3．3冪函數學習目標1.了解冪函數的概念.2.掌握y＝xαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＝－1，\f(1,2)，1，2，3))的圖象與性質.3.理解和掌握冪函數在第一象限的分類特征，能運用數形結合的方法處理冪函數的有關問題．知識點一冪函數的概念一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．知識點二五個冪函數的圖象與性質1．在同一平面直角坐標系內函數(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖象如圖．2．五個冪函數的性質y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上減增增在(0，＋∞)上減，在(－∞，0)上減知識點三一般冪函數的圖象特征1．所有的冪函數在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)．2．當α>0時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間[0，＋∞)上是增函數．特別地，當α>1時，冪函數的圖象下凸；當0<α<1時，冪函數的圖象上凸．3．當α<0時，冪函數的圖象在區間(0，＋∞)上是減函數．4．冪指數互為倒數的冪函數在第一象限內的圖象關于直線y＝x對稱．5．在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數圖象相交，按交點從下到上的順序，冪指數按從小到大的順序排列．預習小測自我檢驗1．下列函數中不是冪函數的是________．①y＝x0； ②y＝x3；③y＝2x； ④y＝x－1.答案③2．設α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2)，3))，則使函數y＝xα的定義域為R且為奇函數的所有α的值為________．答案1,3解析當冪函數為奇函數時，α＝－1,1,3，又函數的定義域為R，所以α≠－1，所以α＝1,3.3．當x∈(0,1)時，x2________x3.(填“>”“＝”或“<”)答案>4．已知冪函數f(x)＝xα圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))，則f(4)＝________.答案eq\f(1,2)一、冪函數的概念例1(1)下列函數：①y＝x3；②y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中冪函數的個數為()A．1B．2C．3D．4答案B解析冪函數有①⑥兩個．(2)已知是冪函數，求m，n的值．考點冪函數的概念題點由冪函數定義求參數值解由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－3，,n＝\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(3,2).))所以m＝－3或1，n＝eq\f(3,2).反思感悟判斷函數為冪函數的方法(1)自變量x前的系數為1.(2)底數為自變量x.(3)指數為常數．跟蹤訓練1(1)已知冪函數f(x)＝k·xα的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，則k＋α等于()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2答案C解析由冪函數的定義知k＝1.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α＝eq\f(\r(2),2)，解得α＝eq\f(1,2)，從而k＋α＝eq\f(3,2).(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是冪函數，則a＋b等于()A．2B．1C.eq\f(1,2)D．0答案A解析因為f(x)＝ax2a＋1－b＋1是冪函數，所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，則a＋b＝2.二、冪函數的圖象及應用例2(1)已知冪函數f(x)＝xα的圖象過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，試畫出f(x)的圖象并指出該函數的定義域與單調區間．解因為f(x)＝xα的圖象過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，所以f(2)＝eq\f(1,4)，即2α＝eq\f(1,4)，得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的圖象如圖所示，定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，單調減區間為(0，＋∞)，單調增區間為(－∞，0)．(2)下列關于函數y＝xα與y＝αxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，2，3))))的圖象正確的是()答案C反思感悟(1)冪函數圖象的畫法①確定冪函數在第一象限內的圖象：先根據α的取值，確定冪函數y＝xα在第一象限內的圖象．②確定冪函數在其他象限內的圖象：根據冪函數的定義域及奇偶性確定冪函數f(x)在其他象限內的圖象．(2)解決與冪函數有關的綜合性問題的方法首先要考慮冪函數的概念，對于冪函數y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相應冪函數的單調性和奇偶性也不同．同時，注意分類討論思想的應用．跟蹤訓練2(1)如圖所示，C1，C2，C3為冪函數y＝xα在第一象限內的圖象，則解析式中的指數α依次可以取()A.eq\f(4,3)，－2，eq\f(3,4)B．－2，eq\f(3,4)，eq\f(4,3)C．－2，eq\f(4,3)，eq\f(3,4)D.eq\f(3,4)，eq\f(4,3)，－2答案C(2)在同一坐標系內，函數y＝xa(a≠0)和y＝ax－eq\f(1,a)的圖象可能是()考點冪函數的圖象題點冪函數有關的知圖選式問題答案C解析選項A中，冪函數的指數a<0，則直線y＝ax－eq\f(1,a)應為減函數，A錯誤；選項B中，冪函數的指數a>1，則直線y＝ax－eq\f(1,a)應為增函數，B錯誤；選項D中，冪函數的指數a<0，則－eq\f(1,a)>0，直線y＝ax－eq\f(1,a)在y軸上的截距為正，D錯誤．三、比較冪值的大小例3比較下列各組數的大小．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1；(3)與.解(1)因為冪函數y＝x0.5在(0，＋∞)上是單調遞增的，又eq\f(2,5)>eq\f(1,3)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5.(2)因為冪函數y＝x－1在(－∞，0)上是單調遞減的，又－eq\f(2,3)<－eq\f(3,5)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1.(3)因為在(0，＋∞)上是單調遞增的，所以＝1，又在(0，＋∞)上是單調遞增的，所以＝1，所以.反思感悟此類題在構建函數模型時要注意冪函數的特點：指數不變．比較大小的問題主要是利用函數的單調性，特別是要善于應用“搭橋”法進行分組，常數0和1是常用的中間量．跟蹤訓練3比較下列各組數的大小：(1)和；(2)，和.解(1)函數y＝在(0，＋∞)上為減函數，又3<3.1，所以.(2)所以冪函數性質的應用典例已知冪函數y＝x3m－9(m∈N*)的圖象關于y軸對稱且在(0，＋∞)上單調遞減，求滿足的a的取值范圍．考點冪函數的性質題點利用冪函數的性質解不等式解因為函數在(0，＋∞)上單調遞減，所以3m－9<0，解得m<3.又因為m∈N*，所以m＝1,2.因為函數的圖象關于y軸對稱，所以3m－9為偶數，故m＝1.則原不等式可化為因為在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調遞減，所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2)或a<－1.故a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1或\f(2,3)))<a<\f(3,2))).[素養提升]通過具體事例抽象出冪函數的概念和性質，并應用單調性求解，所以，本典例體現了數學中數學抽象與直觀想象的核心素養．1．以下結論正確的是()A．當α＝0時，函數y＝xα的圖象是一條直線B．冪函數的圖象都經過(0,0)，(1,1)兩點C．若冪函數y＝xα的圖象關于原點對稱，則y＝xα在定義域內y隨x的增大而增大D．冪函數的圖象不可能在第四象限，但可能在第二象限考點冪函數的綜合問題題點冪函數的綜合問題答案D2．下列不等式成立的是()A. B.C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2 D．答案A3．函數y＝x－3在區間[－4，－2]上的最小值是________．答案－eq\f(1,8)解析因為函數y＝x－3＝eq\f(1,x3)在(－∞，0)上單調遞減，所以當x＝－2時，ymin＝(－2)－3＝eq\f(1,－23)＝－eq\f(1,8).4．若冪函數在(0，＋∞)上是減函數，則實數m＝________.答案2解析令m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1.當m＝2時，m2－2m－3＝－3符合要求．當m＝－1時，m2－2m－3＝0不符合要求．故m＝2.5．先分析函數的性質，再畫出其圖象．解，定義域為R，在[0，＋∞)上是上凸的增函數，且是偶函數，故其圖象如下：1．知識清單：(1)冪函數的定義．(2)幾個常見冪函數的圖象．(3)冪函數的性質．2．方法歸納：(1)運用待定系數法求冪函數的解析式．(2)根據冪函數的圖象研究冪函數的性質即數形結合思想．3．常見誤區：對冪函數形式的判斷易出錯，只有形如y＝xα(α為常數)為冪函數，其它形式都不是冪函數．1．下列函數中是冪函數的是()A．y＝x4＋x2 B．y＝10xC．y＝eq\f(1,x3) D．y＝x＋1考點冪函數的概念題點判斷函數是否為冪函數答案C解析根據冪函數的定義知，y＝eq\f(1,x3)是冪函數，y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是冪函數．2．下列冪函數中，既是偶函數，又在區間(0，＋∞)上單調遞減的是()A．y＝x－2 B．y＝x－1C．y＝x2 D．y＝答案A解析其中y＝x－2和y＝x2是偶函數，y＝x－1和y＝不是偶函數，故排除選項B，D，又y＝x2在區間(0，＋∞)上單調遞增，不合題意，y＝x－2在區間(0，＋∞)上單調遞減，符合題意，故選A.3．已知f(x)＝，若0<a<b<1，則下列各式中正確的是()A．f(a)<f(b)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<f(b)<f(a)C．f(a)<f(b)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<f(a)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<f(b)考點比較冪值的大小題點利用單調性比較大小答案C解析因為函數f(x)＝在(0，＋∞)上是增函數，又0<a<b<1<eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，故f(a)<f(b)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，故選C.4．已知y＝(m2＋m－5)xm是冪函數，且在第一象限內是單調遞減的，則m的值為()A．－3B．2C．－3或2D．3考點冪函數的性質題點冪函數的單調性答案A解析由y＝(m2＋m－5)xm是冪函數，知m2＋m－5＝1，解得m＝2或m＝－3.∵該函數在第一象限內是單調遞減的，∴m<0.故m＝－3.5.如圖所示曲線是冪函數y＝xα在第一象限內的圖象，已知α取±2，±eq\f(1,2)四個值，則對應于曲線C1，C2，C3，C4的指數α依次為()A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2)D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)答案B解析要確定一個冪函數y＝xα在坐標系內的分布特征，就要弄清冪函數y＝xα隨著α值的改變圖象的變化規律．隨著α的變大，冪函數y＝xα的圖象在直線x＝1的右側由低向高分布．從圖中可以看出，直線x＝1右側的圖象，由高向低依次為C1，C2，C3，C4，所以C1，C2，C3，C4的指數α依次為2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2.6．已知2.4α>2.5α，則α的取值范圍是________．答案α<0解析因為0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上為減函數．故α<0.7．已知m＝(a2＋3)－1(a≠0)，n＝3－1，則m與n的大小關系為________．答案m<n解析設f(x)＝x－1，已知a≠0，則a2＋3>3>0，f(x)在(0，＋∞)上是減函數，則f(a2＋3)<f(3)，即(a2＋3)－1<3－1，故m<n.8．已知冪函數f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的圖象關于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數，則n的值為________．考點冪函數的性質題點冪函數的單調性答案1解析由于f(x)為冪函數，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，經檢驗只有n＝1符合題意．9．已知函數f(x)＝(m2＋2m)·，m為何值時，函數f(x)是：(1)正比例函數；(2)反比例函數；(3)冪函數．解(1)若函數f(x)為正比例函數，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝1，,m2＋2m≠0，))∴m＝1.(2)若函數f(x)為反比例函數，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝－1，,m2＋2m≠0，))∴m＝－1.(3)若函數f(x)為冪函數，則m2＋2m＝1，∴m＝－1±eq\r(2).10．點(eq\r(3)，3)與點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))分別在冪函數f(x)，g(x)的圖象上，問當x分別為何值時，有f(x)>g(x)；f(x)＝g(x)；f(x)<g(x)?解設f(x)＝xα，g(x)＝xβ.因為(eq\r(3))α＝3，(－2)β＝－eq\f(1,2)，所以α＝2，β＝－1，所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分別作出它們的圖象，如圖所示．由圖象知，當x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)時，f(x)>g(x)；當x＝1時，f(x)＝g(x)；當x∈(0,1)時，f(x)<g(x)．11．已知冪函數f(x)＝xm－3(m∈N*)為奇函數，且在區間(0，＋∞)上是減函數，則m等于()A．1B．2C．1或2D．3答案B解析因為f(x)＝xm－3在(0，＋∞)上是減函數，所以m－3<0.所以m<3.又因為m∈N*，所以m＝1,2.又因為f(x)＝xm－3是奇函數，所以m－3是奇數，所以m＝2.12．函數y＝－1的圖象關于x軸對稱的圖象大致是()答案B解析y＝－1的定義域為[0，＋∞)且為增函數，所以函數圖象是上升的，所以y＝－1關于x軸對稱的圖象是下降的，故選B.13．若<，則a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))解析函數y＝在[0，＋∞)上是增函數，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≥0，,3－2a≥0，,a＋1<3－2a，))解得－1≤a<eq\f(2,3).14．已知冪函數f(x)的圖象過點(9,3)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________，函數feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))的定義域為________．答案eq\f(\r(2),