，那么(a+b—c)2=。(北京市“迎春杯”競賽題)2、若|a|=&|b|=5，且a+b>0，那么a-b的值是()A.3或13B.13或-13C.3或-3D.-3或-132、恰當地運用絕對值的幾何意義例2：|x+1|+|x—1|的最小值是()A.2B.0C.1D.-1解法1、分類討論當x<-1時，x+1|+x—1==-(x+1)-(x-1)=-2x>2；當一15x口1時，|x+1|+|x—1|=x+1-(x—1)=2；|=x+1+(x—1)=2x>2。當x>1時|x+1|+|x-1比較可知，|x+1|+|x—1|的最小值是2，故選A。解法2、由絕對值的幾何意義知|x-1|表示數x所對應的點與數1所對應的點之間的距離；x+1|表示數x所對應的點與數-1所對應的點之間的距離；Ix+1|+|x-1|的最小值是指x點x-1x1x到1與-1兩點距離和的最小值。如圖易知當一1Wx<1時，|x+1|+|x—1|的值最小，最小值是2故選A。拓廣訓練：1、已知|x—3+|x+2的最小值是a，|x—3—|x+2的最大值為b，求a+b的值。三、培優訓練TOC\o"1-5"\h\z1、如圖，有理數a,b在數軸上的位置如圖所示：-2_-10~b1則在a+b,b一2a，—|aI，|a一bI，|a+2|,-|b一4|中,負數共有（）（湖北省荊州市競賽題）A.3個B.1個C.4個D.2個2、若m是有理數，則m—m一定是（）A.零氏非負數C.正數D.負數3、如果|x—2+x—2=0，那么x的取值范圍是（）A.x>2b.x<2c.x>2d.x<24、a,b是有理數，如果|a—b\=a+b，那么對于結論（1）a一定不是負數；（2）b可能是負數，其中（）（第15屆江蘇省競賽題）A.只有（1）正確B.只有（2）正確C.（1）（2）都正確D.（1）（2）都不正確5、已知a=—a，則化簡a—1—a—2所得的結果為（）A.—1B.1C.2a—3D.3—2a6、已知0<a<4，那么|a—2+3—a|的最大值等于（）A.1B.5C.8D.97A.1B.5C.8D.97、已知a,b,c都不等于零，且x=ab—+同+cabc—+~\，根據a,b,c的不同取值，x有（）abcA.唯一確定的值B.3種不同的值C.4種不同的值D.8種不同的值8、滿足|a—=|a|+b|成立的條件是（）（湖北省黃岡市競賽題）A.ab>0B.ab>1C.ab<0D.ab<19、若29、若2<x<5x—5則代數式——-x—5+的值為x10、若ab>0則尬+10、若ab>0則尬+M—卑的值等于abab11、已知a,b,c是非零有理數且a+b+c=0,abc>0，ab求萬+囚+|b|cabc—+~-~I的值。cabc12、已知a,b,c,d是有理數，|a—b—9,|c—d—16,且|a—b—c+d|=25,求|b—a—|d—c的值。13、閱讀下列材料并解決有關問題：x(x>0)我們知道|x|=<0(x=0),現在我們可以用這一個結論來化簡含有絕對值的代數式，如-x(x<0)化簡代數式|x+1+|x—2時，可令x+1=0和x—2=0，分別求得x=—1,x=2(稱—1,2分別為|x+1|與|x—2的零點值)。在有理數范圍內，零點值x=—1和x=2可將全體有理數分成不重復且不遺漏的如下3種情況：當x<—1時，原式二一Cx+1)—Cx—2)=—2x+1;當一1—x<2時，原式二x+1—(x—2)=3；當x>2時，原式二x+1+x—2=2x—1。—2x+1(x<—1)綜上討論，原式二<3(—1—x<2)x—1(x>2)通過以上閱讀，請你解決以下問題：(1)分別求出|x+2|和|x一4的零點值；(2)化簡代數式|x+2|+|x一4|14、⑴當x取何值時，|x—3有最小值？這個最小值是多少？(2)當x取何值時，5—|x+2|有最大值？這個最大值是多少？(3)求|x一4+|x一5|的最小值。(4)求|x—7+|x—8+|x—9的最小值。15、某公共汽車運營線路AB段上有A、D、C、B四個汽車站，如圖，現在要在AB段上修建一個加油站M，為了使加油站選址合理，要求A，B，C，D四個汽車站到加油站M的路程總和最小，試分析加油站M在何處選址最好？laLQuADCB16、先閱讀下面的材料，然后解答問題：在一條直線上有依次排列的n(n>1)臺機床在工作，我們要設置一個零件供應站P,使這n臺機床到供應站P的距離總和最小，要解決這個問題，先“退”到比較簡單的情形：DrX5l2fd。d1NTq8oA1_A?(P).A3—甲~F?乙甲乙②丙如圖①，如果直線上有2臺機床(甲、乙)時,很明顯P設在A和A之間的任何地方都行,12

因為甲和乙分別到P的距離之和等于A到A的距離.12如圖②，如果直線上有3臺機床（甲、乙、丙）時，不難判斷，P設在中間一臺機床A處最合2適，因為如果P放在A處，甲和丙分別到P的距離之和恰好為A到A的距離；而如果P213放在別處，例如D處，那么甲和丙分別到P的距離之和仍是A到A的距離，可是乙還得走13從A到D近段距離，這是多出來的，因此P放在A處是最佳選擇。不難知道，如果直線上22有4臺機床，P應設在第2臺與第3臺之間的任何地方；有5臺機床，P應設在第3臺位置。問題（1）:有n機床時，P應設在何處？問題（2）根據問題⑴的結論，求|x—1|+|x—2+|x—3*卜|x—617|的最小值。有理數的運算一、閱讀與思考在小學里我們已學會根據四則運算法則對整數和分數進行計算，當引進負數概念后，數集擴大到了有理數范圍，我們又學習了有理數的計算，有理數的計算與算術數的計算有很大的不同：首先，有理數計算每一步要確定符號；其次，代數與算術不同的是“字母代數”，所以有理數的計算很多是字母運算.也就是通常說的符號演算。QbcM7Jfl7DhRKrkl4KrhCBuB數學競賽中的計算通常與推理相結合，這不但要求我們能正確地算出結果，而且要善于觀察問題的結構特點，將推理與計算相結合，靈活選用算法和技巧，提高計算的速成度，有理數的計算常用的技巧與方法有：1、利用運算律；2、以符代數；3、裂項相消；4、分解相約；5、巧用公式等。二、知識點反饋利用運算律：加法運算律I加法交換律a+b=b+a乘法運算律［加法結合律a+（b+c）=（a+b）+c乘法交換律a-b=b-a＜乘法結合律a-(b-c)=(-b)-c乘法分配律a(b+c)=ab+ac23r2)r2)—2.75+T—13丿13丿例1：計算：22解：原式二4.6+4+—2.75—7—=4.6—2.75—3=4.6—5.75=—1.15拓廣訓練：2752)、計算(1)—0.6—0.08+——0.92+2+2)511113159+—411r11r713+——6+—14丿111丿4420132013初一數學培優匯總（精華）20132013初一數學培優匯總（精華）例2：計算：f-924]I25丿x50f1)f1、10——x50二—10x50一——x50125丿125丿解：原式=-(500-2)=-498拓廣訓練：2、裂項相消⑷彳2彳)-2、裂項相消⑷彳2彳)-n(n+1)(i+2)nn+f1111)f2345丿11n(n+1Tn-11、計算：(2x3x4x5)x1nzr；(3)⑴鑒二-+1；⑵ababm11

n(n+m)nn+m例3、計算丄+丄+丄+???+1x22x33x42009x2010仁1)(11)(11)(1+——+——+???+—-12丿123丿134丿(200911111111—-+一—-+--+???+—22334200920101—12009亠2010'20101111+—++???1x33x55x72007x2009拓廣訓練：1、計算：解：原式=1]2010丿3、以符代數(71「37)(1217「38)17——+27——11—13—+8———5—1271739丿1172739丿例4：計算：2437766,11二10173939137+27——11—=1617蘭+2624—1076二17蘭+2624—1076二2A39271739解：分析：17=16,27=2(2727171217387令A=13+8—5，^U17-172739271、計(111)(111)—+—+???+xf1+—+—+??1232006丿232005丿原式二2A一A=2拓廣訓練：(111)(111)—x—+—+???k232006丿k232005丿算4、分解相約例5：解：原式(1x2例5：解：原式(1x2x4+2x(Lx2x4)Fn(1x2x4)]2原式、1x3x9+2x(1x3x9)FFn(1x3x9)丿1x2x4x1x3x9x(1+2FFn)'1x2x4+2x4x8HFn-2n-4n丫dx3x9+2x6x18FFn-3n-9n丿=(1x2x4￥_64=、1x3x9丿_729三、培優訓練b20091、a是最大的負整數，b是絕對值最小的有理數，則a2007+二200811112、計算：(1)++FF二：x55x77x91997x1999(2)C0.25)4x(—8)3-2+C2)4十(—6)V—丄'二I32丿3、若a與一b互為相反數,1898a3、若a與一b互為相反數,1898a2+99b21997ab4、計算：(13\(135)一+一+一+—+—+???+144丿1666丿則1+21397)++???F989898丿5、計算：2—22—23—24—25—26—27—28—29+2105、199797199898—碩,—98，—麗廠99這四個數由小到大的排列順序是.7、A．2007“五羊杯”)3140B．6288、2005“希望杯”）A．11是.7、A．2007“五羊杯”)3140B．6288、2005“希望杯”）A．11B.C.44計算：3.14x31.4F628x0.686F68.6x6.86二()C．1000D．1200—2+3—4+???—14+15“等于()—2+4—6+8——?+28—30IID.29、2006“五羊杯”）計算：A．20510B.C.239_25x6十4+2.5x3十2二()2x9十8+1x4.5十440D.9似（2009鄂州中考）為了求1+22+23+A+22008的值，可令S「+2+2+a+2E則心22+23+24+A+22009，因此2S-S=22009—1，所以1+22+23+A+22008

220041仿照以上推理計算出1+52+53+A220041仿照以上推理計算出1+52+53+A+52009的值是（52009a,a,a，…a都是正數，如果M=(a+a++a)x(a+a++a123200412200323A、52009—1B、52010—1C、D、2004N=Ca+a+???+a)x(a+a+???+a)，那么M,N的大小關系是(122004232003A.M>Nb.M=Nc.M<ND.不確定b12、設三個互不相等的有理數，既可表示為1,a+b,a的形式，又可表示為0,—,b的形式,a求a1999+b2000的值（“希望杯”邀請賽試題）13、計算（1）5.7x0.00036—（0.19x0.006—5700x0.000000164）（2009年第二十屆“五羊杯”競賽題）2)(—0.252)(—0.25)4x(—8》+〔-3112—土x(—6.5)+(-2)4丄6)亠r1113J13<32丿北京市“迎春杯”競賽題）14、已知m,n互為相反數，a,b互為負倒數，x的絕對值等于3，的值求x3—(1+m+n+ab)x2+(m+nL2001+(—ab)2003的值15、已知|ab—2+a—2=0，求1111~ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+"""+(a+2006)(?+2006)的值(2006，香港競賽)16、（2007，無錫中考）圖1是由若干個小圓圈堆成的一個形如正三角形的圖案，最上面一層有一個圓圈，以下各層均比上一層多一個圓圈，一共堆了n層.將圖1倒置后與原圖1拼成圖2的形狀，這樣我們可以算出圖1中所有圓圈的個數為n(n+1)__2上往下，在每個圓圈中都按圖4的方式填上一串連續的整數—上往下，在每個圓圈中都按圖4的方式填上一串連續的整數—23，—22，—21，L，求圖4中所有圓圈中各數的絕對值之和.第一講和絕對值有關的問題一、知識結構框圖：二、絕對值的意義:有理魏（1）幾何意義（2）代數意義的絕對值，記作二、絕對值的意義:有理魏（1）幾何意義（2）代數意義的絕對值，記作|a|。■數軸;②負數的絕對值是它的相反數;③零的絕對值是零當a為正也可以寫成:Ia1=<0（當a為0）也可以寫成:Ia1=<—a?a為負數）說明：（l）|a|M0即|a|是一個非負數；（ll）|a|概念中蘊含分類討論思想。三、典型例題例仁（數形結合思想）已知a、b、c在數軸上位置如圖:則代數式A.-3a|a|+|a+b|+|c-a|2c—aC.2a—2b-|b-c|的值等于(A)T9O6pB?D.bhJi0解：|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析:解絕對值的問題時，往往需要脫去絕對值符號，化成一般的有理數計算。脫去絕對值的符號時，必須先確定絕對值符號內各個數的正負性，再根據絕對值的代數意義脫去絕對值符號。這道例題運用了數形結合的數學思想，由a、b、c在數軸上的對應位置判斷絕對值符號內數的符號，從而去掉絕對值符號，完成化簡。例2.已知：x<0<z，xy>0，且|y|>|z|>|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x一y的值（C）A.是正數B.是負數C.是零D.不能確定符號解：由題意，x、y、z在數軸上的位置如圖所示：所以|x+z|+|y+z|-|x-y|=x+z-（y+z）-（x-y）1Qt4=020132013初一數學培優匯總(精華)20132013初一數學培優匯總(精華)分析：數與代數這一領域中數形結合的重要載體是數軸。這道例題中三個看似復雜的不等關系借助數軸直觀、輕松的找到了x、y、z三個數的大小關系，為我們順利化簡鋪平了道路。雖然例題中沒有給出數軸，但我們應該有數形結合解決問題的意識。例3．(分類討論的思想)已知甲數的絕對值是乙數絕對值的3倍，且在數軸上表示這兩數的點位于原點的兩側，兩點之間的距離為8，求這兩個數；若數軸上表示這兩數的點位于原點同側呢？分析：從題目中尋找關鍵的解題信息，“數軸上表示這兩數的點位于原點的兩側”意味著甲乙兩數符號相反，即一正一負。那么究竟誰是正數誰是負數，我們應該用分類討論的數學思想解決這一問題。解：設甲數為x,乙數為y由題意得：|x|=3y|，數軸上表示這兩數的點位于原點兩側：若X在原點左側，y在原點右側，即x<0，y>0，則4y=8，所以y=2,x=-6若x在原點右側，y在原點左側，即x>0，y<0，則-4y=8，所以y=-2,x=6數軸上表示這兩數的點位于原點同側：若x、y在原點左側，即x<0，y<0，則-2y=8，所以y二-4,x=T2若x、y在原點右側，即x>0，y>0，則2y=8，所以y=4,x=12例4.(整體的思想)方程|x—2008=2008-x的解的個數是(D)A.1個B.2個C.3個D.無窮多個分析：這道題我們用整體的思想解決。將x-2008看成一個整體，問題即轉化為求方程|a|=—a的解，利用絕對值的代數意義我們不難得到，負數和零的絕對值等于它的相反數，所以零和任意負數都是方程的解，即本題的答案為D。例5.(非負性)已知|ab—21與|a—l|互為相互數，試求下式的值.1|1|1』|1~ab(a+l)(b+1)(a+2)(b+2)(a+2007)(b+2007)分析：利用絕對值的非負性，我們可以得到：|ab—2|=|a—l|=0，解得：a=1,b=2是1+1+1』|1于是~ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)++(a+2007)(b+2007)11=2211=22x313X4+K+12008x2009=-+-—+—-+K+——2334200820091200920082009在上述分數連加求和的過程中，我們采用了裂項的方法，巧妙得出了最終的結果.同學們可12008x2010以再深入思考，如果題目變成求值，你有辦法求解嗎？有興趣的同學可以在課下繼續探究。例6.(距離問題)觀察下列每對數在數軸上的對應點間的距離4與-2,3與5,-2與-6,—4與3.并回答下列各題：你能發現所得距離與這兩個數的差的絕對值有什么關系嗎？答：相等.56s6be4]b6SDML3]pUGDSzF]若數軸上的點A表示的數為x,點B表示的數為一1,則A與B兩點間的距離可以表示為_x—(_1)二x+1分析：點B表示的數為一1,所以我們可以在數軸上找到點B所在的位置。那么點A呢？因為x可以表示任意有理數，所以點A可以位于數軸上的任意位置。那么，如何求出A與B兩點間的距離呢？結合數軸，我們發現應分以下三種情況進行討論。II-Jr■LI|||：當x<-1時，距離為—X—1,--當—1<x<0一時，距離為x+1,當x>0,距離為x+1綜上，我們得到A與B兩點間的距離可以表示為IX+1|結合數軸求得|x—2|+|x+3的最小值為,取得最小值時x的取值范圍為—3WxW2.分析：IX—2|即X與2的差的絕對值，它可以表示數軸上X與2之間的距離。|x+3|=|x—(—3)|即x與-3的差的絕對值，它也可以表示數軸上x與-3之間的距離。如圖，X在數軸上的位置有三種可能：':圖1一'*'圖2：'二Z^dMCK。圖2符合題意(4)滿足|x+1|+|x+4>3的x的取值范圍為x<-4或x>-1分析：同理IX+11表示數軸上X與-1之間的距離，IX+4I表示數軸上X與-4之間的距離。本題即求，當X是什么數時X與-1之間的距離加上X與-4之間的距離會大于3。借助數軸，我們可以得到正確答案：x<-4或x>-1。說明：借助數軸可以使有關絕對值的問題轉化為數軸上有關距離的問題，反之，有關數軸上的距離問題也可以轉化為絕對值問題。這種相互轉化在解決某些問題時可以帶來方便。事實上，|A—B\表示的幾何意義就是在數軸上表示數A與數B的點之間的距離。這是一個很有用的結論，我們正是利用這一結論并結合數軸的知識解決了(3)、(4)這兩道難題。20132013初一數學培優匯總（精華）20132013初一數學培優匯總（精華）四、小結1．理解絕對值的代數意義和幾何意義以及絕對值的非負性2．體會數形結合、分類討論等重要的數學思想在解題中的應用第二講：代數式的化簡求值問題一、知識鏈接1．“代數式”是用運算符號把數字或表示數字的字母連結而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等內容，是初中階段同學們應該重點掌握的內容之一°5QNrtAE]gOdNdSH]tKWZAZE。2．用具體的數值代替代數式中的字母所得的數值，叫做這個代數式的值。注：一般來說，代數式的值隨著字母的取值的變化而變化3．求代數式的值可以讓我們從中體會簡單的數學建模的好處，為以后學習方程、函數等知識打下基礎。二、典型例題例1.若多項式2mx2一x2+5x+8—Cx2一3y+5x）的值與x無關,求m2一Lm2一（5m一4）+m]的值.分析：多項式的值與X無關，即含X的項系數均為零因為2mx2一x2+5x+8一Cx2一3y+5x）=（2m一8）x2+3y+8所以m=4將m=4代人,所以m=4將m=4代人,m2一2m2一+4m一4=一16+16一4=一4利用“整體思想”求代數式的值例2.x=-2時，代數式ax5+bx3+cx-6的值為8,求當x=2時，代數式ax5+bx3+cx-6的值。分析：因為ax5+bx3+cx一6=8當x=—2時，—25a—23b—2c—6=8得到25a+23b+2c+6=—8，所以25a+23b+2c=—8—6=—14當x=2時，ax5+bx3+cx—6二25a+23b+2c—6—（—14）—6——20例3.當代數式x2+3x+5的值為7時，求代數式3x2+9x—2的值.分析：觀察兩個代數式的系數由x2+3x+5—7得x2+3x—2，利用方程同解原理，得3x2+9x—6整體代人，3x2+9x—2—4代數式的求值問題是中考中的熱點問題，它的運算技巧、解決問題的方法需要我們靈活掌握整體代人的方法就是其中之一。例4.已知a2+a—1—0，求a3+2a2+2007的值.分析：解法一（整體代人）：由a2+a—1—0得a3+a2—a—0所以：a3+2a2+2007由a2+=a<—J-—舛2得72=1—a,所以：如級0?2007解法三（降次、消元）:2a±1（消元、、減項）—（1—a）a+2a2+2007a3寸2—淤?00?2+2007—a3士a軸昭切007—a（a±?]-h^a200a2+2007—a-—20020071-20072008例5.（實際應用）A和B兩家公司都準備向社會招聘人才，兩家公司招聘條件基本相同，只有工資待遇有如下差異：A公司，年薪一萬元，每年加工齡工資200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工齡工資50元。從收入的角度考慮，選擇哪家公司有利？分析：分別列出第一年、第二年、第n年的實際收入（元）第一年第二年第n年B公司：A公司10000；B公司5000+5050=10050A公司10200；B公司5100+5150=10250A公司10000+200(n-1)；[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]=10050+200（n-1）由上可以看出B公司的年收入永遠比A公司多50元，如不細心考察很可能選錯。例6.三個數a、b、c的積為負數，和為正數，且x—丄+￡+￡+耳+網+貿，abcabacbc20132013初一數學培優匯總（精華）20132013初一數學培優匯總（精華）20132013初一數學培優匯總(精華)則ax3+bx2+cx+1的值是解：因為abc<0,所以a、b、c中只有一個是負數，或三個都是負數又因為a+b+c>0，所以a、b、c中只有一個是負數。不妨設a<0，b>0，c>0則ab<0，ac<0，bc>0所以x=-1+1+1-1-1+1=0將x=0代入要求的代數式，得到結果為1。同理，當b<0，c<0時，x=0。另：觀察代數式ab++

另：觀察代數式ab++

lbc+剛+網+網abacbe交換a、b、c的位置，我們發現代第一列第二列第三列第一列第二列第三列第四列第五列第一行1357第二行1513119第三行17192123第四行31292725LLL根據上面規律，2007應在A.125行,3列B.125行,2列C.251行,2列D.251行,5列三、四列的數的排列規律，發現第三列數規律容易尋找3，11，19，27，L規律為8n-5數式不改變，這樣的代數式成為輪換式，我們不用對a、b、c再討論。有興趣的同學可以在課下查閱資料，看看輪換式有哪些重要的性質。規律探索問題：例7.如圖，平面內有公共端點的六條射線0A,OB，OC，OD，OE，OF，從射線0A開始按逆時針方向依次在射線上寫出數字1,2，3，4，5，6，7，???.UqTOC\o"1-5"\h\z“17”在射線上,“2008”在射線上.若n為正整數，則射線OA上數字的排列規律可以用含n的代數式表示為.分析：OA上排列的數為：1,7，13，19，…觀察得出，這列數的后一項總比前一項多6，歸納得到，這列數可以表示為6n-5因為17=3X6-1，所以17在射線OE上。所以2008在射線所以2008在射線0D上例8.將正奇數按下表排成5列:分析：觀察第二、第三列數因為2007=250X8+7=251X8-1所以，2007應該出現在第一列或第五列又因為第251行的排列規律是奇數行，數是從第二列開始從小到大排列，所以2007應該在第251行第5列例9.(2006年嘉興市)定義一種對正整數n的“F”運算：①當n為奇數時，結果為3n+5;

nnF②第三次F①②當n為偶數時，結果為2k（其中k是使2k為奇數的正整數），并且運算重復進行.例如，取n=26，則：F②第三次F①F②：44第一次第n分析：問題的難點和解題關鍵是真正理解乍”的第二種運算，即當n為偶數時，結果為2k其中k是使2k為奇數的正整數），要使所得的商為奇數，這個運算才能結束。449奇數，經過“F①”變為1352；1352是偶數，經過“F②”變為169，169是奇數，經過“F①”變為512，512是偶數，經過“F②”變為1，1是奇數，經過“F①”變為8，8是偶數，經過“F②”變為1，我們發現之后的規律了，經過多次運算，它的結果將出現1、8的交替循環。再看運算的次數是449，奇數次。因為第四次運算后都是奇數次運算得到8，偶數次運算得到1，所以，結果是8。三、小結用字母代數實現了我們對數認識的又一次飛躍。希望同學們能體會用字母代替數后思維的擴展，體會一些簡單的數學模型。體會由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法ZQDEJ5Q。第三講：與一元一次方程有關的問題一、知識回顧一元一次方程是我們認識的第一種方程，使我們學會用代數解法解決一些用算術解法不

容易解決的問題。一元一次方程是初中代數的重要內容，它既是對前面所學知識——有理數

部分的鞏固和深化，又為以后的一元二次方程、不等式、函數等內容打下堅實的基礎BDDggHY。典型例題：二、典型例題例1.若關于x的一元一次方程x-3k+=1的解是例1.若關于x的一元一次方程x-3k+=1的解是x=-1，則k的值是（A.B.1C.1311D.0分析：本題考查基本概念“方程的解”20132013初一數學培優匯總(精華)20132013初一數學培優匯總（精華）因為x=-1是關于因為x=-1是關于x的一元一次方程x-3k=1的解,所以2%（-1）-k+土蘭=1，解得k二-13211例2．3a-x若方程3x-5=4和方程1—3—=0的解相同則a的值為多少？分析：題中出現了兩個方程，第一個方程中只有一個未知數x,所以可以解這個方程求得x的值；第二個方程中有a例2．3a-x若方程3x-5=4和方程1—3—=0的解相同則a的值為多少？分析：題中出現了兩個方程，第一個方程中只有一個未知數x,所以可以解這個方程求得x的值；第二個方程中有a與x兩個未知數，所以在沒有其他條件的情況下，根本沒有辦法求得a與x的值，因此必須分析清楚題中的條件。因為兩個方程的解相同，所以可以把第一個方程中解得x代入第二個方程，第二個方程也就轉化為一元一次方程了。CxaCFQA^pQFIBil。解：3x—5=4，3x=9，x=33a-x因為3x—5=4與方程1—3=0的解相同3a-x所以把x=3代人1-3=0中3a-3即1—3=0得3—3a+3=0，-3a=-6,例3.（方程與代數式聯系）a、b、c、d為實數，現規定一種新的運算a=212的值為;(2)當24-12(1-x)5⑴則=18時，x二分析：（1）即a=1.因為ab=ad-be，所以12ed-12b=2，c=-1，d=2，二2—(—2)=4(2)由2(1一x)=18得：10—4(1—x)=18=ad一be-解得x=3所以解得x=3例4.（方程的思想）如圖，一個瓶身為圓柱體的玻璃瓶內裝有高a厘米的墨水，將瓶蓋蓋好后倒置，墨水水面高為h厘米，則瓶內的墨水的體積約占玻璃瓶容積的（）Da+h分析：左右兩個圖中墨水的體積應該相等，所以這是個等積變換問題，我們可以用方程的思想解決問題解：設墨水瓶的底面積為S，則左圖中墨水的體積可以表示為Sa設墨水瓶的容積為V，則右圖中墨水的體積可以表示為V-Sb于是，Sa=V—Sb，V=S（a+b）SaSaa由題意，瓶內的墨水的體積約占玻璃瓶容積的比為==一VS（a+b）a+b例5.小杰到食堂買飯，看到A、B兩窗口前面排隊的人一樣多，就站在A窗口隊伍的里

面，過了2分鐘，他發現A窗口每分鐘有4人買了飯離開隊伍，B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊伍，且B窗口隊伍后面每分鐘增加5人。此時，若小李迅速從A窗口隊伍轉移到B窗口后面重新排隊，將比繼續在A窗口排隊提前30秒買到飯，求開始時，有多少人排隊。分析：“B窗口每分鐘有6人買了飯離開隊伍，且B窗口隊伍后面每分鐘增加5人”相當于B窗口前的隊伍每分鐘減少1人，題中的等量關系為：小李在A窗口排隊所需時間二轉移到B窗口排隊所需時間+—解：設開始時，每隊有X人在排隊，2分鐘后，B窗口排隊的人數為：x-6X2+5X2=x-2,亠兀小x-21根據題意，可列方程：一=2++—6—去分母得3x=24+2(x-2)+6去括號得3x=24+2x-4+6移項得3x-2x=26解得x=26所以，開始時，有26人排隊。課外知識拓展：一、含字母系數方程的解法：思考：ax二b是什么方程？在一元一次方程的標準形式、最簡形式中都要求a壬0，所以ax=b不是一元一次方程我們把它稱為含字母系數的方程。例6.解方程ax二bb解：(分類討論)當a壬0時，x=a當a=0，b=0時，即0x=0，方程有任意解當a=0，b壬0時，即0x=b，方程無解即方程ax二b的解有三種情況。例7.問當a、b滿足什么條件時，方程2x+5-a=1-bx:(1)有唯一解；(2)有無數解；(3)無解。分析：先解關于x的方程，把x用a、b表示，最后再根據系數情況進行討論。解：將原方程移項得2x+bx=1+a-5，合并同類項得：(2+b)x=a-4當2+b0當2+b0，即b-2時,方程有唯一解x=當2+b=0且a-4=0時，即b=-2且a=4時，方程有無數個解,當2+b=0且a-4壬0時，即b=-2且a壬4時，方程無解，x-11-xa+b例8.解方程-=abab分析：根據題意，ab壬0，所以方程兩邊可以同乘ab去分母，得b(x-1)-a(1-x)=a+b去括號，得bx-b-a+ax=a+b移項，并項得(a+b)x=2a+2b

2a+2b當a+b壬0時，x==2a+b當a+b=0時，方程有任意解說明：本題中沒有出現方程ax=b中的系數a=0,b壬0的情況，所以解的情況只有兩種。二、含絕對值的方程解法例9.解下列方程|5x-2\=3解法1：解法1：5x-2=3，5x=5，x=125x-2=3，5x=5，x=1當5x-2>0時，即x>—,綜上，方程的解為x=1綜上，方程的解為x=1或1x=——5當5x-2=0時，2即x二—，得到矛盾等式0二3，所以此時方程無解當5x-2<0時，2即x<—，15x-2=-3，x=——121因為x=1符合大前提x>—所以此時方程的解是X=1因為X二——符合大前提X<—，所以此時方程的解是X二——注：求出X的值后應注意檢驗X是否符合條件解法2：（整體思想）聯想：|a|=3時，a二±3類比：|5X—2|=3，則5x-2=3或5x-2=-3解兩個一元一次方程，方程的解為x=1解兩個一元一次方程，方程的解為x=1或1x=——523x=2,x23x=2,x=3因為x=3不符合大前提X>1所以此時方程無解例10.解方程解：去分母2|x-l|-5=3移項2|x-1|=8|x-1|=4所以x-1=4或x-1=-4解得x=5或x=-3例11.解方程x—1=—2x+1分析：此題適合用解法2當x-1>0時，即x>1，x-1=-2x+1當X-1=0時，即x=1，0=-2+1，0二-1，此時方程無解20132013初一數學培優匯總（精華）20132013初一數學培優匯總(精華)當x-1<0時，即x<1,1-x=-2x+1,x=0因為x=0符合大前提x<1,所以此時方程的解為x=0綜上，方程的解為x=0三、小結1、體會方程思想在實際中的應用2、體會轉化的方法，提升數學能力第四講：圖形的初步認識一、相關知識鏈接：1．認識立體圖形和平面圖形我們常見的立體圖形有長方體、正方體、球、圓柱、圓錐，此外，棱柱，棱錐也是常見的幾何體。我們常見的平面圖形有正方形、長方形、三角形、圓2．立體圖形和平面圖形關系立體圖形問題常常轉化為平面圖形來研究，常常會采用下面的作法（1）畫出立體圖形的三視圖立體圖形的的三視圖是指正視圖（從正面看）、左視圖（從左面看）、俯視圖（從上面看）得到的三個平面圖形。（2）立體圖形的平面展開圖常見立體圖形的平面展開圖圓柱、圓錐、三棱柱、三棱錐、正方體（共十一種）二、典型問題：（一）正方體的側面展開圖（共十一種）分類記憶：第一類，中間四連方，兩側各一個，共六種。

（一）正方體的側面展開圖（共十一種）分類記憶：第一類，中間四連方，兩側各一個，共六種。(A)3種(B)4種(C)5種(D)6種2．下圖中,是正方體的展開圖是(B)工1A.①②③D.(A)3種(B)4種(C)5種(D)6種2．下圖中,是正方體的展開圖是(B)工1A.①②③D.①②④B.②③④④較高要求下圖可以沿線折疊成一個帶數字的正方體，每三個帶數字的面交于正方體的一個頂點，則相交于一個頂點的三個面上的數字之和最小是(A)A.7B.8C.9D.10一個正方體的展開圖如右圖所示，每一個面上都寫有一個自然數并且相對兩個面所寫的兩個數之和相等，那么a+b-2c二(B)A.40B.38C.36D.34分析：由題意8+a=b+4=c+25所以b=4+ac=a-17所以a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=386．將如圖所示的正方體沿某些棱展開后，能得到的圖形是(C)9.A.C.10.下面是四個立體圖形的展開圖，則相應的立體圖形依次是(圓柱圓錐如圖是一個長方體的表面展開圖，每個面上都標注了字母，請根據要求回答問題：

（1）如果A面在長方體的底部，那么哪一個面會在上面？（2）若F面在前面，B面在左面，則哪一個面會在上面？（字母朝外）（3）若C面在右面，D面在后面，則哪一個面會在上面？（字母朝外）答案：（1）F；（2）C，A（三）立體圖形的三視圖如圖，從正面看可看到△的是（C）14．如圖的幾何體，左視圖是（)BAB幾個相同的小正方小正方體的個數是（B.4D.6a的幾何體的三種B)15.如圖幾何A.3C.514．如圖的幾何體，左視圖是（)BAB幾個相同的小正方小正方體的個數是（B.4D.6a的幾何體的三種B)15.如圖幾何A.3C.5（四）新穎題型16.正方體每一面不同的顏色對應著不同的數字，將四個這樣的正方體如圖拼成一個水平放置的長方體，那么長方體的下底面數字和為.主視圖甕則搭成這個俯視圖左視圖面—黃，右面—，后面—紫，下面分析所以，從右到左，，底面依次為：白、綠、黃、紫紅口丨黃：左面—綠數字和為：4+6+2+5=1717.觀察下列由棱長為1的小正方體擺成的圖形，尋找規律，如圖⑴所示共有1個小立方體，其中1個看得見，0個看不見；如圖⑵所示：共有8個小立方體，其中7個看得見，1個看不見；如圖⑶所示：共有27個小立方體，其中19個看得見