《偏微分方程1【知識點提示

§2二階方程的 【重、難點提示 【.目的為。初步了解如何辨別橢圓型偏微分方程，雙曲型偏微分方程和拋物型偏微分方程。。2auxx2buxycuyyduxeuyguf

其中abcdeg 和f都是xy 的已知函數,且在xoy平面上的某區域內具有二階連續偏導數.假設在內的每一點處,abc都不同時為零.換句話說,方程(2.1)的特征概念僅與它的主部有關．3在討論二階偏微分方程的分類過程中,常包含有化方程為標準形式的問題,這種通過變換使方程得到簡化是研究偏微分方程常用 ,也就是說在我們研究一個方程的求解問題時,先運用自變量變換或函數變換將方程的形式盡量化簡,使其具有典型性.P(x0y0)(2.1)dyb dyb dx dx

其中b ac通常稱為方程(2.1)的判別式，作自變量變4(x(x A22BC2

B2AC之間有如下關系J2J表示變換(2.3)的Jacobi

5 J uuux x xuuu

2x2

2

6 2u u u

y

2y

2

y

y2y2 A22BC27 A()a22bc2 通過簡單的計算，我們知道(2.5)成立注1關系式(2.5)表明在可逆自變量變換(2.3)J8注2在可逆自變量變換(2.3)(2.1)仍化為線性二階偏微分方程(2.4).事實上,由2

J3 知 C()不同時為零9定義

設R2是一個區域,(x0y0若(x0y0)0,則稱方程(2.1)在點(x0y0)處為雙曲型偏 若在內的每一點處,方程(2.1)都是雙曲型的,則稱(2.1)若(x0y0)0,則稱方程(2.1)在點x0y0處為拋物型偏微分方程在內的每一點處,方程(2.1)拋物型的,則稱(2.1)在內為拋物型偏微分方程;若(x0y0)0,則稱方程(2.1)(x0y0)處為橢圓型偏微分方程,若在內的每一點處,方程(2.1)都是橢圓型的,則稱(2.1)注3根據連續性，由在一點大于零或小于零可推得在該點的某鄰域中也是如此.所以方程為雙曲型或橢圓型的性質總是在一個區域中成立的,即若方程(2.1)在點(x0y0)是雙曲型或橢圓型的，則它必在(x0y0的某鄰域內是雙曲型或橢圓型的.反之，在一點定義

若方程(2.1)在的另一個子區域上為橢圓型的，則稱方程(2.1)中為的其余點(不一定構成子區域)上為拋物型的，則稱方程(2.1)在區域中 雙曲型方程;若方程(2.1)在區域的一個子區域上橢圓型的，在的其余點(不一定構成子區域)上為拋物型的，則稱方程(2.1)在區域中為 由(2.5)我們知道,在可逆自變量變換(2.3)下,方程的類型保持不變,即可逆自變量變換(2.3)將雙曲型偏微分方程(拋物型偏微分方程,橢圓型偏微分方程）仍變為雙曲型偏微分方程(拋物型偏微分方程,橢圓型偏微分方程).因此,為了求解方程(2.1),我們常常需要找一個可逆的自變量變換,將方程(2.1)化成簡單形式, (2.1)auxx2buxycuyyduxeuyguf(x 其中abcde 都是常數,由于判別式b ac是常數(i)當0時,其特征線是兩族不同的實曲線(xy)y1x(xy)yxc 其中1 2 且c1 (xy)y1x(xy)yx

uDuEuGu

其中DEG都是常數.我們稱這一形式為雙曲型方程的第 xyuuDuE GuF(xy)xx y 其中D1E1G1都是常數.我們稱這一形式為雙曲型方程的第 a當0時,此時1 aa(xy)ybxcaa(xy)ybx(xy)y即可.這樣方程(2.6)就可化成uD2uE2uG2uF2() a中D2E2和G2都是常數.方程(2.10)稱為拋物型方程 當 時,這時沒有實的特征曲線,變換(2.7)1i2

i

b

a

a(2.7)a1() 1() 2ybx acacb x 應用變換(2.11)就可把方程(2.6)化成(見本節的習題5,u

uD3uE3uG3u

其中D3E3和G3都是常數.我們稱方程(2.12)為橢圓型方程 的問題,雖然我們只對二階線性常系數方程作了比較詳細的討論,但對變系數方程(2.1)同樣是成立的.這里要特別 的是,對變系數方程來說,它的類型與點的位置有關,即可能在區域的某一部分點為這種類型而在另例 uy yux

就是如此,其判別式 ,對于y0它是雙曲型的;對y0xi方程(2.13)化 情形1:當y0(2.13)dy dy dx dx 3x2y c13x2y

c2其中c1c2 33x2y33x2y 3u

1uu 0 情形2y0 x

2(y)21321u

u

3u 0例14uxx5uxyuyyuxuy2解:b2ac904

d 1d d d yxcyxc c1c2yyx u

1u

80 st u1u1u8

1u1u8

例2判斷下面方程的類型并將它化 uxxuxyuyyux解:b2ac