1、 本章介紹復變函數的積分概念，解析本章介紹復變函數的積分概念，解析函數積分的主要性質函數積分的主要性質. 重點是重點是Cauchy積分積分定理、定理、Cauchy積分公式、積分公式、Cauchy(高階高階)導數公式導數公式.3.1 復變函數的積分復變函數的積分1 積分的概念積分的概念2 積分存在條件及性質積分存在條件及性質3 積分的計算積分的計算3.1.1 積分的概念積分的概念1,knnzzzZ 定義定義3.1 設設 C是復平面上以是復平面上以z0為起點為起點, Z為終為終oxy0zZ1 nzkz1 kz2z1zC有向簡單連續曲線，有向簡單連續曲線， ( )f z是是C上的復變函數上的復變函數

2、. 在在C上依次取分點上依次取分點 把曲線把曲線C分割為分割為n個小段個小段. (如圖如圖) 011,kzzz oxy0zZ1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 在每個小弧段在每個小弧段 11,2,kkzzkn 上任取上任取一點一點 (1,2, ),nkn 和數：和數： 1(),nnkkkSfz 其中，其中， 1kkkzzz 1,2,.kn 令令 1max.kk nz 如果分點的個數無限增多，并且極限如果分點的個數無限增多，并且極限 存在存在, 則稱該極限值為函數則稱該極限值為函數 在曲線在曲線C上的積分上的積分, ( )f z001limlim()nnkkkSfz 并記作并記作 ( )d

3、 ,Cf zz 即即 01( )dlim().nkkCkf zzfz 如果如果C是閉曲線，經常記作是閉曲線，經常記作 ( )d .Cf zz 當當C是實軸上的區間是實軸上的區間 ,a b方向從方向從a到到b, 并且并且( )f z為實值函數，那么這個積分就是定積分為實值函數，那么這個積分就是定積分. 3.1.2 積分存在的條件及積分性質積分存在的條件及積分性質 nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111),(),(),(),()( Czzfd)( Cyvxudddd .Cv xu y i 定理定理3.1 設設C是分段光滑是分段光滑(或可求長或可求長)的有向的有向曲線，

4、曲線， ( )( , )( , )f zu x yiv x y 在在C上連續，則上連續，則 ( )dCf zz 存在，并且存在，并且 Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu從從形式上形式上可以看成可以看成 Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 定理定理3.2 設光滑曲線設光滑曲線 :( )( )( ) (),Czz tx tiy tt ( )z 是起點是起點, ()z 是終點，則是終點，則 ( )d ( ) ( )dCf zzf z t z tt ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) du x ty

5、 t x tv x ty ty tt ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d .iv x ty t x tu x ty ty tt ( ), ( ) ( ), ( )( )( ) du x ty tiv x ty tx tiy tt 復變函數的積分具有如下一些性質復變函數的積分具有如下一些性質.(1)( )d( )d ;CCf zzf zz ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf(4) 設設C1的終點是的終點是C2的起點的起點, C=C1+C2, 則則(k是復常數是復常數);(2) ( )d( )dCCkf zzkf zz 12( )d( )d( )d ;

6、CCCf zzf zzf zz11()()nnkkkkkkfzfz1()nkkkfs 1,nkkMsML 其中其中,ks 是是kz與與1kz 兩點之間弧段的長度兩點之間弧段的長度.根據積分定義，令根據積分定義，令 0, 即得性質即得性質(5). 估值不等式估值不等式事實上事實上,(5) 設曲線設曲線C的長度為的長度為L, 函數函數f (z)在在C上滿足上滿足( )d( ) d.CCf zzf zsML( ),f zM 則則例例3.1 設設 C是復平面上以是復平面上以z0為起點為起點, z為終為終點的分段光滑點的分段光滑(或可求長或可求長)曲線，則曲線，則 01d.Czzz 解解 根據積分的定義

7、根據積分的定義100111dlimlim()nnkkkCkkzzzz 000lim().zzzz 3.1.3 積分的計算積分的計算解解zxyor0z 積分路徑的參數方程為積分路徑的參數方程為),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri例例3.2 計算積分計算積分 101d()nCzzz (n是整數是整數), 其中其中C是圓周是圓周:0 (0)zzr r 的正向的正向. zxyor0z , 0 時時當當 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 時時當當 n Cnzzzd)(11020(cossin)d0.nininr

8、rzznzzz0d)(1 10所以所以 . 0, 0, 0,2nni重要結論：積分值與圓周的中心、半徑無關重要結論：積分值與圓周的中心、半徑無關.解解 (1) 積分路徑的參數方程為積分路徑的參數方程為( ) (01),z ttitt Re, d(1)d ,ztzit CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x d)1(d102 ttizzC120(1)d .it ti 例例3.3 計算積分計算積分 Re dCz z 與與 d ,Cz z 其中其中C為為 (1) 從原點到從原點到 1+i 的直線段；的直線段； (2) 拋物線拋物線 y=x2 上從原點到上從原點到 1+

9、i 的弧段；的弧段； (3) 從原點沿從原點沿x軸到軸到1, 再從再從1到到 1+i 的折線的折線. (2) 積分路徑的參數方程為積分路徑的參數方程為xyoi 11iy=x2xy ),10()(2 titttzRe,d(12 )d ,ztztit CzzdRe 10d)21(titt1230212;2323titi d Czz 102d)21)(tititt1320(2)3 d.ttitti xyoi 11iy=x2xy (3) 積分路徑由兩段直線段構成積分路徑由兩段直線段構成x軸上直線段的參數方程為軸上直線段的參數方程為( ) (01),z ttt1到到1+i直線段的參數方程為直線段的參數方

10、程為),10(1)( tittzRe,dd ,ztztRe1,dd ,zzi t CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i dd10 ttzzC d)1(10 tiit. i 都是從相同的起點到相同的終點都是從相同的起點到相同的終點, 沿著三條不沿著三條不注意注意1 從例從例3.3看到看到, 積分積分d ,Cz z Re( )dCzz 和和相同的路徑進行相同的路徑進行, 但是但是 積分值不同積分值不同, Re( )dCzz dCz z 積分值相同積分值相同. 是否可以討論積分與積分是否可以討論積分與積分路徑的關系路徑的關系?注意注意2 一般不能將函數一般不能將函數f (z)在以在以a為起

11、點為起點, 以以b為終點的曲線為終點的曲線C上的積分記成上的積分記成 因因為為( )d ,f zz 積分值可能與積分路徑有關積分值可能與積分路徑有關, 所以記所以記( )d .Cf zz 3.2 Cauchy積分定理積分定理1 Cauchy積分定理積分定理2 復合閉路定理復合閉路定理3 典型例題典型例題首先給出推廣的首先給出推廣的3.2.1 Cauchy積分定理積分定理在單連通區域在單連通區域D上連續上連續, 設設 ( , ), ( , )P x yQ x y在在D上存在上存在 , ,QPxy 并且并且 QPxy 在在D上連續上連續, 則對任何則對任何D內的可求長內的可求長Jordan曲線曲線

12、C, 都有都有 dd()d d ,CGQPP xQ yx yxy 其中其中G是是C圍成的區域，圍成的區域，C 取正向取正向. 定理定理3.3 (Cauchy積分定理積分定理) 設設f (z)是單連是單連DC說明說明: 該定理的主要部分是該定理的主要部分是Cauchy 于于1825 年建立的年建立的, 它是它是復變函數理論的基礎復變函數理論的基礎.通區域通區域 D上的解析函數，則對上的解析函數，則對D內的任何可求內的任何可求長長Jordan曲線曲線C, 都有都有 ( )d0.Cf zz 證明證明 根據根據( )ddddd .CCCf zzu xv yiv xu y Cyvxudd()d d Dv

13、ux yxy 0, Cyuxvddd d Duvx yxy 0. 0,uvyx0.uvxy由改進的由改進的Green公式公式因為因為f (z)解析解析, 所以所以u(x,y)和和v(x,y)在在D內可微內可微, 且且注意注意2 若曲線若曲線C是是區域區域 D 的邊界的邊界, 函函注意注意1 定理中的定理中的C 可以可以不是簡單曲線不是簡單曲線.DC函數函數 f (z)在在D內解析內解析, 在閉區域在閉區域 上連上連DDC ( )d0.Cf zz 續續, 則則 注意注意3 定理中定理中D是單連通區域的假設不可缺少是單連通區域的假設不可缺少. 例如函數例如函數1 ( ) f zz 在區域在區域13

14、:22Dz內內的曲線的曲線:1Cz 上積分上積分, 參看參看解解 因為函數因為函數11d0.23zzz 例例3.4 計算積分計算積分 z 11d .23zz 1( )23f zz 在在 上解析上解析, 所以根據所以根據Cauchy積分定理積分定理, 有有1z 解解211111.(1)2z zzzizi根據根據Cauchy積分定理得積分定理得 212d)1(1izzzz 21d1211211izzizizz例例3.5 計算積分計算積分 2121d .(1)z izz z 因為因為1z和和1zi 都在都在12zi上解析上解析, 所以所以 212121d121d121d1izizizzizzizzz

15、0 21d121izzizi 221. i 這里用到了這里用到了3.2.2 復合閉路定理復合閉路定理DC1C2C3C都在都在C 的內部的內部, 它們互不包含也互不相交它們互不包含也互不相交, 并且以并且以定理定理3.4 設設12,nC C CC是多連通區域是多連通區域D內內是是 D上的解析函數上的解析函數, 那么那么1( )d( )d ,knCCkf zzf zz 其中其中C和和Ck(1 k n)取正向取正向.若若 f (z)分段光滑分段光滑(或可求長或可求長) Jordan曲線曲線, 都都12,nC CC為邊界的閉區域含于為邊界的閉區域含于D內內. 12,nC C CCDCA1A2A3A4C

16、1C2EFGIH證明證明 不妨設不妨設n=2. 作兩條輔助線作兩條輔助線 (如圖如圖).1234,A AA A這樣由這樣由12344321EA A FA A GA A HA A IE作為邊界作為邊界G ,圍成單連通區域圍成單連通區域.( )d0.f zz 11 ,CEAA IIE1122334444332211 .EAA AA FFAA AA GGAA AA HHAA AA IIE 12332 ,CA FFAA HHA 244 .CA GGA f (z)在在G 所圍的區域內解析所圍的區域內解析, 由由 21. 0d)(CCCzzf, 0d)(d)(d)(21 CCCzzfzzfzzf.d)(d

17、)(d)(21 CCCzzfzzfzzf當當 n 為其它值時，可同樣證明為其它值時，可同樣證明. 在公共邊界在公共邊界(輔助線輔助線)上上, 積分兩次積分兩次, 方向方向相反相反, 積分值之和等于積分值之和等于0. 所以所以 3.2.3 典型例題典型例題解解 顯然函數顯然函數xyo 1 例例3.6 計算積分計算積分其中其中G為包含圓周為包含圓周221d ,zzzz 在內的任意分段光滑正向簡單閉曲線在內的任意分段光滑正向簡單閉曲線.1z 221( )zf zzz 在復平面有兩個奇點在復平面有兩個奇點0和和1,并且并且G 包含了這兩個奇點包含了這兩個奇點.xyo 1 1C2C zzzzd122 2

18、1d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 在在G內作兩個互不包含也互不相交的正向內作兩個互不包含也互不相交的正向圓周圓周C1和和C2, 使得使得C1只包含奇點只包含奇點0, C2 只包含只包含奇點奇點1.根據根據 , xyo121C2C解解 顯然顯然C1和和C2圍成一圍成一12ddd0.zzzCCeeezzzzzz 例例3.7 計算積分計算積分 d ,zezz 其中其中G 由正向圓周由正向圓周2z 和負向圓周和負向圓周1z 組成組成.個圓環域個圓環域. 函數函數( )zef zz 在此圓環域及其邊界上解析在此圓環域及其邊

19、界上解析, 并且圓環域的邊界并且圓環域的邊界構成復合閉路構成復合閉路, 所以根據所以根據 ,例例3.8 求積分求積分其中其中G 為含為含z0的的 101d ,nzzz 解解 因為因為z0在閉曲線在閉曲線G 的內部的內部, 0z 1 任意分段光滑的任意分段光滑的Jordan曲線曲線, n為整數為整數.故可取充分小的正數故可取充分小的正數r , 使得圓周使得圓周10: zzr含在含在G的內部的內部.可得可得再利用再利用根據根據 , 102,01 d()0,0.ninzzzn 故故這一結果很重要這一結果很重要. .1110011 dd()()nnzzzzzz 2, 0;0, 0.inn 與與 進行比

20、較進行比較. 0z 1 3.3 Cauchy積分公式積分公式 1 問題的提出問題的提出2 Cauchy積分公式積分公式3 高階導數公式高階導數公式4 典型例題典型例題3.3.1 問題的提出問題的提出定理知定理知, 當當r 充分小時充分小時, 這個積分值與這個積分值與r 的取值無關的取值無關, 設設f (z)在單連通區域在單連通區域D上解析上解析, z0是是D內的內的一個定點一個定點, 則則 在在z0 不解析不解析. 0( )f zzz Jordan曲線曲線, 當當r 0充分小時充分小時, 根據復合閉路根據復合閉路如果如果C是含是含z0在其內部區域的分段光滑的在其內部區域的分段光滑的000( )

21、( )dd .Cz zf zf zzzzzzz Czzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfC 所以這個積分值只與所以這個積分值只與 f (z) 在在 z0 附近的值有關附近的值有關. 因為因為f (z) 在在 z0 連續連續, 故故 上函數上函數 f (z)0zz 的值將隨著的值將隨著r 的減小而接近的減小而接近0().f z因此因此, 隨著隨著r 的減小的減小, 應該有應該有0( )dCf zzzz 接近于接近于00()d ,Cf zzzz 然而然而3.3.2 Cauchy積分公式積分公式Cauchy積分公式積分公式 Czzzzfizf.d)(21)( 00D 0zC定理定

22、理3.5 設設f (z)是單連通區域是單連通區域D上的解析函數上的解析函數, z0 是是D內的一個點內的一個點, C是任意一條含是任意一條含 z0 在內部區域在內部區域 的分段光滑的分段光滑(或可求長或可求長) Jordan曲線曲線, 則則 D 0zC取取R0充分小充分小, 使得使得R0, 存在存在 0, 使得使得0( )dCf zzzz 0( )df zzzz 0000()( )()ddf zf zf zzzzzzz 000( )()2()d .f zf zif zzzz 當當 時時,0zz 0( )().f zf z 0zzR在在C的內部的內部, 則則 R00( )()df zf zszz

23、 d2 .sR 的值與的值與 R 無關無關, 所以由所以由 的任意性的任意性, 可知可知00( )()df zf zzzz 根據根據實際上實際上, 積分積分00( )()df zf zzzz 00( )()d0.f zf zzzz 關于關于Cauchy積分公式的說明積分公式的說明:可見可見, 函數在函數在C內部任一點的值可用它在邊界上內部任一點的值可用它在邊界上（這是解析函數的一個重要特征）（這是解析函數的一個重要特征）(1) 從從Cauchy積分公式積分公式 001( )()d2Cf zf zzizz 的值通過積分來表示的值通過積分來表示. 這表明了這表明了Cauchy積分公式不但提供了計算

24、積分公式不但提供了計算(這是研究解析函數的有力工具這是研究解析函數的有力工具)(2) 如果曲線如果曲線C上的點用上的點用z 表示表示, C內部的內部的點用點用z 表示表示, 則則Cauchy積分公式表示為積分公式表示為 1( )( )d .2Cff ziz 某些復變函數沿閉路積分的某些復變函數沿閉路積分的一種方法一種方法, 而且給出而且給出了解析函數的一個積分了解析函數的一個積分表達式表達式.例例3.9 計算積分計算積分 31d ,(1)Czzz z 其中其中C是是 正向圓周正向圓周 2.z 解解 在在C內部作正向圓周內部作正向圓周 11:,2Cz 21:1.4Cz 12313131ddd .

25、(1)(1)(1)CCCzzzzzzz zz zz z 根據根據 , 因為因為 131( )1zf zz 在在C1圍成的閉區域上解析圍成的閉區域上解析, 231( )zfzz 在在C2 圍成的閉區域上解析圍成的閉區域上解析, 所以由所以由 Cauchy積分公式積分公式 121131( )( )ddd(1)1CCCzf zf zzzzz zzz 122(0)(1)i ff 2(12)6.ii 3.3.3 高階導數公式高階導數公式1( )( )d .2Cff ziz 如果各階導數存在如果各階導數存在, 并且導數運算可在積分號下并且導數運算可在積分號下進行進行, 則則21( )( )d ,2()Cf

26、fziz 由由 , 解析函數的積分表達式為解析函數的積分表達式為32 1( )( )d ,2()Cffziz ( )1!( )( )d .2()nnCnffziz (1) 解析函數是否存在各階導數解析函數是否存在各階導數? (2) 導數運算可否在積分號下進行導數運算可否在積分號下進行?我們有下面的我們有下面的Cauchy導數公式導數公式.( )010!( )()d2()nnCnf zfzzizz 高階導數公式高階導數公式D 0zC定理定理3.6 設函數設函數f (z)在單連通區域在單連通區域 D上的解析上的解析, C是是D內分段光滑內分段光滑(或可求長或可求長)的的Jordan曲線曲線, z0

27、 在在C的內部區域的內部區域, 則則f (z)在在z0處存在各階導數處存在各階導數, 并且并且 (1,2,3,),n 其中其中C取正向取正向. 001( )()d .2Cf zf zzzizzz zzfzzf )()(00證明證明 首先考慮首先考慮n=1的情形的情形. 因為因為z0在在C的內部的內部, 故當故當 | z| 適當小時適當小時, z0+ z也也在在C的內部的內部. 所以應用所以應用于是于是001( )( )dd2CCf zf zzzi zzzzzz 可知可知 Czzzzzzzfid)()(2100 CCzzzzzzzzfizzzzfid)()()(21d)()(2102020I C

28、zzzzzzzzfId)()()(21020 Cszzzzzzfzd)(21020因為因為f (z)在在C上解析上解析, 所以在所以在C上連續上連續, 故有界故有界.00,2Rzzzzzz 012. zzzR 存在存在M 0, 使得使得|f (z)| M . 又因為又因為z0 是是C內部區域內的點內部區域內的點, 所以存在所以存在R 0, 使使 0z zzR 在在C的內部區域的內部區域.DC 0z R因此當因此當z在在C上時上時,0.zzR, 2Rz取取則則3,MLIzR 所以所以其中其中L是曲線是曲線C的弧長的弧長. zzfzzfzfz )()(lim)(0000201( )d .2()Cf

29、 zzizz 利用類似的方法可求得利用類似的方法可求得因此因此, 當當 時時,0z 0.I 從而從而000300()()2!( )()limd ,2()Czfzzfzf zfzzzizz 證明了一個解析函數的導數仍然是解析函數證明了一個解析函數的導數仍然是解析函數. .d)()(2!)(100)( Cnnzzzzfinzf 243d)1(1zzzz131! 32 zzi2. i 高階導數公式的作用高階導數公式的作用: 不在于通過積分來求導不在于通過積分來求導, 而在于通過求導來求積分而在于通過求導來求積分.例例3.10 求積分求積分3421d .(1)zzzz 解解 因為函數因為函數 在復平面

30、解析在復平面解析, 3( )1 f zz( )010!( )()d ,2()nnCnf zfzzizz 01z 在在 內內, n=3, 根據根據2z 12dcoszzzzze0)cos(! 12 zzzei0sincos2 zzzzezei.2 i 21cosd .zzezzz 例例3.11 求積分求積分解解 因為函數因為函數 在復平面解析在復平面解析, ( )coszf zez 00z 在在 內內, n=1, 根據根據1z 3.3.4 典型例題典型例題 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf ,0iz 212d)1(1izzzz12( )dz if zzzi izizzi

31、 )(12. i 例例3.12 計算積分計算積分 2121d .1z izz z 解解 由由 , 2( )2371zf zi 22371 .izz 例例3.13 設設C表示正向圓周表示正向圓周223,xy2371( )d ,Cf zz 求求(1).fi 于是于是 而而1+i 在在C內內, 所以所以( )2(67),fziz (1)2 ( 613 ).fii 解解 根據根據 , 當當z在在C內時內時,2112sin4d1zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi2.2i 例例3.14 計算積分計算積分 其中其中2sin4d ,1Czzz 1(1) : 1;2Cz 1(2)

32、:1;2C z (3) : 2.Cz 解解 (1) 根據根據 ,2112sin4d1zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi2.2i (2) 根據根據 , 22d14sinzzzz 2112d14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i (3) 根據根據 以及前面的結果以及前面的結果,例例3.15 計算下列積分計算下列積分, 其中其中C是正向圓周是正向圓周 Czzzd) 1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi5.12i 1:zr 522cos(1) d ; (2) d .11zCCzezzzz 解解 (1) 因為函數因為函數 在在C

33、內內z=1處不解析處不解析, 5cos1zz 但但 在在C內處處解析內處處解析, 所以根據所以根據cos z 1C2Cxyo iCi Czzzed)1(22122222dd .(1)(1)zzCCeezzzz(2) 函數函數 在在C內的內的 處不解析處不解析.22(1)zez zi 在在C內分別以內分別以i 和和 -i 為中心作正向圓周為中心作正向圓周 C1 和和 C2,則函數則函數 在由在由22(1)zez 12,C C C圍成的區域內解析圍成的區域內解析, 所以由所以由 1d)1(22Czzze 1d)()(22Czzizizeizzizei 2)()!12(2(1).2ii e 1C2C

34、xyo iCi Czzzed)1( 22 2)1(iei 2)1(iei于是于是)(1(2iiieei ).1cos1(sin i(1).2ii e 222d(1)zCezz 同理同理解解1d0.znzezz 1dznzzze0)(2 zzei2. i 例例3.16 求積分求積分1d ,znzezz 其中其中n為整數為整數.(1) n 0時時, 函數函數 在在 上解析上解析.znez1z (2) n=1時時, 由由 得得由由 得得( )010!( )()d ,2()nnCnf zfzzizz 1dznzzze0)1()()!1(2 znzeni.)!1(2 ni得得(3) n1時時, 根據根據

35、3.4 解析函數的原函數解析函數的原函數1 原函數的概念原函數的概念2 Newton-Leibniz公式公式3.4.1 原函數的概念原函數的概念原函數之間的關系原函數之間的關系:定義定義3.2 設設f (z)是定義在區域是定義在區域D上的復變函數上的復變函數,若存在若存在D上的解析函數上的解析函數F(z)使得使得 在在D ( )( )F zf z 內成立，則稱內成立，則稱F(z)是是f (z)在區域在區域D上的原函數上的原函數. 如果如果f (z)在區域在區域D上存在原函數上存在原函數F(z), 則則f (z)是是 解析函數，因為解析函數的導函數仍是解析函數解析函數，因為解析函數的導函數仍是解

36、析函數. 定理定理3.7 設設F(z)和和G(z)都是都是f (z)在區域在區域D上的原上的原函數函數, 則則 (常數常數). ( )( )F zG zC ( )( )( )( )F zG zF zG z ( )( )0.f zf z 那么它就有無窮多個原函數那么它就有無窮多個原函數, 一般表達式為一般表達式為 根據以上討論可知根據以上討論可知:證明證明 設設F(z)和和G(z)都是都是f (z)在區域在區域 D上的上的根據根據 可知可知, 為常數為常數.( )( )F zG z 原函數原函數, 于是于是 如果如果F(z) 是是f (z)在區域在區域 D上的一個原函數，上的一個原函數， ( )

37、F zC (其中其中C是任意復常數是任意復常數). 證明證明 可利用可利用定理定理3.8 設設f (z)是單連通區域是單連通區域D上的解析函數上的解析函數, z0是是D內的一個點內的一個點, C是是D內以內以z0為起點為起點, z為終點的為終點的 分段光滑分段光滑(或可求長或可求長)曲線曲線, 則積分則積分 ( )dCf 只依賴于只依賴于z0與與z, 而與路徑而與路徑 C 無關無關. Riemann方程以及曲線積分路徑無關的充分必要方程以及曲線積分路徑無關的充分必要條件來證明條件來證明. 下面利用下面利用Cauchy積分定理證明積分定理證明. 中的中的Cauchy-和和D 0zz 1C2C設設

38、C1與與C2都是以都是以D內以內以z0為起點為起點, z 為終點的為終點的分段光滑曲線分段光滑曲線, 又不妨設又不妨設C1與與C2都是簡單曲線都是簡單曲線. 如果如果 C1與與C2除起點和除起點和終點之外終點之外, 再沒有其他重點再沒有其他重點,則則 是是Jordan曲線曲線, 12CC 根據根據Cauchy定理有定理有 12( )d0,CCf 12( )d( )d .CCff D 0zz 1C2C 如果如果C1與與C2除起點和除起點和終點之外終點之外, 還有其他重點還有其他重點, 在在D內再做一條以內再做一條以z0為起點為起點, z 為終點為終點, 除起點和終點之外除起點和終點之外, 與與C

39、1與與C2沒有其他沒有其他重點的分段光滑曲線重點的分段光滑曲線,C C 則由已證明的情形則由已證明的情形, 12( )d( )d( )d .CCCfff 012( )d( )d( )d .zzCCfffD 0zz 1C2CD 0zz 1C2C如果如果 f (z)在單連通區域在單連通區域D內解析內解析, 則則f (z)在以在以z0為起點為起點, z為終點的為終點的D內的分段光滑曲線內的分段光滑曲線C上積分上積分,積分值與積分路徑無關，即可記為積分值與積分路徑無關，即可記為 0( )( )d .zzF zf 于是確定了于是確定了D內的一個單值函數內的一個單值函數證明證明 因為因為z是是D內的點內的

40、點,定理定理3.9 設設f (z)是單連通區域是單連通區域D上的解析函數上的解析函數, z0和和z是是D內的點內的點, 則則 0( )( )dzzF zf 是是 f (z)在在D上的原函數上的原函數. 以以z為中心作一個含于為中心作一個含于D內的內的以圓周以圓周G為邊界的圓域為邊界的圓域.D0z zD z zz )()(zFzzF00( )d( )d .zzzzzff 0z 取取| z|充分小充分小, 使得使得z+ z在在圓周圓周G內內. 注意注意因為積分與積分路徑無關因為積分與積分路徑無關, 所以積分所以積分0( )dzzzf 可以先從可以先從z0到到z, 然后從然后從z沿著直線再到沿著直線

41、再到z+ z, 即即0( )dzzzf 0( )d( )d .zzzzzffD z zz 0z ()( )1( )( )( ) d .zzzF zzF zf zff zzz ()( )( )d ,zzzF zzF zf 于是于是并且并且因為函數因為函數f (z)在在D內連續內連續, 所以所以 0, 存在存在 0, 使得當使得當| -z| 時時, 有有( )( ).ff z從而當從而當| z| 時時, 利用利用B zKzz 0z )()()( zfzzFzzF 1( )( ) dzzzff zz 1|( )( )|dzzzff zsz .1 zz于是于是0()( )lim( )0,zF zzF

42、zf zz 即即( )( ).F zf z 與微積分學中對變上限積分求導定理相同與微積分學中對變上限積分求導定理相同.3.4.2 Newton-Leibniz公式公式定理定理3.10 設設f (z)是單連通區域是單連通區域D上的解析函數上的解析函數, F(z)是是 f (z)在在D上的原函數上的原函數, z0和和z1是是D內的兩點內的兩點, 則則 1010( )d()().zzf zzF zF z 證明證明 因為因為 也是也是f (z)在在D上的原函數上的原函數, 10( )dzzf zz 根據根據0( )d ( ),zzf zzF zC 其中其中 C為常數為常數, 易見易見0().CF z

43、說明說明: 有了上述定理有了上述定理, 復變函數的積分就可以用復變函數的積分就可以用與微積分學中類似的方法去計算與微積分學中類似的方法去計算.如果沒有如果沒有D是單連通區域的假設，那么是單連通區域的假設，那么 0( )( )dzzF zf 一般是一個多值函數一般是一個多值函數. 3.5 調和函數調和函數 1 調和函數的概念調和函數的概念2 解析函數與調和函數的關系解析函數與調和函數的關系3.5.1 調和函數的概念調和函數的概念如果二元函數如果二元函數j (x,y)在區域在區域D內存在二階連續內存在二階連續 偏導數偏導數, 且滿足二階偏微分方程且滿足二階偏微分方程 (Laplace 方程方程)

44、22220,xy則稱則稱 (x,y)是區域是區域D內的內的調和函數調和函數. 工程中的許多問題工程中的許多問題, 如平面上的穩定溫度場、如平面上的穩定溫度場、靜電場和穩定流場等都滿足靜電場和穩定流場等都滿足Laplace方程方程. 3.5.2 解析函數與調和函數的關系解析函數與調和函數的關系. , xvyuyvxu 由于解析函數的導數仍是解析函數由于解析函數的導數仍是解析函數, 因此因此u(x,y)和和定理定理3.11設設 ( )( , )( , )f zu x yiv x y 是區域是區域 D內的解析函數，則內的解析函數，則u(x,y)和和v(x,y)都是區域都是區域D內的內的調和函數調和函

45、數. 證明證明 因為因為f (z)在在D內解析內解析, 所以滿足所以滿足Cauchy- Riemann條件條件 v(x,y)存在各階連續偏導數存在各階連續偏導數. 將將 , uvuvxyyx 分別對分別對x和和y求導，則求導，則 22,uvxxy 22.uvyyx 當混合偏導數連續時，求導次序可以交換當混合偏導數連續時，求導次序可以交換. 因此，因此， 22220,uuxy即即u(x,y)是調和函數是調和函數. 同理可證同理可證v(x,y)也是調和函數也是調和函數. 如果任給區域如果任給區域 D內兩個調和函數內兩個調和函數u(x,y)和和v(x,y),那么那么u(x,y)+iv(x,y)在在D

46、內是否為解析函數內是否為解析函數?考慮考慮 和和22( )2f zxyxyi22( )2.f zxyxyi如果如果u(x,y)和和v(x,y)都是區域都是區域D內的調和函數內的調和函數, 且且u(x,y)+iv(x,y)是是D內的解析函數內的解析函數, 則稱則稱v(x,y)是是u(x,y) 的共軛調和函數的共軛調和函數. 區域區域 D 內解析函數的虛部為實部的共軛調內解析函數的虛部為實部的共軛調和和函數函數.現在提出如下問題：現在提出如下問題： 或者已知調和函數或者已知調和函數 v(x,y) 時，是否存在調和函時，是否存在調和函數數 u(x,y) ，使得，使得 f (z)=uiv 是是D內的解

47、析函數內的解析函數? 已知已知 u(x,y)是區域是區域D內的調和函數，是否存在內的調和函數，是否存在u(x,y)的共軛調和函數的共軛調和函數 v(x,y)，使得函數，使得函數 f (z)=uiv是是D上的解析函數上的解析函數?回答是肯定的回答是肯定的，以下用，以下用舉例舉例的方法加以的方法加以說明說明.解解 因為在全平面內因為在全平面內6,uxyx ,6 22yxu ,33 22xyyu ,6 22yyu 例例3.17證明證明 32( , )3u x yyx y是全平面內是全平面內的調和函數，并求以它為實部的解析函數的調和函數，并求以它為實部的解析函數. 故故 為調和函數為調和函數.2222

48、0,uuxy( , ) u x y于是于是6,vuxyyx 由由則則26d3( ),vxy yxyg x 23( ).vyg xx 又因為又因為2233,vuyxxy 所以所以2223( )33,yg xyx 23( )3dg xxxxC (其中其中C為任意實常數為任意實常數).求求u為實部的解析函數為實部的解析函數.從而從而32( , )3.v x yxxyC于是得解析函數于是得解析函數32323(3).wyx yi xxyC令令, ,22zzzzxyi那么函數可以化為那么函數可以化為3( )(),wf zi zC其中其中C為任意實常數為任意實常數.求求u為實部的解析函數的為實部的解析函數的

49、另一方法另一方法.因為因為6,uxyx ,33 22xyyu 所以所以22( ) 63() .uufzixyyxixy 3( ) ()f xi xC實部實部u不包含常數不包含常數, 故故(C是實常數是實常數). 將將x替換成替換成z, 即得即得3( )().f zi zC注：此處用到注：此處用到 .0,y 2( )3.fxix 即即z在實軸上取值在實軸上取值, 則則 因為因為例例3.18已知調和函數已知調和函數 ( , )( cossin )xv x yeyyxyxy是解析函數是解析函數f (z)的虛部的虛部, 且且f (0)=1, 求求f (z)的表達式的表達式. , 1)cossin(co

50、s yxyyyeyvx解解因為因為 ,uvxy 以及以及所以所以(cossincos )1 dxueyyyxyx ( cossin )( ).xexyyyxg y又因為又因為,vuxy 以及以及, 1)sinsincos( yyxyyexvx所以所以1)sinsincos( yyxyyex( sincossin )( ).xexyyyyg y ( cossin ).xuexyyyxyC, 1)( yg故故從而從而( )g yy C (C是實常數是實常數),(1).zzei zCivuzf )(1)(1)xiyxiyxe eiye exiiyiC( cossin )xexyyyxyC( coss

51、in )xi eyyxyxy由由(0)1,f 得得1.C 因此因此. 1)1()( zizezfz另一方法另一方法 因為因為( )vvfziyx (cossincos )1xeyyyxy( cossinsin )1 ,xi eyyxyy令令 0,y 即即z在實軸取值，則在實軸取值，則 ( )1,xxfxxeei 所以所以( )(1)xf xxei xC (C是常數是常數). 將將x替換替換成成z, 即得即得( )(1),zf zzei zC 由由(0)1,f 可知可知1.C 因此因此. 1)1 ()( zizezfz例例3.19 已知已知22()(4)2(),uvxyxxyyxy求解析函數求解

52、析函數 ( ).f zu iv 解解 分別求導數可得分別求導數可得, 2)42)()4(22 yxyxyxyxvuxx22(4)()(42 )2.yyuvxxyyxyxy 因為因為 , , uvuvxyyx 所以所以, 23322 yxvy6.xvxy 因此因此22( )3326.yxfzvivxyxyi 令令 0,y 即即z在實軸取值，則在實軸取值，則 2( )32,fxx 于是于是3( )2f xxxC(C是常數是常數).將將x替換成替換成z, 即得即得3( )2.f zzzC復變函數的積分復變函數的積分積分存在的積分存在的條件及計算條件及計算積分的性質積分的性質Cauchy積分定理積分定理原函數原函數的概念的概念復合復合閉路閉路定理定理Cauchy積分公式積分公式高階導數高階導數公式公式Newton- -Le