3.3直方圖處理

一、灰度直方圖

直方像圖反映了圖的像素的灰度分布是反映一幅圖像中的灰度級與出現這種灰度級的像素的概率之間關系的圖形。

直方圖的橫坐標為灰度級（用r表示），縱坐標是具有該灰度級的像素個數或出現此灰度級的概率P(rk)。設N（=a×b）為一幅圖像中像素總數，nk為第k級灰度的像素數；rk表示第k個灰度級。則：

P(rk)=nk/N

（歸一化后k級灰度像素數）

定義：反映各灰度級出現頻數的分布情況，進而反映圖像對（清晰）度，但不反映各灰度級的空間位置分布。3.3直方圖處理一、灰度直方圖1直方圖的作法

a)將圖像的灰度級歸一化b)計算各灰度級的像素頻數(或概率)c)作圖直方圖的作法

a)將圖像的灰度級歸一化2練習：試求如圖所示一幅10×10，８級灰度圖像的灰度直方圖。

0000000000111111111111111111112222222222333333333333333333333333333333555555555577777777777777777777c)作圖nk01234567rka)將圖像的灰度級歸一化求得：rk=0,1/7,2/7,…,6/7b)計算各灰度級的像素頻數Pk=0.1,0.2,0.1,…練習：試求如圖所示一幅10×10，８級灰度圖像的灰度直方圖。3數字圖像處理直方圖處理課件4偏暗圖像

及其直方圖動態范圍偏小圖像

及其直方圖動態范圍正常圖像

及其直方圖偏暗圖像

及其直方圖動態范圍偏小圖像

及其直方圖動態范圍正常5數字圖像處理直方圖處理課件6二、直方圖的用途1.數字化參數可用來判斷一幅圖像是否合理地利用了全部被允許的灰度級范圍。一幅圖像應利用幾乎全部的灰度級。2.邊界閾值選取0閾值點灰度頻率二、直方圖的用途1.數字化參數可用來判斷一幅圖像是否合理地利7三、積累直方圖

積累直方圖就是由前k個等級之和生成的積累直方圖。

tk=EH(rk)==,0≤rk≤1,k=0,1,…,L-1假設tk=EH(rk)=1/4,那么灰度rk映射到tk意味著tk=1/4一下的灰度占像素總數的1/4。如果tk=1/2,那么tk=1/2以下的像素占像素總數的1/2，即tk的直方圖是均勻分布的。EH(rk)是一個單調增加函數，它等于灰度在rk一下的像素所占的比例，可以寫出反函數:

rk=EH-1(tk),0≤tk≤1,k=0,1,…,L-1三、積累直方圖

積累直方圖就是由前k個等級之和生成的積累直方8舉例

應用：直方圖修正灰度修正（改變像素灰度值）?改變直方圖（修正）?灰度非線性變換方法：直方圖均衡化直方圖規定化（匹配）舉例93.3.1直方圖均衡化一、直方圖均衡化灰度直方圖反映了數字圖像中每一灰度級與其出現頻率間的關系,它能描述該圖像的概貌。通過修改直方圖的方法增強圖像是一種實用而有效的處理技術。直方圖均衡化是將原圖像通過某種變換，得到一幅灰度直方圖為均勻分布的新圖像的方法。

直方圖均衡化3.3.1直方圖均衡化一、直方圖均衡化灰度直方圖反映10

對連續變化圖像：設r和s分別表示歸一化了的原圖像灰度和經直方圖修正后的圖像灰度。即在[0,1]區間內的任一個r值，都可產生一個s值，且1將非均勻密度變換為均勻密度

T(r)Pr(r)Ps(s)s1s1rr1對連續變化圖像：1將非均勻密度變換為均勻密度T(r11

T(r)作為變換函數，滿足下列條件：①在0≤r≤1內為單調遞增函數，保證灰度級從黑到白的次序不變；②在0≤r≤1內，有0≤T(r)≤1，確保映射后的像素灰度在允許的范圍內。反變換關系為T-1(s)對s同樣滿足上述兩個條件。由概率論理論可知，如果已知隨機變量r的概率密度為pr(r),而隨機變量s是r的函數，則s的概率密度ps(s)可以由pr(r)求出。假定隨機變量s的分布函數用Fs(s)表示，根據分布函數定義

T(r)作為變換函數，滿足下列條件：反變換關系為12

利用密度函數是分布函數的導數的關系，等式兩邊對s求導，有：可見，輸出圖像的概率密度函數可以通過變換函數T(r)控制原圖像灰度級的概率密度函數得到,因而改善原圖像的灰度層次,這就是直方圖修改技術的基礎。從人眼視覺特性來考慮，一幅圖像的直方圖如果是均勻分布的，即Ps(s)=k(歸一化時k=1)時，該圖像色調給人的感覺比較協調。因此將原圖像直方圖通過T(r)調整為均勻分布的直方圖，這樣修正后的圖像能滿足人眼視覺要求。因為歸一化假定

則有利用密度函數是分布函數的導數的關系，等式兩邊對s求導，有：13兩邊積分得

上式表明，當變換函數為r的累積直方圖函數時，能達到直方圖均衡化的目的。對于離散的數字圖像，用頻率來代替概率,則變換函數T(rk)的離散形式可表示為:上式表明，均衡后各像素的灰度值sk可直接由原圖像的直方圖算出。兩邊積分得14

一幅圖像的sk與rk之間的關系稱為該圖像的累積灰度直方圖。rkPr(rk)rkS(rk)1.01.01.0一幅圖像的sk與rk之間的關系稱為該圖像的累15直方圖均衡化的計算直方圖均衡化過程（算法）：(1)列出原始圖灰度級rk；(2)統計原始直方圖各灰度級像素數nk;(3)計算原始直方圖各概率：pk=nk/N;(4)計算累計直方圖：sk=Σpk;(5)取整Sk=int{(L-1)sk+0.5};(6)確定映射對應關系：rksk;(7)統計新直方圖各灰度級像素nk';(8)用pk(sk)

=nk'/N計算新直方圖。其中L是灰度層次數，N是圖幅總像素數。直方圖均衡化的計算直方圖均衡化過程（算法）：其中L是灰度層次16直方圖均衡化計算列表序號運算步驟和結果1列出原始灰度級rk012345672統計原始直方圖各級灰度nk7901023850656329245122813計算原始直方圖rk的pk0.190.250.210.160.080.060.030.024計算累計直方圖sk0.190.440.650.810.890.950.981.005取整sk=int[(L-1)sk+0.5]135667776確定映射關系(rk→sk)0-11-32-53,4-65,6,7-77統計新直方圖各灰度級n’k79010238509854488計算新直方圖0.190.250.210.240.11直方圖均衡化計算列表序號運算步驟和結果1列出原始灰度級rk017直方圖均衡化結果pr(rk)0.100.050.150.200.25rk(a)00.250.210.160.080.060.030.020.950.190.440.650.810.890.98(b)00.400.200.600.801.00Skrk0.190.250.210.110.190.240.100.050.150.200.25ps(Sk)Sk(c)0直方圖均衡化結果pr(rk)0.100.050.150.2018直方圖均衡化效果

直方圖均衡化效果19數字圖像處理直方圖處理課件20數字圖像處理直方圖處理課件213.3.2直方圖匹配（規定化）直方圖均衡化的優點是能自動地增強整個圖像的對比度，但它的具體增強效果不易控制，處理的結果總是得到全局均衡化的直方圖。實際中有時需要變換直方圖使之成為某個特定的形狀，從而有選擇地增強某個灰度值范圍內的對比度。均衡化后直方圖原直方圖規定直方圖rszPr(r)Pz(z)s=T(r)v=G(z)s=T(r)z=G-1[T(r)]3.3.2直方圖匹配（規定化）直方圖均衡化22連續圖像：設Pr(r)和Pz(z)分別代表原始圖像和規定化處理后圖像的灰度概率密度函數.

對原始直方圖進行均衡化處理，有：對規定化后的直方圖均衡化處理，有：兩者經直方圖均衡化處理后應有相同的直方圖，因此規定化后的的圖像灰度級為：對于數字圖像，有：連續圖像：設Pr(r)和Pz(z)分別代表原始圖像和規定化處23例假定有一幅總像素為N=64×64的圖像，灰度級數為8，各灰度級分布列于表中。對該圖像進行如圖所示的直方圖規定化。811222453296568501023790原圖各灰度級像素數nk

76543210原圖灰度級rk,

k=0,1…,7(c)0.301/73/75/71Pz(zk)0.150.20.30.20.15zk0.20.1例假定有一幅總像素為N=64×64的圖像，灰度級數為8，24解：直方圖規定化計算過程如下：1列出原圖灰度級rk,

k=0,1…,7012345672統計原圖各灰度級像素數nk

7901023850656329245122813計算原始直方圖各概率：Pk=nk/N

0.190.250.210.160.080.060.030.024計算累計直方圖：sk=Σpk

0.190.440.650.810.890.950.981.005規定直方圖Pz(zl)=nl/N0000.150.20.30.20.156計算規定累計直方圖:ΣPz(zl)0000.150.350.650.8517SML映射（l）345667778確定映射對應關系(k→l)0→31→42→53,4→65，6,7→79變換后各灰度級像素n'z000790102385098544810變換后直方圖

0.190.250.210.240.11解：直方圖規定化計算過程如下：1列出原圖灰度級rk,k=25pr(rk)0.100.050.150.200.25rk原圖00.250.210.160.080.060.030.020.190.250.210.110.190.240.100.050.150.200.25ps(Sk)Sk直方圖均衡化00.250.210.110.190.240.100.050.150.200.25ps(Sk)Sk直方圖規定化0(c)0.30.20.101/73/75/71Pz(zk)0.150.20.30.20.15zk希望直方圖pr(rk)0.100.050.150.200.25rk原圖26直方圖規定化直方圖規定化273.3直方圖處理

一、灰度直方圖

直方像圖反映了圖的像素的灰度分布是反映一幅圖像中的灰度級與出現這種灰度級的像素的概率之間關系的圖形。

直方圖的橫坐標為灰度級（用r表示），縱坐標是具有該灰度級的像素個數或出現此灰度級的概率P(rk)。設N（=a×b）為一幅圖像中像素總數，nk為第k級灰度的像素數；rk表示第k個灰度級。則：

P(rk)=nk/N

（歸一化后k級灰度像素數）

定義：反映各灰度級出現頻數的分布情況，進而反映圖像對（清晰）度，但不反映各灰度級的空間位置分布。3.3直方圖處理一、灰度直方圖28直方圖的作法

a)將圖像的灰度級歸一化b)計算各灰度級的像素頻數(或概率)c)作圖直方圖的作法

a)將圖像的灰度級歸一化29練習：試求如圖所示一幅10×10，８級灰度圖像的灰度直方圖。

0000000000111111111111111111112222222222333333333333333333333333333333555555555577777777777777777777c)作圖nk01234567rka)將圖像的灰度級歸一化求得：rk=0,1/7,2/7,…,6/7b)計算各灰度級的像素頻數Pk=0.1,0.2,0.1,…練習：試求如圖所示一幅10×10，８級灰度圖像的灰度直方圖。30數字圖像處理直方圖處理課件31偏暗圖像

及其直方圖動態范圍偏小圖像

及其直方圖動態范圍正常圖像

及其直方圖偏暗圖像

及其直方圖動態范圍偏小圖像

及其直方圖動態范圍正常32數字圖像處理直方圖處理課件33二、直方圖的用途1.數字化參數可用來判斷一幅圖像是否合理地利用了全部被允許的灰度級范圍。一幅圖像應利用幾乎全部的灰度級。2.邊界閾值選取0閾值點灰度頻率二、直方圖的用途1.數字化參數可用來判斷一幅圖像是否合理地利34三、積累直方圖

積累直方圖就是由前k個等級之和生成的積累直方圖。

tk=EH(rk)==,0≤rk≤1,k=0,1,…,L-1假設tk=EH(rk)=1/4,那么灰度rk映射到tk意味著tk=1/4一下的灰度占像素總數的1/4。如果tk=1/2,那么tk=1/2以下的像素占像素總數的1/2，即tk的直方圖是均勻分布的。EH(rk)是一個單調增加函數，它等于灰度在rk一下的像素所占的比例，可以寫出反函數:

rk=EH-1(tk),0≤tk≤1,k=0,1,…,L-1三、積累直方圖

積累直方圖就是由前k個等級之和生成的積累直方35舉例

應用：直方圖修正灰度修正（改變像素灰度值）?改變直方圖（修正）?灰度非線性變換方法：直方圖均衡化直方圖規定化（匹配）舉例363.3.1直方圖均衡化一、直方圖均衡化灰度直方圖反映了數字圖像中每一灰度級與其出現頻率間的關系,它能描述該圖像的概貌。通過修改直方圖的方法增強圖像是一種實用而有效的處理技術。直方圖均衡化是將原圖像通過某種變換，得到一幅灰度直方圖為均勻分布的新圖像的方法。

直方圖均衡化3.3.1直方圖均衡化一、直方圖均衡化灰度直方圖反映37

對連續變化圖像：設r和s分別表示歸一化了的原圖像灰度和經直方圖修正后的圖像灰度。即在[0,1]區間內的任一個r值，都可產生一個s值，且1將非均勻密度變換為均勻密度

T(r)Pr(r)Ps(s)s1s1rr1對連續變化圖像：1將非均勻密度變換為均勻密度T(r38

T(r)作為變換函數，滿足下列條件：①在0≤r≤1內為單調遞增函數，保證灰度級從黑到白的次序不變；②在0≤r≤1內，有0≤T(r)≤1，確保映射后的像素灰度在允許的范圍內。反變換關系為T-1(s)對s同樣滿足上述兩個條件。由概率論理論可知，如果已知隨機變量r的概率密度為pr(r),而隨機變量s是r的函數，則s的概率密度ps(s)可以由pr(r)求出。假定隨機變量s的分布函數用Fs(s)表示，根據分布函數定義

T(r)作為變換函數，滿足下列條件：反變換關系為39

利用密度函數是分布函數的導數的關系，等式兩邊對s求導，有：可見，輸出圖像的概率密度函數可以通過變換函數T(r)控制原圖像灰度級的概率密度函數得到,因而改善原圖像的灰度層次,這就是直方圖修改技術的基礎。從人眼視覺特性來考慮，一幅圖像的直方圖如果是均勻分布的，即Ps(s)=k(歸一化時k=1)時，該圖像色調給人的感覺比較協調。因此將原圖像直方圖通過T(r)調整為均勻分布的直方圖，這樣修正后的圖像能滿足人眼視覺要求。因為歸一化假定

則有利用密度函數是分布函數的導數的關系，等式兩邊對s求導，有：40兩邊積分得

上式表明，當變換函數為r的累積直方圖函數時，能達到直方圖均衡化的目的。對于離散的數字圖像，用頻率來代替概率,則變換函數T(rk)的離散形式可表示為:上式表明，均衡后各像素的灰度值sk可直接由原圖像的直方圖算出。兩邊積分得41

一幅圖像的sk與rk之間的關系稱為該圖像的累積灰度直方圖。rkPr(rk)rkS(rk)1.01.01.0一幅圖像的sk與rk之間的關系稱為該圖像的累42直方圖均衡化的計算直方圖均衡化過程（算法）：(1)列出原始圖灰度級rk；(2)統計原始直方圖各灰度級像素數nk;(3)計算原始直方圖各概率：pk=nk/N;(4)計算累計直方圖：sk=Σpk;(5)取整Sk=int{(L-1)sk+0.5};(6)確定映射對應關系：rksk;(7)統計新直方圖各灰度級像素nk';(8)用pk(sk)

=nk'/N計算新直方圖。其中L是灰度層次數，N是圖幅總像素數。直方圖均衡化的計算直方圖均衡化過程（算法）：其中L是灰度層次43直方圖均衡化計算列表序號運算步驟和結果1列出原始灰度級rk012345672統計原始直方圖各級灰度nk7901023850656329245122813計算原始直方圖rk的pk0.190.250.210.160.080.060.030.024計算累計直方圖sk0.190.440.650.810.890.950.981.005取整sk=int[(L-1)sk+0.5]135667776確定映射關系(rk→sk)0-11-32-53,4-65,6,7-77統計新直方圖各灰度級n’k79010238509854488計算新直方圖0.190.250.210.240.11直方圖均衡化計算列表序號運算步驟和結果1列出原始灰度級rk044直方圖均衡化結果pr(rk)0.100.050.150.200.25rk(a)00.250.210.160.080.060.030.020.950.190.440.650.810.890.98(b)00.400.200.600.801.00Skrk0.190.250.210.110.190.240.100.050.150.200.25ps(Sk)Sk(c)0直方圖均衡化結果pr(rk)0.100.050.150.2045直方圖均衡化效果

直方圖均衡化效果46數字圖像處理直方圖處理課件47數字圖像處理直方圖處理課件483.3.2直方圖匹配（規定化）直方圖均衡化的優點是能自動地增強整個圖像的對比度，但它的具體增強效果不易控制，處理的結果總是得到全局均衡化的直方圖。實際中有時需要變換直方圖使之成為某個特定的形狀，從而有選擇地增強某個灰度值范圍內的對比度。均衡化后直方圖原直方圖規定直方圖rszPr(r)Pz(z)s=T(r)v=G(z)s=T(r)z=G-1[T(r)]3.3.2直方圖匹配（規定化）直方圖均衡化49連續圖像：設Pr(r)和Pz(z)分別代表原始圖像和規定化處理后圖像的灰度概率密度函數.

對原始直方圖進行均衡化處理，有：對規定化后的直方圖均衡化處理，有：兩者經直方圖均衡化處理后應有相同的直方圖，因此規定化后的的圖像灰度級為：對于數字圖像，有：連續圖像：設Pr(r)和Pz(z)分別代表原始圖像和規定化處50例假定有一幅總像素為N=64×64的圖像，灰度級數為8，各灰度級分布列于表中。對該圖像進行如圖所示的直方圖規定化。811222453296568501023790原圖各灰度級像素數nk

76543210原圖灰度級rk,

k=0,1…,7(c)0.301/73/7