☆根軌跡繪制舉例及閉環(huán)極點的確根軌跡法的基本概（如開環(huán)增益K1）從0→∞時，(閉環(huán)特征根)在S平面上移動的軌跡；而負反饋系統(tǒng)的軌跡為s(s例已知系統(tǒng)s(s

K:0→∞時的根軌跡 1KK1C(s)

s(s R(s)

1

s2ss(sC(s) R(s)

s2s

D(s)s21211s1211

s

K1111s22111當(dāng)K1由0→∞變化,特征根s1和s2相應(yīng)的變化關(guān)系如表所01…∞0----…----0.5--0.5-…-0.5-∞K1∞K1×KσKs111∞同Ｋ1標在Ｓ平面上，并連成光滑的粗實線這就是該系統(tǒng)的根軌跡。箭頭Ｋ1值的增加，根軌跡的變化趨勢∞∞K1×K1=0∞１.穩(wěn)定性：當(dāng)增益K1由0→∞以是I型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0(p99)。∞∞K1×K1=0∞１）當(dāng)０<Ｋ1<０.25K1——K1以外的參數(shù)——參數(shù)根軌統(tǒng)來說，解析法就不適用了，工程上常采用圖解

(s)

G(s)1G(s)H(s)

R(s)

C(s)

1G(s)H(s)H(s)G(H(s)G(s)Gk(s)G(s)H(s)

zabjr(cos

re r[cos(2k1800)

jsin(2k1800

實rej(2k1800

kG(s)H(s)

jG(s)H(s)

1

j(18002k1800Gk

G(s)H

1ej(2q1)180

qG(s)H(s)

jG(s)H(s)

1

j(18002k1800

kk

k

11800

q

11800k

31800

k

31800

q

31800kk

5(2n1)

kk

5(2n1)

q

5

G(s)H(s)G(s)H

180o

mGk

G(s)H(s)

K1(sjn

zj

s

(s式 i

pi

(s

zj

|sz

|e(szj

(s

pi

|s

pi|e(spim

規(guī)定以

mm(sjn

zj

mmjn

sz

(szj|en(spin

(sm

pi

|sm

|em(szjm

|sz

(s

zj

(s

piee

j n

j n

j

nn(si

pi

|spiiGk(s)

K1(smjmn

zj

K1|mjmn

sz

mem

nn(szj

(spi

(si

pi

|spii1ej1800

q可將幅值條件和相角條件可寫mK1j

sznn

幅值方si (szj)(s

pi)1800(2q

q

相角方 用幅值方程來確定已知根軌跡上某一點的K1例1已知開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下式，設(shè)s0為該閉環(huán)系統(tǒng)的G(s)

K1(sz1s(sp1)(s

p2

解 幅值方K1|

z1 |s0

p0||s

p1||sp2 L1L2l1l1?根據(jù)相角方程確定根軌跡上的

mn×(szj)(spi)(2qmn×

以逆時針方向為正j

s例2設(shè)某一系統(tǒng)的開環(huán)零極點如圖，

0 １．從

到各零極點連直

z1),…等各個×３．將量好的值代入相角方程，若 式成立，則s0

z1

(s0

(s0

p2

(s0

p345135

210100

400

1800

不滿足，故s0“×”表示開環(huán)極點

KK K

K

K35, “”表示根軌跡上的點（關(guān)鍵點

K

35,∞∞K1×K1=0∞ D(s)

sK1

11211211當(dāng)K1由0→∞變化,特征根s1和s2相應(yīng)的變化關(guān)D(s)D(s為n階時，n個連續(xù)變化的特征根(系統(tǒng)極點數(shù)）規(guī)則2：

根軌跡的起點:K1=0時特征根在s上的位

m

1 KKK

=0|sz

j 1 |s i當(dāng)K1=0，等式右端為∞，左端表達式的s取npi值時等式相等。當(dāng)K1→∞，右端表達式為0，s取mzj時等式相等，于m

s

|jn

sz

mlimmssn

s

1snm

等|spiGk(s)

G(s)H(s)

mmK1(szjjn控制系統(tǒng)中

(s

pi有m條根軌跡趨向m個開環(huán)零點 G(S)

s(s

n=２起點：０，－１;n=4p1，p2p3，p4m=1，終點：z1實軸上是否存在根軌跡 (szj)(s

pi

(2qj

(szj)(spi)(2q j 在p1和z1之間任選一個試驗點dddd

(s0j

zj)(s0

pi)

(2qrmr(s0j

rzj)(s0r

pi

nr

(2qs0點滿足相角條件，所以p1～z1如實軸上某點s滿足相角條 (szj)(s

pi

nr

(2qj 必有

(2q所以，mr-nr必為奇數(shù)，當(dāng)然mr+nr也為奇數(shù)線段右側(cè)開環(huán)零點mr+開環(huán)極點數(shù)nr=奇數(shù)。例4-2-G(S)

K1(s1)(ss(s2)(s

-4--4-×-×-oσ× 根軌跡有三條分∴２條終止于開有３－２＝１條根軌跡③實軸上根軌規(guī)則4：控制系統(tǒng)中n>＝m，n-m條根軌跡分支將沿著漸近線趨向無a

180(2qn

(q

0,1,2,當(dāng)q=0q增大，相角值將重復(fù)出現(xiàn)，而獨立的漸近線只有(n－m)a

180(2qn

i

n

j1m漸近線的交 實軸上，即

必為實數(shù)．在算時，考慮到共軛復(fù)數(shù)極點、零點的虛部總是相互抵消，只須把零、極點的實部代入即可．題1例4-2-

G(s)

s(s1)(s解：1)在s p1p2p301

- -

× n(2q

3(2q

- a

n

a

(2qn

(2q3q

q

q

q

q2,a

規(guī)則5：K1BK1K1BK1z分離角或會合角與相分離或相會合的根軌跡的支數(shù)rd

1800(2qr

分離 會合K1 K1

A

分離點K1從0增大過程中維持特征根會合點是K1增大過程中特征根由復(fù)

K1B

K1

K1

K1A分離點和會合點歸結(jié)為K1關(guān)于實軸變量σ的極值問求方程

0求方程式

0的根，可以確定分離點或會合點

1G(s)H(s) G(s)H(s)

K1N(s)D(s)可

D(s)N(s)

0

題1例4-2-

G(s)

s(s1)(s

標和增益

D(s)1G(s)

s(s1)(s可

s(s2

-

3636

2)

-

s1,2

因為s1=-0.423在根軌跡[０,-1]區(qū)間，故s1=-0.423為用幅值條件確定分離點s1的增益K1

s1

s11

s1

d

r

方法2：D(s)1G(s)

s(s1)(s

dK1

0不便求解時 可

- -

×令s=σ

=-

-當(dāng)σ[０,-1]區(qū)間變化,K1點P1的距離為。當(dāng)→0時，可近似

z2(s11)極點的出射角mn∵s1mnj

zj)(s1

pi)180(2q

z2)(

p3)180(2q

1800(2q1)(

)(

p3

zp1800zpp1800zp1800z180ozp180zp1z2p1z22 如圖，試確定根軌跡離開復(fù)數(shù)共軛極點的出射角pp1800z

1

1

0,

11

z1z

1z1z

p4 zp zp

pp 90;pp

135;

tgp4

0.5p4p

pp pp 0

(減去360，為根據(jù)對稱性，可知 點的出射角為：p2

當(dāng)K1增加到一定數(shù)值時，根軌跡 示將出現(xiàn)實部為正的特征根，不穩(wěn)定。必須確定根軌跡與虛軸的 -×

- 點，并計算對應(yīng)的使系統(tǒng)處于臨界定狀態(tài)的開環(huán)增益K1在根軌跡與虛軸的交點處，在系

-

2個確定根軌跡與虛軸的交點方法方法二：判

方法一：代數(shù) 將s=j代入特征方程式D(s)就 得出實部和虛部方程組Im[1Im[1G(s)H

- ××

××-σ××-σ聯(lián)立求解，可得根軌跡與虛軸交點ω值和相應(yīng)的臨界K值

1方法二 判

助方程確定交點ω題 G(s)H(s)

s(s

D(s)1G(s)1

s(s1)(s

d

r

s(s

2)

K1將s=j

- -

j(

1)(

2)

0

- j(2

2)K1 j

32

j2K1

2,K

32

K1

2時，系統(tǒng)出現(xiàn)共軛虛根2題1(例4-2-

G(s)H(s)

s(s

可以大致畫出系統(tǒng)的根軌跡如圖所示p124圖4-2- dr0 0-×-×60-×-σ 根軌跡作圖步3并確定交點處的K1值；根軌跡說表4-2-2(p131)另一類：根軌跡在復(fù)平面上呈圓弧狀，這是性

d

r

K1 K1

分離點(或會合點與特征方程式

A

d

1800(2qr

r為在該點根軌跡分支

R(s)

CmKG(szjmqG(s) q

H(s)

KH(szjjh

HGK1(HG(spi

(spj)G(s)H(s)

j n

(si

piK1=KGKH開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，n=q+h 閉 KG(szj)(s

pi

G(s)1G(s)H

nn

j(s

pi)

mmj

(s

zj

∵n>=m閉環(huán)極點個數(shù)為開環(huán)極點個數(shù)n

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)KG(s)H(s) K

s1

KKG(s)H(s)

,1

3K1

s p

∵n=3,m=∴根軌跡有33條根軌跡漸近線

ppa1 1a

3

a

3600

(q

G(s)H(s) D(s)

1

K K13

s10s s1

1

∵實軸上的根軌跡[-∞,- ∴s=-1/是實際分離

d

1800(2qr

ppa0pp1,2,31 3/a1j3D(s)

1

13s D(s)

s3

s2

s

K1方法一：代數(shù) 將s=j代入

32 3 3

/虛 j3

j

K18/方法二：判

K3K1 設(shè)一負反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳G(s)H(s)

繪制K1變化時的系統(tǒng)根軌跡s(s3)(s2

1)p10,

1

ppC∵n=4,m=0且這4條根軌跡分支從4個P2

BpG(s)H(s) s(s3)(s24n-m=4

a

311

a

4

450

(q

a

4

P2

p

p(q

5D(s)

s(s

3)(s

2)K1K1

s(s

3)(s

2)

(s

8s

6s)圖解法：令s=σK1=-當(dāng)σ[-3,0]區(qū)間可得σ－K1σG(s)H(s) s(s3)(s2

復(fù)數(shù)極點p10,

1 1

p2p

1/

求根軌跡在p3AP2p-CBAP2p-CBpp371.60或 7根軌跡與虛軸的交點利用判據(jù)，由特征方s45s表

8s

6sK1204520455

0，得

s s3

根據(jù)s2(345)s2 s

204520455

j,

s0

０該點對應(yīng)的K1=8.16為系統(tǒng)處于臨AP2p-CBpfKG(szj

KH(szj

C(s)R(s)R(s) H(s)G(s)kqG(s) q

H(s)

j h

G(s)H(s)

K1(sj

zj(s

pi

(s

pj

nn(si

piK1=KGKH開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，n=q+h 閉

KG(szj)(s

pi傳遞(s)

G(s)

j 1G(s)H(s)

nn(s

pi)

mmK1(sj

zj

∵n>=m閉環(huán)極點個數(shù)為開環(huán)極點個數(shù)n

1點的K1值是確定的，其余的閉環(huán)極點在G(s)H(s) s(s3)(s2

P2

p

C-

Bp解：1）畫兩條=0.5，

G(s)H(s)

s(s3)(s22sarccos

p

C-

A

P2

p

G(s)H(s) s(s3)(s2 Gain:2.62 :0.5Overshoot(%): Frequency(rad/sec):7654321

432ImaginaryImaginary0------ - - - G(s)H(s) s(s3)(s2

p10,

1

2

3tg603

P2

-44

tg

x

tg

x

1

0

4

q

4

0

G(s)H(s) s(s3)(s2

ΠsΠs

s

s1

j1

1

s

jK10.802.691.800.67

確定K1=2.62系統(tǒng)閉環(huán)極 根軌跡有4個分支，相應(yīng)系統(tǒng)有00K1=2.62K1=4.33 -即系統(tǒng)在K1=2.62時有兩個實 -

KK1=- -

G(s)H(s)

s(s(s)

s4

6s

(s0.4

(s45s3

6s

[(s0.4

j0.7)(s

(s2

0.8s(s4

s24.2s3.99s

S1==-

S2=-G(s)H(s) s(s3)(s2

s)

C(s)

R(S

(s0.4

j0.7)(s0.4j0.7)(s1.45)(s穩(wěn)定性分析開環(huán)傳

p AA

p參數(shù)根軌跡：除K1G'G'21

G(s)

3G3

是指除了有主反饋回路 正反饋回路的根軌跡（零度根軌跡1、參數(shù)根軌跡的繪 則：與常規(guī)根軌跡繪制方法完全相同

1G(s)H

1

N(s)D(s)1

P(s)Q(s)

α代替K1(s)

G'(s)H(s)

P(s)Q

G(s)H(s)

K1(ss(s22s試繪制系統(tǒng)以為參變量的根軌跡1)

1 K1(s s(s22ss(s2

2s2)K1(s)

s(s2

2s2K1)K12）以特征方程中含1

s(s

2s2K1)G

s(s

2s2

K1G

s(s

2s2

K1給定K1＝1值，可以繪制以為的臨界值為當(dāng)0<<6時系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)>6，若G1(s)、G2(s)和

G'G'2

G(s)

G

G(s)

–G1(s)G2(s)G3(s)G'(s)G1(s) G3(s)21G'(s)2這時，應(yīng)列寫多回路系統(tǒng)的特征方程1G(s)=0，例4-3-3(p136)若G1(s)、G2(s

G'G'2

G(s)

G

的開環(huán)傳遞函數(shù) G(s)

G1(s)G2(s)G3(s)

(s)

若需要繪制的是

(s)或

(s)(s) (s) 21G'2

(s)

變化時多回路系統(tǒng)的根軌跡，由于

1

(s)

' 內(nèi)2G2外環(huán)特征方程1＋G(s)=0、外環(huán)開環(huán)傳函 外2G2先內(nèi)環(huán)后外環(huán)分層次地繪制根軌跡。（方法例4-3-4 例4-3-5 例4-3-8例1與例4-3-3類似）法1：繪制以α為參數(shù)根軌 s(sG2

s(s1)1 s(s

s(s1)

G(s)

1s(s1)

1G(s)

s2

s

1以特征方程中含1 0s2s1

G(s)

s2s1①開環(huán)極

1

j z

(s)

s2

s1 ③實軸上的根軌跡

1j

180

⑤會合點

s2

s

n1

1G(s)

s

s

-

ods

10 s

s1

1,s2s1

為實際會合 P

180(12090)p1p

150(2100H(H(s)

C(s)G(s)H(s)

mmK1(sjn

zj(si

pi

G(s)1G(s)H(s)根軌跡的方程

1G(s)H(s)G(s)H(s)mK1

szn j 1n

s i j

(s

zj)

(s

pi)

q

…與負反饋系統(tǒng)根軌跡比較，□

(2q1)1800

1800相角條件(1800根軌跡(2q)18002q1800□正反饋系 (2q)18002q1800 繪制0度根軌跡的7實軸上的根軌跡：其右 規(guī) 漸進線：與實軸的交點同常規(guī)根軌跡；但與實軸正方 的夾角不同，為 n

, 入射

p1800(2q)(zpz1800(2q)(zp連續(xù)性、對稱性和分支數(shù)起點和終點

G1(s)

Kcs

Gi(s)

K0s(s

Hi(s)

s

–

G1(s)+

若取K0=4,繪制以

根據(jù)內(nèi)環(huán)開環(huán)傳函,內(nèi)環(huán)特征方程(負/正)由外環(huán)開環(huán)傳函，外環(huán)特征方程(負[解]:(1) Gi(s)Hi(s)

s(s1)(s∵n=3,m=

- - ∴根軌跡有33條根軌跡分支從3個開環(huán)極點出發(fā)，當(dāng)K0→∞時趨向無窮實軸上的根軌跡[0,+3,-1n-m條漸近線的相角和交點a

133

2a2

Gi(s)Hi

(s)

K0 s(s1)(s

1 K0 s(s1)(s s3

3sK0

K0

- - -

8s3

上式的根為s1=-0.45，s2=-2.22，可判斷–2.22是

d

r

K0Πs對應(yīng)K0ΠsK0 s

s1s

s2.221.220.78

G(s)H(s) K0 s(s1)(s內(nèi)環(huán)系統(tǒng)有3分支，相應(yīng)有3個特

- -

根(極點)，由圖可判斷出系統(tǒng)在K0=4時有1個正實根和2個共軛復(fù)根。

-點值，通常是比較麻煩和的。值，直到找出K0值恰好等于給定值為止。在找出一個或n個閉環(huán)極點后，最后的兩個就可以Gi(s)Hi

(s)

K0 s(s1)(s（2）確定K0=4時,內(nèi)環(huán)閉環(huán)極點的位 ①先求正實軸上的閉環(huán)極點p,p點

K0 p11p13

- - -用試探法，最終確定②閉環(huán)系統(tǒng)特征方程作除

G(s)

s(s

4(s

1GiHi

1 s(s1)(s

s34s23s(s3

3s4)/(s0.66)s2

4.66s

–G(s)1+G1(s)

Kcs

Gi(s)

K0s(sHi(s)

s4

G(s)

s(s

4(sG

1Gi(s)

1 s(s1)(s4Kc(s

s3

ib

(s

3s 4Kc(s(s2)(s0.66)(s24.66s

1G1(s)Gib(s)

m

Gk(s)

(szinK1 n(sj

pjmmmmn(szin

(szinK1 1n

K1 1(sj

pj

(sj

pj可見，正反饋根軌跡相當(dāng)與負反饋根軌跡的K10→－∞Gk(s)

s(s1)(s

G0=-ImaginaryImaginary0--

-

ImaginaryImaginary0--

- 利用根軌跡法分析系統(tǒng)的性4.5 利用根軌跡法分析系統(tǒng)的性 增加開環(huán)極點的影 →增加一個慣性環(huán)一、系統(tǒng)閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)n

式中：zi為閉環(huán)零點,si為閉環(huán)極點若Φ(s)無重若Φ(s)無重

C(s)

...

]

s

s

k

sc(tc(t)(0)Akesktkncc(t)(0)Akesktkn(s(szjj(ssiimn

s從上式可看出：系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)將由閉環(huán)極點AkAk穩(wěn)定穩(wěn)定nkC(t)(0)k

k

Aesk平穩(wěn)×n1×n2平穩(wěn)×n1×n21∵由二階系統(tǒng)的分析可知共軛復(fù)數(shù)極點位于±450線上，對應(yīng)的阻尼比=0.707）為最佳阻尼比，這時系統(tǒng)的平穩(wěn)性與快速性快速C(t)快速

(0)

nkknk

Aesk量ekt減得快，則閉環(huán)極點sk應(yīng)遠離虛軸；動態(tài)過程盡Ak動態(tài)過程盡

Ak

(skmjmn

zj

(sk

2如果有兩個s

k

jkk偶極子：就是一對靠得很近的閉環(huán)零、極點sks0.1時，就可以認為s與z是一對偶極子kik在對系統(tǒng)進行分析時，就可以將其忽略不計例 單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)

s(s1)(s(1)試在根軌跡上確定一個K1值，使其中一個閉環(huán)極點位于=0.5的阻尼線上，并求解其余的閉環(huán)極點；(2)估算該K1值下的暫態(tài)性能s1s3s=0.5，arccos與根軌跡交與s1、s2２）通過求s、s G(s)

s(s1)(s用幅值條件求

極點處對應(yīng)的K1

s

s

sΠss1Πs

js3P2P1s

G(s)

s(s1)(s(s)

G(s)

s(s1)(s 1G(s)H

1 s(s1)(s

s32

3ss3

(s0.36

j0.69)(s0.36

j0.69)(s

(s34s23s

[(s0.36

j0.69)(s0.36

j0.69)](ss3

(s2

0.72s0.61)(ss3)(s3

3s2)

0.72s0.61)

s3.28S3=- S3=-Re(s3Re(s1,2Re(s3Re(s1,2

n

0.3620.780.362

s1tr

s3

Mp

1 1

100%

100%

s

n1tn1

pp

二階系統(tǒng)性能指等ts

tr

1111×S11×等n

n

j

1

1Mp1n1n1 j

1

pS＝－σ＋jω=-ω

1

ts

例 單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)

s(s試確定同時滿足Mp<=5%,ts<=8s（Δ＝0.02）的K1許區(qū) Mp 100%可 在系統(tǒng)的根軌跡圖中畫兩條=0.69，arccos從而系統(tǒng)的閉環(huán)極點位于和負實軸的夾角為的扇形區(qū)域G(s)4

s(s

ts ts

等ts

1S1n

j 12

s＝- j

1根據(jù)

4

于等ts線即s＝-0.5

G(s)

s(s

|s

s2

s＝-根軌跡與垂線s=-0.5交點A處的K1 K1

s

s2

A根軌跡與=0.69線交點處s1,2=-11.046的K1

K1

s

s2s1s

1

即滿足題中所給條件的K1值范圍為

et

es2t

s＝-

(

2 s2

(

2

A 211n1n1n×j12ts3/(3/23/0<3/43/ σmm

180(2q

n n

j1n

n

180(2