..高等數學〔下冊考試試卷〔一一、填空題〔每小題3分,共計24分1、=的定義域為D=。2、二重積分的符號為。3、由曲線及直線,所圍圖形的面積用二重積分表示為,其值為。4、設曲線L的參數方程表示為則弧長元素。5、設曲面∑為介于及間的部分的外側,則。6、微分方程的通解為。7、方程的通解為。8、級數的和為。二、選擇題〔每小題2分,共計16分1、二元函數在處可微的充分條件是〔〔A在處連續；〔B,在的某鄰域內存在；〔C當時,是無窮小；〔D。2、設其中具有二階連續導數,則等于〔〔A；〔B；<C>；<D>0。3、設：則三重積分等于〔〔A4；〔B；〔C；〔D。4、球面與柱面所圍成的立體體積V=〔〔A；〔B；〔C；〔D。5、設有界閉區域D由分段光滑曲線L所圍成,L取正向,函數在D上具有一階連續偏導數,則〔A；〔B；〔C；〔D。6、下列說法中錯誤的是〔方程是三階微分方程；方程是一階微分方程；方程是全微分方程；方程是伯努利方程。7、已知曲線經過原點,且在原點處的切線與直線平行,而滿足微分方程,則曲線的方程為〔〔A；〔B；〔C；〔D。8、設,則〔〔A收斂；〔B發散；〔C不一定；〔D絕對收斂。三、求解下列問題〔共計15分1、〔7分設均為連續可微函數。,求。2、〔8分設,求。四、求解下列問題〔共計15分。1、計算。〔7分2、計算,其中是由所圍成的空間閉區域〔8分。五、〔13分計算,其中L是面上的任一條無重點且分段光滑不經過原點的封閉曲線的逆時針方向。六、〔9分設對任意滿足方程,且存在,求。七、〔8分求級數的收斂區間。高等數學〔下冊考試試卷〔二一、填空題〔每小題3分,共計24分1、設,則。2、。3、設,交換積分次序后,。4、設為可微函數,且則。5、設L為取正向的圓周,則曲線積分。6、設,則。7、通解為的微分方程是。8、設,則它的Fourier展開式中的。二、選擇題〔每小題2分,共計16分。1、設函數,則在點〔0,0處〔〔A連續且偏導數存在；〔B連續但偏導數不存在；〔C不連續但偏導數存在；〔D不連續且偏導數不存在。2、設在平面有界區域D上具有二階連續偏導數,且滿足及,則〔〔A最大值點和最小值點必定都在D的內部；〔B最大值點和最小值點必定都在D的邊界上；〔C最大值點在D的內部,最小值點在D的邊界上；〔D最小值點在D的內部,最大值點在D的邊界上。3、設平面區域D：,若,則有〔〔A；〔B；〔C；〔D不能比較。4、設是由曲面及所圍成的空間區域,則=〔〔A；〔B；〔C；〔D。5、設在曲線弧L上有定義且連續,L的參數方程為,其中在上具有一階連續導數,且,則曲線積分〔<A>；<B>；<C>；<D>。6、設是取外側的單位球面,則曲面積分=〔<A>0；<B>；<C>；<D>。7、下列方程中,設是它的解,可以推知也是它的解的方程是〔<A>；<B>；<C>；<D>。8、設級數為一交錯級數,則〔<A>該級數必收斂；<B>該級數必發散；<C>該級數可能收斂也可能發散；<D>若,則必收斂。三、求解下列問題〔共計15分1、〔8分求函數在點A〔0,1,0沿A指向點B〔3,-2,2的方向的方向導數。2、〔7分求函數在由直線所圍成的閉區域D上的最大值和最小值。四、求解下列問題〔共計15分1、〔7分計算,其中是由及所圍成的立體域。2、〔8分設為連續函數,定義,其中,求。五、求解下列問題〔15分1、〔8分求,其中L是從A〔a,0經到O〔0,0的弧。2、〔7分計算,其中是的外側。六、〔15分設函數具有連續的二階導數,并使曲線積分與路徑無關,求函數。高等數學〔下冊考試試卷〔三一、填空題〔每小題3分,共計24分1、設,則。2、函數在點〔0,0處沿的方向導數=。3、設為曲面所圍成的立體,如果將三重積分化為先對再對最后對三次積分,則I=。4、設為連續函數,則,其中。5、,其中。6、設是一空間有界區域,其邊界曲面是由有限塊分片光滑的曲面所組成,如果函數,,在上具有一階連續偏導數,則三重積分與第二型曲面積分之間有關系式：,該關系式稱為公式。7、微分方程的特解可設為。8、若級數發散,則。二、選擇題〔每小題2分,共計16分1、設存在,則=〔〔A；〔B0；〔C2；〔D。2、設,結論正確的是〔〔A；〔B；〔C；〔D。3、若為關于的奇函數,積分域D關于軸對稱,對稱部分記為,在D上連續,則〔〔A0；〔B2；〔C4；<D>2。4、設：,則=〔〔A；〔B；〔C；〔D。5、設在面內有一分布著質量的曲線L,在點處的線密度為,則曲線弧Ｌ的重心的坐標為〔〔Ａ=；〔B=；〔C=；〔D=,其中M為曲線弧Ｌ的質量。６、設為柱面和在第一卦限所圍成部分的外側,則曲面積分＝〔〔A0；〔B；〔C；〔D。７、方程的特解可設為〔〔A,若；〔B,若；〔C,若；〔D,若。８、設,則它的Fourier展開式中的等于〔〔A；〔B0；〔C；〔D。三、〔１２分設為由方程確定的的函數,其中具有一階連續偏導數,求。四、〔８分在橢圓上求一點,使其到直線的距離最短。五、〔８分求圓柱面被錐面和平面割下部分的面積Ａ。六、〔１２分計算,其中為球面的部分的外側。七、〔10分設,求。八、〔10分將函數展開成的冪級數。高等數學〔下冊考試試卷〔四一、填空題〔每小題3分,共計24分1、由方程所確定的隱函數在點〔1,0,-1處的全微分。2、橢球面在點〔1,1,1處的切平面方程是。3、設D是由曲線所圍成,則二重積分。4、設是由所圍成的立體域,則三重積分=。5、設是曲面介于之間的部分,則曲面積分。6、。7、已知曲線上點M<0,4>處的切線垂直于直線,且滿足微分方程,則此曲線的方程是。8、設是周期T=的函數,則的Fourier系數為。二、選擇題〔每小題2分,共計16分1、函數的定義域是〔〔A；〔B；〔C；〔D。2、已知曲面在點P處的切平面平行于平面,則點P的坐標是〔〔A〔1,-1,2；〔B〔-1,1,2；〔C〔1,1,2；〔D〔-1,-1,2。3、若積分域D是由曲線及所圍成,則=〔〔A；〔B；〔C；〔D。4、設,則有〔〔A；〔B；〔C；〔D。5、設為由曲面及平面所圍成的立體的表面,則曲面積分=〔〔A；〔B；〔C；〔D0。６、設是球面表面外側,則曲面積分＝〔〔A；〔B；〔C；〔D。７、一曲線過點<e,1>,且在此曲線上任一點的法線斜率,則此曲線方程為〔〔A；〔B；〔C；〔D。８、冪級數的收斂區間為〔〔A〔-1,1；〔B；〔C〔-1,1；〔D[-1,1]。三、〔１０分已知函數,其中具有二階連續導數,求的值。四、〔１０分證明：曲面上任意點處的切平面與三坐標面所圍成立體的體積為一定值。五、〔１４分求拋物面的切平面,使得與該拋物面間并介于柱面內部的部分的體積為最小。六、〔１０分計算,其中Ｌ為由Ａ〔２,０至Ｂ〔－２,０的那一弧段。七、〔８分求解微分方程=0。八、〔８分求冪級數的和函數。高等數學〔下冊考試試卷〔五一、填空題〔每小題3分,共計24分1、設是由方程所確定的二元函數,則。２、曲線在點〔１,１,１處的切線方程是。３、設是由,則三重積分＝。４、設為連續函數,是常數且,將二次積分化為定積分為。５、曲線積分與積分路徑無關的充要條件為。６、設為,則。７、方程的通解為。８、設級數收斂,發散,則級數必是。二、選擇題〔每小題2分,共計16分１、設,在點〔０,０處,下列結論〔成立。〔Ａ有極限,且極限不為0；〔Ｂ不連續；〔Ｃ；〔Ｄ可微。２、設函數有,且,,則=〔〔Ａ；〔Ｂ；〔Ｃ；〔Ｄ。３、設Ｄ：,在D上連續,則在極坐標系中等于〔〔Ａ；〔Ｂ；〔Ｃ；〔Ｄ。４、設是由及所圍成,則三重積分〔Ａ；〔Ｂ；〔Ｃ；〔Ｄ。５、設是由所圍立體表面的外側,則曲面積分〔Ａ0；〔Ｂ1；〔Ｃ3；〔Ｄ2。６、以下四結論正確的是〔〔Ａ；〔Ｂ〔Ｃ；〔Ｄ以上三結論均錯誤。７、設具有一階連續導數,。并設曲線積分與積分路徑無關,則〔Ａ；〔Ｂ；〔Ｃ；〔Ｄ。８、級數的和等于〔〔Ａ2/3；〔Ｂ1/3；〔Ｃ1；〔Ｄ3/2。三、求解下列問題〔共計１５分１、〔８分設求。２、〔７分設,具有連續偏導數,求。四、求解下列問題〔共計１５分１、〔８分計算,其中。２、〔７分計算,其中。五、〔１５分確定常數,使得在右半平面上,與積分路徑無關,并求其一個原函數。六、〔８分將函數展開為的冪級數。七、〔７分求解方程。高等數學〔下冊考試試卷〔一參考答案一、1、當時,；當時,；2、負號；3、；4、；5、180；6、；7、；8、1；二、1、D；2、D；3、C；4、B；5、D；6、B；7、A；8、C；三、1、；；2、；；四、1、；2、；五、令則,；于是=1\*GB3①當L所圍成的區域D中不含O〔0,0時,在D內連續。所以由Green公式得：I=0；=2\*GB3②當L所圍成的區域D中含O〔0,0時,在D內除O〔0,0外都連續,此時作曲線為,逆時針方向,并假設為及所圍成區域,則六、由所給條件易得：又=即即又即七、令,考慮級數當即時,亦即時所給級數絕對收斂；當即或時,原級數發散；當即時,級數收斂；當即時,級數收斂；級數的半徑為R=1,收斂區間為[1,3]。高等數學〔下冊考試試卷〔二參考答案一、1、1；2、-1/6；3、；4、；5、；6、；7、；8、0；二、1、C；2、B；3、A；4、D；5、C；6、D；7、B；8、C；三、1、函數在點A〔1,0,1處可微,且；；而所以,故在A點沿方向導數為：++2、由得D內的駐點為且,又而當時,令得于是相應且在D上的最大值為,最小值為四、1、的聯立不等式組為所以2、在柱面坐標系中所以五、1、連接,由公式得：2、作輔助曲面,上側,則由Gauss公式得：+===六、由題意得：即特征方程,特征根對應齊次方程的通解為：又因為是特征根。故其特解可設為：代入方程并整理得：即故所求函數為：高等數學〔下冊考試試卷〔三參考答案一、1、；2、；3、；4、；6、,公式；7、8、。二、1、C；2、B；3、A；4、C；5、A；6、D；7、B；8、B三、由于,由上兩式消去,即得：四、設為橢圓上任一點,則該點到直線的距離為；令,于是由：得條件駐點：依題意,橢圓到直線一定有最短距離存在,其中即為所求。五、曲線在面上的投影為于是所割下部分在面上的投影域為：,由圖形的對稱性,所求面積為第一卦限部分的兩倍。六、將分為上半部分和下半部分,在面上的投影域都為：于是：；,=七、因為,即所以八、又高等數學〔下冊考試試卷〔四參考答案一、1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；二、1、C；2、C；3、A；4、D；5、A；6、B；7、A；8、C三、故四、設是曲面上的任意點,則,在該點處的法向量為：于是曲面在點處的切平面方程為：++=0即++=1因而該切平面與三坐標面所圍成的立體的體積為：這是一個定值,故命題得證。五、由于介于拋物面,柱面及平面之間的立體體積為定值,所以只要介于切平面,柱面及平面之間的立體體積為最大即可。設與切于點,則的法向量為,且,切平面方程為：即于是則由,得駐點〔1,0且由于實際問題有解,而駐點唯一,所以當切點為〔1,0,5時,題中所求體積為最小。此時的切平面為：六、聯接,并設由L及所圍成的區域為D,則七、令,則,于是原方程可化為：即,其通解為即故原方程通解為：八、易求得該冪級數的收斂區間為,令,則注意到