基本初等函數的導數公式及導數的運算法則（第3課時）

基本初等函數的導數公式及導數的運算法則（第3課時）1基本初等函數的導數公式(1)若f(x)＝c(常數)，則f′(x)＝

.(2)若f(x)＝xn(n∈R)，則f′(x)＝

.(3)若f(x)＝sinx，則f′(x)＝

.(4)若f(x)＝cosx，則f′(x)＝

.0nxn－1cosx－sinx基本初等函數的導數公式0nxn－1cosx－sinx2(5)若f(x)＝ax，則f′(x)＝

.(6)若f(x)＝ex，則f′(x)＝

.(7)若f(x)＝logax，則f′(x)＝

.(8)若f(x)＝lnx，則f′(x)＝

.axlnaex(5)若f(x)＝ax，則f′(x)＝ .axl3法則1:兩個函數的和(差)的導數,等于這兩個函數的導數的和(差),即:法則2:兩個函數的積的導數,等于第一個函數的導數乘第二個函數,加上第一個函數乘第二個函數的導數,即:探究導數的運算法則:法則1:兩個函數的和(差)的導數,等于這兩個函數的導數的和(4法則3:兩個函數的商的導數,等于分子函數的導數乘分母函數,減去分子函數乘分母函數的導數,再除以分母函數的平方，即:法則3:兩個函數的商的導數,等于分子函數的導數乘分母函數,減5?根據以上探究過程,試著寫出導數的運算法則:(1)[f(x)±g(x)]′=_______________.(2)[f(x)·g(x)]′=__________________________.(3)=________________(g(x)≠0).(4)[cf(x)]′=________.f′(x)±g′(x)f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)cf′(x)?根據以上探究過程,試著寫出導數的運算法則:f′(x)±g′6類型一:利用導數的運算法則求函數的導數【典例1】求下列函數的導數:(1)f(x)=(x+2)(x-3)(2)f(x)=tanx(3)f(x)=xlnx類型一:利用導數的運算法則求函數的導數7想一想想一想8【規律總結】應用導數運算法則求函數的導數的原則結合函數解析式的特點先進行恒等變形,把一個函數化成幾個基本初等函數的加、減、乘、除運算,再套運算法則.【規律總結】9類型二:導數運算法則的應用【典例2】已知函數f(x)=x3+x-16.(1)求曲線y=f(x)在點(2,-6)處的切線方程.(2)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經過原點,求直線l的方程及切點坐標.【解題指南】先求出函數f(x)的導數,(1)由于點在曲線上,可將點的坐標代入求切線的斜率,進而得出切線方程.(2)由于原點不在曲線上,可先設切點坐標,列方程解出切點坐標,再求切線方程.類型二:導數運算法則的應用【解題指南】先求出函數f(x)的導10【規律總結】求曲線在某一點處切線方程的一般步驟(1)先判斷給出的點(x0,y0)是否在曲線上,如果在曲線上,則它是切點,否則不是,此時設切點坐標為(x1,y1).(2)求切線的斜率.如果點(x0,y0)是切點,則切線斜率為f′(x0),若(x0,y0)不是切點,則切線斜率k=f′(x1)=(3)利用點斜式方程,求出切線方程.【規律總結】求曲線在某一點處切線方程的一般步驟11類型三:導數公式及運算法則的綜合應用【典例3】已知函數f(x)=x4+ax2-bx,且f′(0)=-13,f′(-1)=-27,則a+b等于(

)A.18 B.-18 C.8 D.-8類型三:導數公式及運算法則的綜合應用12【鞏固訓練】已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=__________.【解析】y′=1+,則曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線斜率為k==1+1=2,故切線方程為y=2x-1.因為y=2x-1與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,聯立得ax2+ax+2=0,顯然a≠0,所以由Δ=a2-8a=0?a=8.答案:8【鞏固訓練】已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線13【歸納總結】對導數運算法則的兩點說明(1)導數的加減法則,就是把每一個函數都求導數,然后再相加減.(2)導數的乘法法則中兩個式子中間是加號,導數的除法法則中分子上的兩個式子之間是減號,因此要注意兩個函數的位置關系.【歸納總結】14【補償訓練】求拋物線y=x2上的點到直線x-y-2=0的最短距離.【解析】依題意知與直線x-y-2=0平行的拋物線y=x2的切線的切點到直線x-y-2=0的距離最短,設切點坐標為(x0,x02).因為y′=(x2)′=2x,所以2x0=1,所以x0=.切點坐標為

所以所求的最短距離為【補償訓練】求拋物線y=x2上的點到直線x-y-2=0的最短15【限時小測】1.函數y=的導數是_______.2.函數f(x)=的導函數為________.4.曲線y=x+sinx在點(0,0)處的切線方程是________;

3.曲線f(x)=x3-x2+5在x=1處的切線的傾斜角為____.【限時小測】3.曲線f(x)=x3-x2+5在x=1處的16【解析及答案】12.f′(x)=

3.f′(x)=x2-2x,k=f′(1)=-1,故切線的傾斜角為

.4.因為y=x+sinx,所以y′=1+cosx,因點(0,0)在曲線上,所以當x=0時,y′=1+cos0=2,因此曲線在(0,0)處的切線方程為:y-0=2(x-0),即2x-y=0.

【解析及答案】17基本初等函數的導數公式及導數的運算法則（第3課時）

基本初等函數的導數公式及導數的運算法則（第3課時）18基本初等函數的導數公式(1)若f(x)＝c(常數)，則f′(x)＝

.(2)若f(x)＝xn(n∈R)，則f′(x)＝

.(3)若f(x)＝sinx，則f′(x)＝

.(4)若f(x)＝cosx，則f′(x)＝

.0nxn－1cosx－sinx基本初等函數的導數公式0nxn－1cosx－sinx19(5)若f(x)＝ax，則f′(x)＝

.(6)若f(x)＝ex，則f′(x)＝

.(7)若f(x)＝logax，則f′(x)＝

.(8)若f(x)＝lnx，則f′(x)＝

.axlnaex(5)若f(x)＝ax，則f′(x)＝ .axl20法則1:兩個函數的和(差)的導數,等于這兩個函數的導數的和(差),即:法則2:兩個函數的積的導數,等于第一個函數的導數乘第二個函數,加上第一個函數乘第二個函數的導數,即:探究導數的運算法則:法則1:兩個函數的和(差)的導數,等于這兩個函數的導數的和(21法則3:兩個函數的商的導數,等于分子函數的導數乘分母函數,減去分子函數乘分母函數的導數,再除以分母函數的平方，即:法則3:兩個函數的商的導數,等于分子函數的導數乘分母函數,減22?根據以上探究過程,試著寫出導數的運算法則:(1)[f(x)±g(x)]′=_______________.(2)[f(x)·g(x)]′=__________________________.(3)=________________(g(x)≠0).(4)[cf(x)]′=________.f′(x)±g′(x)f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)cf′(x)?根據以上探究過程,試著寫出導數的運算法則:f′(x)±g′23類型一:利用導數的運算法則求函數的導數【典例1】求下列函數的導數:(1)f(x)=(x+2)(x-3)(2)f(x)=tanx(3)f(x)=xlnx類型一:利用導數的運算法則求函數的導數24想一想想一想25【規律總結】應用導數運算法則求函數的導數的原則結合函數解析式的特點先進行恒等變形,把一個函數化成幾個基本初等函數的加、減、乘、除運算,再套運算法則.【規律總結】26類型二:導數運算法則的應用【典例2】已知函數f(x)=x3+x-16.(1)求曲線y=f(x)在點(2,-6)處的切線方程.(2)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經過原點,求直線l的方程及切點坐標.【解題指南】先求出函數f(x)的導數,(1)由于點在曲線上,可將點的坐標代入求切線的斜率,進而得出切線方程.(2)由于原點不在曲線上,可先設切點坐標,列方程解出切點坐標,再求切線方程.類型二:導數運算法則的應用【解題指南】先求出函數f(x)的導27【規律總結】求曲線在某一點處切線方程的一般步驟(1)先判斷給出的點(x0,y0)是否在曲線上,如果在曲線上,則它是切點,否則不是,此時設切點坐標為(x1,y1).(2)求切線的斜率.如果點(x0,y0)是切點,則切線斜率為f′(x0),若(x0,y0)不是切點,則切線斜率k=f′(x1)=(3)利用點斜式方程,求出切線方程.【規律總結】求曲線在某一點處切線方程的一般步驟28類型三:導數公式及運算法則的綜合應用【典例3】已知函數f(x)=x4+ax2-bx,且f′(0)=-13,f′(-1)=-27,則a+b等于(

)A.18 B.-18 C.8 D.-8類型三:導數公式及運算法則的綜合應用29【鞏固訓練】已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=__________.【解析】y′=1+,則曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線斜率為k==1+1=2,故切線方程為y=2x-1.因為y=2x-1與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,聯立得ax2+ax+2=0,顯然a≠0,所以由Δ=a2-8a=0?a=8.答案:8【鞏固訓練】已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線30【歸納總結】對導數運算法則的兩點說明(1)導數的加減法則,就是把每一個函數都求導數,然后再相加減.(2)導數的乘法法則中兩個式子中間是加號,導數的除法法則中分子上的兩個式子之間是減號,因此要注意兩個函數的位置關系.【歸納總結】31【補償訓練】求拋物線y=x2上的點到直線x-y-2=0的最短距離.【解析】依題意知與直線x-y-2=0平行的拋物線y=x2的切線的切點到直線x-y-2=0的距離最短,設切點坐標為(x0,x02).因為y′=(x2)′=2x,所以2x0=1,所以x0=.切點坐標為

所以所求的最短距離為【補償訓練】求拋物線y=x2上的點到直線x-y-2=0的最短32【限時小測】1.函數y=的導數是_______.2.函數f(x)=的導函數為________.4.曲線y=x+sinx在點(0,0)處的切線方程是________;