本科《概率論》目錄

概率論的基本概念

等可能概型(古典概型)

條件概率

獨立性

隨機變量及其分布

隨機變量的分布函數(shù)

隨機變量的函數(shù)的分布

多維隨機變量及其分布

兩個r.v.的函數(shù)的分布

隨機變量的數(shù)字特征

幾種重要r.v.的數(shù)學(xué)期望及方差

矩、協(xié)方差矩陣

大數(shù)定律及中心極限定理1.確定性現(xiàn)象和不確定性現(xiàn)象.2.隨機現(xiàn)象:在個別試驗中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性,在大量重復(fù)試驗中其結(jié)果又具有統(tǒng)計規(guī)律性.第一章概率論的基本概念前言3.概率論與數(shù)理統(tǒng)計的廣泛應(yīng)用.§1.隨機試驗E1:拋一枚硬幣,觀察正(H)反(T)面出現(xiàn)的情況.E2:將一枚硬幣拋三次,觀察正反面出現(xiàn)的情況.E3:將一枚硬幣拋三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。舉例:{H,T}{HHH,THH，

HTH,HHT,HTT,THT,TTH,TTT}{0,1,2,3}E4：某市120急救電話臺一晝夜接到的呼喚次數(shù).

隨機試驗:(1)可在相同的條件下重復(fù)進行;(2)每次試驗的結(jié)果不止一個,且能事先明確所有可能的結(jié)果;(3)一次試驗前不能確定會出現(xiàn)哪個結(jié)果。E5:在一批燈泡中任取一只,測試它的壽命.{0，1，2，……}{t|t≥0}E6:記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度.{（x,y)|

}§2.

樣本空間與隨機事件(一)樣本空間：隨機試驗E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間，記為S.樣本空間的元素稱為樣本點，用e表示.S2={HHH,HTH,HHT,THH,HTT,THT,TTH,TTT},S3={0,1,2,3}.(二)隨機事件

樣本空間S的子集稱為E的隨機事件，簡稱為事件。在一次試驗中，當且僅當這一子集中的一個樣本點出現(xiàn)時，稱這一事件發(fā)生。樣本空間1.離散樣本空間:樣本點為有限多個或可列多個;2.無窮樣本空間:樣本點充滿區(qū)間或區(qū)域。基本事件:由一個樣本點組成的單點集.必然事件:樣本空間S是自身的子集，在每次試驗中總是發(fā)生的，稱為必然事件。不可能事件：空集φ不包含任何樣本點，它在每次試驗中都不發(fā)生，稱為不可能事件。復(fù)合事件:由兩個或兩個以上的基本事件復(fù)合而成的事件為復(fù)合事件。

例1.

在E2中

樣本空間S樣本點:事件A1:“第一次出現(xiàn)正面”,即A1={HHH,HHT,HTH,HTT},事件A2:“恰好出現(xiàn)一次正面”,即A2={HTT,THT,TTH},事件A3:“至少出現(xiàn)一次正面”，即A3={HHH，HHT，HTH，THH，

HTT，THT，TTH}.共有23=8個（2×2×2是重復(fù)排列）.（三）事件間的關(guān)系與事件的運算1.包含關(guān)系和相等關(guān)系:ABS

若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,則稱事件B包含事件A,記作AB.

若AB且AB,即A=B,則稱A與B相等.BAS2.和事件:3.積事件：事件AB={x|xA且xB}稱為A與B的積，即事件A與B同時發(fā)生.AB可簡記為AB.類似地，事件為可列個事件A1，A2，…的積事件.BAS4.差事件:事件A-B={x|xA且xB}稱為A與B的差.當且僅當A發(fā)生,B不發(fā)生時事件A-B發(fā)生.顯然:A-A=,A-=A,A-S=ABs

基本事件是兩兩互不相容的.5.事件的互不相容(互斥):BA6.對立事件(逆事件)：SAB(1)若A,B二事件互為對立事件,則A,B必互不相容,但反之不真.(3)必然事件與不可能事件互為對立事件,7.事件的運算律:交換律:分配律:對偶律:結(jié)合律:§3.頻率與概率(一)

頻率

1.在相同的條件下,共進行了n次試驗,事件A發(fā)生的次數(shù)nA,稱為A的頻數(shù),nA/n.

稱為事件A發(fā)生的頻率,記為fn(A).頻率的特性:波動性和穩(wěn)定性.

1.定義:設(shè)E是隨機試驗,S是樣本空間.對于E

的每個事件A對應(yīng)一個實數(shù)P(A),稱為事件

A的概率,如果集合函數(shù)P(.)滿足下列條件:(1)對任一事件A,有P(A)≥0;(非負性）(2)P(S)=1;（規(guī)范性)(3)設(shè)A1,A2,…是兩兩互不相容的事件,則有

P(A1

A2

…)=P(A1)+P(A2)+…(可列可加性)(二)概率由概率定義可以推出概率的一些重要性質(zhì)：一般地有:

P(B-A)=P(B)-P(AB).BAAB

B-AB§4.

等可能概型(古典概型)等可能概型的兩個特點:(1)樣本空間中的元素只有有限個;(2)試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同.計算公式:設(shè)S={e1,e2,…,en}由等可能性知P({e1})=P({e2})=…=P({en}).于是1=P(S)=nP({ei}),則有P({ei})=1/n,古典概率的計算步驟:(1)選取適當?shù)臉颖究臻gS,使它滿足有限及等可能的要求,且把事件A表示成S的某個子集.(2)計算樣本點總數(shù)n及事件A包含的樣本點數(shù)k.(3)用下列公式計算.加法原理:

完成一件工作,有m類方法,而第1類方法有n1

種方法,第2類方法有n2種方法,…,第m類方法有nm種方法,任選一種此工作就完成,那么完成這項工作共有

N=n1+n2+…+nm種不同的方法.乘法原理:

完成一件工作,需要m個步驟,而第1步有n1

種方法,第2步有n2種方法,…,第m步有nm種方法,依次完成這m步時這項工作才完成,那么完成這項工作共有N=n1n2

…nm種不同的方法.例1.袋中裝有4只白球和2只紅球.

從袋中摸球兩次,每次任取一球.有兩種方式:(a)放回抽樣;(b)不放回抽樣.求:(1)兩球顏色相同的概率;(2)兩球中至少有一只白球的概率.解:(a)放回抽樣

故P(A)=(44)/(66)0.444，P(B)=(22)/(66)0.111,則P(AB)=P(A)+P(B)0.556,P(C)=1-P(B)0.889樣本空間:取兩次球,共有66種取法.定義事件:A=“兩球都是白球”,共有44

種取法,B=“兩球都是紅球”,共有22

種取法,C=“兩球中至少有一只白球”,則AB=“兩個球顏色相同”,(b)不放回抽樣1.放回抽樣與不放回抽樣的樣本空間不一樣。

(66與65).樣本空間：共有65種取法.事件A的樣本點:共有43種取法.事件B的樣本點:共有21種取法.例2.設(shè)一袋中有編號為1,2,…,9的球共9只,現(xiàn)從中任取3只,試求:(1)取到1號球的概率,（事件A）(2)最小號碼為5的概率.（事件B）解從9個球中任取3只球,共有種取法.（2）最小號碼為5,共有種取法.（1）取到1號球共有種取法例3.將n只球隨機地放入N(N≥n)個盒子中去,試求每個盒子至多有一只球的概率.(設(shè)盒子的容量不限).生日問題假定每個人在一年365天的任一天都等可能,

隨機選取n(小于365)人,他們生日至少有兩個相同的概率為:例4.設(shè)有N件產(chǎn)品,其中D件次品,從中任取n件,求其中恰有k(k≤D)件次品的概率.例5.箱中裝有a個白球和b個黑球,k個人依次在袋中取一只球,(1)作放回抽樣;(2)作不放回抽樣,求第i(i=1,2,…,k)人取到白球的概率.注此題結(jié)果與k無關(guān)。例7.15名新生中有3名是優(yōu)秀生,將這15名新生隨機地平均分配到三個班級中去,問每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?例8.某接待站在某一周曾接待過12次來訪,且都是在周二和周四來訪.問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的?解:實際推斷原理:“小概率事件在一次試驗中實際上幾乎不發(fā)生”.經(jīng)初步分析：接待時間是有規(guī)定的.假定接待時間是沒有規(guī)定的.則12次來訪都在周二和周四的概率為由實際推斷原理,認為其接待時間是有規(guī)定的.（概率反證法）例有10把鑰匙，其中3把能打開某房間的門，現(xiàn)從中任取2把，求能打開門的概率。§5.

條件概率(一)條件概率:

設(shè)試驗E的樣本空間為S,A,B是事件,要考慮在A已經(jīng)發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率,這就是條件概率問題.例1.將一枚硬幣擲兩次,觀察其出現(xiàn)正反面的情況.設(shè)A—“至少有一次正面”,B—“兩次擲出同一面”求：A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率.S={HH,HT,TH,TT}A={HH,HT,TH},B={HH,TT}則P(B|A)=1/3.在古典概型中:直觀含義:

在A發(fā)生的條件下B發(fā)生,當然A發(fā)生且B也發(fā)生,即AB發(fā)生,現(xiàn)在A發(fā)生的前提條件下,因此應(yīng)以A作為樣本空間,而排除了A以外的樣本點,因此P(B|A)是P(AB)與P(A)之比.1.定義:

設(shè)A,B是兩個事件,且P(A)>0,稱為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.2.性質(zhì):

條件概率符合概率定義中的三個條件,即此外,條件概率具有無條件概率類似性質(zhì).例如：特別地，當A=S時,P（B|S）=P(B)，條件概率化為無條件概率.計算條件概率有兩種方法:

例2.3只一等品1只二等品任取一只,不放回再任取一只A—第一次取到的是一等品B—第二次取到的是一等品,求P(B|A).注：第一次取出1只一等品，剩下共3只，其中有2只一等品。(二)乘法定理:推廣:P(AB)>0,則有

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).r只紅球○t只白球○例3.每次任取一只球觀察顏色后,放回,并放回a只同色球在袋中連續(xù)取球4次,試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率.例4.透鏡第一次落下打破的概率為0.5,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為0.7,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為0.9,試求透鏡落下三次而未打破的概率.

(三)全概率公式和貝葉斯公式:1.樣本空間的劃分SB1B2B3...Bn(1)若B1,B2,…,Bn是樣本空間S的一個劃分,則每次試驗中,事件B1,B2,…,Bn中必有一個且僅有一個發(fā)生.2.全概率公式:AB1B2B3BnS...再利用乘法定理即得稱為全概率公式.3.貝葉斯公式:在A發(fā)生的條件下,B1的條件概率P(B1|A)稱為事后概率,為求這個概率,先介紹貝葉斯公式.貝葉斯公式:例5.某電子設(shè)備廠所用的晶體管是由三家元件制造廠提供的,數(shù)據(jù)如下:元件制造廠次品率提供的份額

10.020.1520.010.8030.030.05(1)任取一只晶體管,求它是次品的概率.(2)任取一只,若它是次品,則由三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少?例6對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明,當機器調(diào)整得良好時,產(chǎn)品的合格率為98%,而當機器發(fā)生某一故障時,其合格率為55%,每天早晨機器開動時機器調(diào)整良好的概率為95%,試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時,機器調(diào)整得良好的概率是多少?解:設(shè)A為事件“產(chǎn)品合格”,B為事件“機器調(diào)整良好”,由已知,P(A|B)=0.98,=0.55,P(B)=0.95,=0.05,所求的概率為P(B|A).由Bayes公式:P(B|A)==(0.980.95)/(0.980.95+0.550.05)=0.97.§1.6

獨立性設(shè)A,B是試驗E的兩事件,當P(A)>0,可以定義

一般地,P(B|A)≠P(B),

但當A的發(fā)生對B的發(fā)生的概率沒有影響時,有P(B|A)=P(B),由乘法公式有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).

例拋甲、乙兩枚硬幣，觀察正、反面出現(xiàn)的情況。設(shè)A為“甲幣出現(xiàn)H”，B為“乙?guī)懦霈F(xiàn)H”。1.定義:

設(shè)A,B是兩事件,如果滿足等式

P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B是相互獨立的事件.由定義可知:1)零概率事件與任何事件都是相互獨立的.事實上,設(shè)P(A)=0,B為任一事件,則ABA.因而,P(AB)≤P(A)=0,所以P(AB)=0.又P(A)P(B)=0P(B)=0,故P(AB)=P(A)P(B).2)由對稱性,A,B相互獨立,必有B,A相互獨立.例.袋中裝有a個紅球和b個白球,從袋中取球兩次，每次各取一球,(1)作放回抽樣;(2)作不放回抽樣,記A為“第一次取出的是紅球”，B為“第一次取出的是紅球”.設(shè)A,B,C是三個事件,若滿足:P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

則稱A,B,C為相互獨立的事件.前面三個式子表明A,B,C三事件兩兩相互獨立,并不能說A,B,C三事件相互獨立.若n個事件相互獨立，必蘊含這n個事件兩兩相互獨立,反之不真。2.定義推廣:3.定理一:

設(shè)A,B是兩事件,且P(A)>0,則A,B相互獨立的充要條件是:P(B|A)=P(B).證明:由條件概率公式:若A,B相互獨立,則P(AB)=P(A)P(B),從而P(B|A)=P(B)(必要性).反之,若P(B|A)=P(B),則從而P(AB)=P(A)P(B)(充分性).定理二:ABABS證明:若A,B相互獨立,則P(AB)=P(A)P(B)>0而A,B不相容,必有P(AB)=0.以上兩式不能同時成立.例2.設(shè)有4個元件,每個元件的可靠性為pi(元件能正常工作的概率),按如下方式組成系統(tǒng),試求該系統(tǒng)的可靠性.

A1

A3

A2

A4例設(shè)有8個元件,每個元件的可靠性均為p(元件能正常工作的概率),按如下兩種方式組成系統(tǒng),試比較兩個系統(tǒng)的可靠性.

A1

B1

A2

B2

B3

B4

A3

A4系統(tǒng)二:先并聯(lián)后串聯(lián)系統(tǒng)一:先串聯(lián)后并聯(lián)A1B1A2B2A3B3A4B4解:用Ai,Bi,表示如圖中諸元件能正常工作的事件,

i=1,2,3,4.C1,C2表示系統(tǒng)一、二可靠的事件.則C1=(A1A2A3A4)∪(B1B2B3B4)C2=(A1∪B1)(A2∪B2)(A3∪B3)(A4∪B4)于是P(C1)=P(A1A2A3A4)+P(B1B2B3B4)-P(A1A2A3A4B1B2B3B4)=p4+p4-p8=p4(2-p4),P(C2)=(p+p-p2)4=p4(2-p)4,當0<p<1時,P(C2)>P(C1).一般地2n個元件組成以上兩個系統(tǒng),P(C1)=pn(2-pn),P(C2)=pn(2-p)n,有P(C2)>P(C1).(0<p<1)例3.100件樂器,驗收方案是從中任取3件測試(相互獨立的),3件測試后都認為音色純則接收這批樂器,測試情況如下:

經(jīng)測試認為音色純認為音色不純樂器音色純0.990.01樂器音色不純0.050.95若100件樂器中恰有4件音色不純,試問:這批樂器被接收的概率是多少?第一章

習(xí)題課一、主要內(nèi)容:樣本空間隨機事件概率定義及性質(zhì)古典概型條件概率全概率公式Bayes公式事件的獨立性二、課堂練習(xí):1.選擇題:(1)當事件A與B同時發(fā)生,事件C必發(fā)生,則有()(A)P(C)=P(AB)(B)P(C)=P(A∪B)(C)P(C)≥P(A)+P(B)-1(D)P(C)≤P(A)+P(B)-1解:ABC,

P(C)≥P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)≥P(A)+P(B)-1.(1)當事件A與B同時發(fā)生,事件C必發(fā)生,則有()(A)P(C)=P(AB)(B)P(C)=P(A∪B)(C)P(C)≥P(A)+P(B)-1(D)P(C)≤P(A)+P(B)-1C解:可得P(AB)=P(A)P(B).C2.填空題：(2)設(shè)兩個事件A,B相互獨立,A,B都不發(fā)生的概率為1/9,A發(fā)生而B不發(fā)生的概率與B發(fā)生而A不發(fā)生的概率相等,則P(A)=______.0.90.2(2)設(shè)兩個事件A,B相互獨立,A,B都不發(fā)生的概率為1/9,A發(fā)生而B不發(fā)生的概率與B發(fā)生而A不發(fā)生的概率相等,則P(A)=______.2/3a/(1-b)ab+1-b5.(13題)從5雙不同的鞋子中任取4只,這4只鞋子中至少有2只能配成一雙的概率是多少?解:樣本空間的樣本數(shù)為不能配成一雙的取法為:則至少有2只能配成一雙的概率為:先從5雙只取出1雙,然后從剩下的8只中取出2只)以上計算A的樣本點數(shù)時有重復(fù)數(shù).不妨記這5雙鞋為(ai,bi),i=1,…,5若先取(a1,b1),則可取(a2,b2),…,(a5,b5),及{a2,

b3},….等不同雙的;若先取(a2,b2),則可取(a1,b1),…,(a5,b5),及{a3,

b4},….等不同雙的;從以上可以看出兩雙相同的取法重復(fù)了,故應(yīng)4.甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7.飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.2,飛機被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三人都擊中，飛機必定被擊落。（1）求飛機被擊落的概率.（2）若飛機被擊落，則它是由兩人擊中的概率是多少？4.5.甲、乙兩人獨立地對同一目標各射擊一次,命中率分別是0.5和0.4,現(xiàn)已知目標被擊中,則它是乙擊中的概率是多少?6.(33題)第二章

隨機變量及其分布

隨機試驗的結(jié)果未必是數(shù)量的,如拋硬幣得正面或反面,檢查產(chǎn)品是正品和次品等等,為了數(shù)學(xué)處理的方便以及理論研究的需要,我們將隨機試驗的結(jié)果與實數(shù)對應(yīng)起來，將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，引入隨機變量的概念.§2.1

隨機變量

以X記兩號碼之和，對于每一個樣本點e，X都有一個值與之對應(yīng)。S1.定義:

設(shè)隨機試驗E的樣本空間是S={e}，若對于每一個e∈S,有一個實數(shù)X(e)與之對應(yīng),即X(e)是定義在S上的單值實函數(shù)，稱為隨機變量。（randomvariable,簡記為r.v.)例3.測試燈泡壽命試驗,其結(jié)果是用數(shù)量表示的.記燈泡的壽命為X,則X是定義在樣本空間S={e}={t|t≥0}上的函數(shù),即X=X(e)=t,e=t∈S.e1有了隨機變量X,以前的各種隨機事件均可用X的變化范圍來表示:如例1中:A=“正面朝上”用{X=1}表示B=“背面朝上”用{X=0}表示反過來,X的一個變化范圍表示一個隨機事件.{0<X<2}=“正面朝上”.{X<0}=,注:

(1)可用隨機變量X描述事件.

例擲一顆骰子,設(shè)出現(xiàn)的點數(shù)記為X,事件A為“擲出的點數(shù)大于3”,

則A可表示為“X>3”.隨機變量隨著試驗的結(jié)果而取不同的值,在試驗之前不能確切知道它取什么值,但是隨機變量的取值有一定的統(tǒng)計規(guī)律性—概率分布.2.分類：(1)離散型隨機變量;(2)

非離散型隨機變量.10連續(xù)型隨機變量20非連續(xù)型隨機變量§2.2

離散型隨機變量及其分布律1.定義若隨機變量全部可能取到的值是有限多個或可列無限多個,則稱為離散型隨機變量.Xx1x2…xn…pkp1p2…pn...例1.設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四組信號燈,每組信號燈以概率p禁止汽車通過,以X表示汽車首次停下時已通過信號燈的組數(shù),求X的分布律.(設(shè)各信號燈的工作是相互獨立的).解:X01234pk即P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3.(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4P{X=4}=(1-p)4

p幾種重要的離散型隨機變量（一）0-1分布

設(shè)隨機試驗E有兩種可能的結(jié)果：S={e1,e2},設(shè)隨機變量X：(二)伯努利試驗、二項分布例1.設(shè)X是n重貝努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),每次試驗中A發(fā)生的概率為p,則X是一個隨機變量,我們來求它的分布律.一般地有稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布,記為X~b(n,p).當n=1時,P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1,即為0-1分布.例2.某種電子元件的使用壽命超過1500小時為一級品,已知一大批該產(chǎn)品的一級品率為0.2,從中隨機抽查20只,求這20只元件中一級品的只數(shù)X的分布律.解:例3.某人進行射擊,每次命中率為0.02,獨立射擊400次,試求至少擊中兩次的概率.當n較大,p又較小時,

二項分布的計算比較困難,例如0.98400，0.02400,…,可以用Pois-son分布近似計算.例4.設(shè)有80臺同類型設(shè)備,各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺設(shè)備的故障由一個人處理。考慮兩種方法，其一是由4人維護，每人負責20臺，其二是由3人共同維護80臺，試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障不能及時維修的概率的大小。(三)泊松分布(Poisson)(2)泊松分布有很多應(yīng)用.泊松(Poisson)定理：證明:(3)二項分布與泊松分布之間的關(guān)系由下面的泊松定理給出.泊松定理的意義：1.在定理的條件下,二項分布的極限分布是泊松分布.2.當n很大且p又較小時,(四)幾何分布

進行重復(fù)獨立試驗,設(shè)每次試驗成功的概率為p,失敗的概率為1-p=q(0<p<1),將試驗進行到出現(xiàn)一次成功為止,以X表示所需的試驗次數(shù),則X的分布律為:

P{X=k}=qk-1p,k=1,2,…稱為X服從參數(shù)為p的幾何分布.例設(shè)某種社會定期發(fā)行的獎券,每券1元,中獎率為p,某人每次購買1張獎券,如果沒有中獎下次繼續(xù)再買1張,直到中獎止,求購買次數(shù)X的分布律.解：P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,3,…若該人共準備購買10次共10元錢,即如果中獎就停止,否則下次再購買1張,直到10元共花完為止,求購買次數(shù)Y的分布律.解：P{Y=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…,9,P{Y=10}=p(1-p)9+(1-p)10=(1-p)9.§3

隨機變量的分布函數(shù)

對于非離散型r.v.已不能用分布律來描述它,需要考慮r.v.的取值落入一個區(qū)間的概率,如定義：設(shè)r.v.X,x為任意實數(shù),則F(x)=P{X≤x}稱為X的分布函數(shù).P{x1<X≤x2},P{X≤x}等,為此引入隨機變量的分布函數(shù).(1)P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1).(2)無論是離散型r.v.還是非離散型r.v.,分布函數(shù)都可以描述其統(tǒng)計規(guī)律性.2.性質(zhì):(1)F(x)是單調(diào)不減函數(shù).x2>x1,F(x2)-F(x1)=P{x1<X≤x2}0.(2)0≤F(x)≤1,F(-)=0,F(+)=1.(3)F(x)至多有可列個間斷點,而在其間斷點上也是右連續(xù)的,F(x+0)=F(x).例1.離散型r.v.,已知分布律可求出分布函數(shù).

X-123pk1/41/21/4

求：X的分布函數(shù),并求P{X≤1/2},P{3/2<X≤5/2}.P{X≤1/2}=F(1/2)P{X≤1/2}=P{X=-1}=1/4,=1/4或由分布律直接得P{3/2<X≤5/2}=F(5/2)-F(3/2)=1/2.§4.

連續(xù)型隨機變量及其概率密度則稱X為連續(xù)型r.v.f(x)稱為X概率密度函數(shù),簡稱概率密度.連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。例1.一個靶子是半徑為2米的圓盤,設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比,并設(shè)射擊都能擊中靶,以X表示彈著點與圓心的距離.試求X的分布函數(shù).3.關(guān)于連續(xù)型r.v.的一個重要結(jié)論:定理:設(shè)X為連續(xù)型r.v.它取任一指定的實數(shù)值a的概率均為0.即P{X=a}=0.4.幾個常用的連續(xù)型r.v.分布(一)均勻分布:則稱隨機變量X在(a,b)上服從均勻分布,記作X~U(a,b).此概率與子區(qū)間長度成正比,而與子區(qū)間的位置無關(guān),

這也是均勻分布的由來.分布函數(shù)為:(二)指數(shù)分布:1.定義:如果連續(xù)型隨機變量X的概率密度為:則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。如果連續(xù)型隨機變量X的概率密度為:1.定義:

伽瑪分布:2.特例:(1,)是參數(shù)為的指數(shù)分布.=13.伽瑪函數(shù)的性質(zhì):(i)(+1)=();(ii)對于正整數(shù)n,(n+1)=n!;(三)正態(tài)分布:如何計算概率?

通過標準正態(tài)分布計算其它一切正態(tài)分布的概率:(2)標準正態(tài)分布:引理:例設(shè)某商店出售的白糖每包的標準重量500克,設(shè)每包重量X(以克計)是隨機變量,X~N(500,25),求:(1)隨機抽查一包,其重量大于510克的概率;(2)隨機抽查一包,其重量與標準重量之差的絕對值在8克之內(nèi)的概率;(3求常數(shù)c,使每包的重量小于c的概率為0.05.(1)

由(x)=0.05怎樣查表求x的值?由于(x)=0.05,1-(x)=1-0.05,所以(-x)=0.95,而(1.645)=0.95,即:-x=1.645,故x=-1.645.(2)若X~N(,2)P{-≤X≤+}=2(1)-1=0.6286.P{-2≤X≤+2}=2(2)-1=0.9544.P{-3≤X≤+3}=2(3)-1=0.997.由上三式可知,服從正態(tài)分布N(,2),的r.v.X之值幾乎全部落入[-3,+3]內(nèi),稱為3原則，常應(yīng)用于工程技術(shù)中。z(x)0(3)標準正態(tài)分布的上分位點:§5.

隨機變量的函數(shù)的分布我們將研究如何由已知的r.v.X的分布,去求得它的函數(shù)Y=g(X)的分布,(其中g(shù)(.)是已知的連續(xù)函數(shù)),分兩種情形討論:一、X為離散型r.v.例1.設(shè)X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律:X-1012pk0.20.30.10.4X-1012pk0.20.30.10.4Y4101即Y014pk0.10.70.21.

離散型r.v.函數(shù)的概率分布的求法:設(shè)X的概率分布如下表:Xx1x2…xk…P{X=xi}p1p2…pk...(1)記yi=g(xi)(i=1,2,…),若yi的值是互不相同的,則Y的概率分布如下表:Yy1y2…yk…P{Y=yi}p1p2…pk...二、X為連續(xù)型r.v.(2)若g(x1),g(x2),…中不是互不相同的,則應(yīng)將那些相同值所對應(yīng)的概率pi相加,可得Y的分布律.1.“分布函數(shù)法”:(1)先求出Y的分布函數(shù):FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{XG},其中

G={x:g(x)≤y},轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的事件,再利用X

的分布函數(shù)表示.(2)對y求導(dǎo)得到Y(jié)的概率密度:fY(y)=FY′

(y).(1)若f(x)在有限區(qū)間[a,b]以外等于零,則只需假設(shè)在[a,b]上g(x)嚴格單調(diào),

選取

=min(g(a),g(b)),=max(g(a),g(b)).2.定理:設(shè)X是連續(xù)型r.v.,具有概率密度fX(x),設(shè)y=g(x)是x的嚴格單調(diào)函數(shù),且反函數(shù)x=h(y)具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù).當g(x)嚴格增加時,

記=g(-),=g(+);

當g(x)嚴格減少時,

記=g(+),=g(-),則Y的概率密度為:

(2)定理中條件y=g(x)是X的嚴格單調(diào)函數(shù)是相當苛刻的,許多常見的函數(shù)都不能滿足,因此,求隨機變量的函數(shù)的分布時,只能用“分布函數(shù)法”直接求解.例4.r.v.X~N(,2),證明X的線性函數(shù)Y=aX+b(a≠0)也服從正態(tài)分布.第二章

習(xí)題課

一.本章目的:二.本章思路:把高等數(shù)學(xué)這一強大工具用在概率的研究中去.樣本數(shù)量化==>用實數(shù)來標識==>隨機變量==>隨機變量的分布函數(shù).1.作一個從樣本空間到實數(shù)集的映射,使樣本從“語言描述”變成“實數(shù)變量”.2.介紹了幾種離散型隨機變量的分布律.3.針對實踐中人們關(guān)心隨機變量落入某個區(qū)間的概率,定義了分布函數(shù)的概念.4.由分布函數(shù)的連續(xù)積分表達式定義出連續(xù)型隨機變量的概率密度,使概率的求解轉(zhuǎn)化為概率密度的定積分的計算.三.練習(xí)以可以用公式法例.X~b(n,p),求k,使P{X=k}取最大值.例.設(shè)X~N(0,1),求Y=2X2+1的概率密度.第三章

多維隨機變量及其分布§1

二維隨機變量

在某些實際問題中,往往需要同時用兩個或兩個以上的隨機變量來描述試驗的結(jié)果,例如某地區(qū)對兒童進行抽查身體,測量被抽兒童的身高H和體重W,這里樣本空間S={e}={某地區(qū)的全部兒童},而H(e)和W(e)是定義在S上的兩個隨機變量.1.二維r.v.定義:設(shè)E是一個隨機試驗,樣本空間是

S={e},設(shè)X=X(e)和Y=Y(e)是定義在S上的r.v.,由它們構(gòu)成的一個向量(X,Y),叫做二維r.v.注:

二維r.v.(X,Y)的性質(zhì)不僅與X和Y有關(guān),而且還依賴于這兩個r.v.的相互關(guān)系.如何描述二維r.v.(X,Y)的統(tǒng)計規(guī)律?

首先可用分布函數(shù).2.二維r.v.(聯(lián)合)分布函數(shù):圖2二維r.v.的分布函數(shù)的基本性質(zhì)與一維r.v.的分布函數(shù)F(x)的性質(zhì)類似.若將(X,Y)看成平面上隨機點的坐標,則分布函數(shù)F(x,y)的值為(X,Y)落在陰影部分的概率(如圖1)圖13.下面分別討論二維離散型和連續(xù)型r.v.

(一)二維離散型r.v.例1.設(shè)r.v.X在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能地取值,r.v.Y則在1~X中等可能地取一整數(shù),試求(X,Y)的分布律.Y123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16X(二)二維連續(xù)型r.v.注:

關(guān)于二維r.v.的定義,分布函數(shù)及其性質(zhì),二維離散型r.v.連續(xù)型r.v.等概念不難推廣到n(n>2)維r.v.的情況.§2.

邊緣分布

一、邊緣分布函數(shù)：二、邊緣分布律：例1(續(xù))Y1234p?j

11/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16

pi?X1/41/41/41/425/4813/487/483/481三、邊緣概率密度:注:

由二維隨機變量(X,Y)的概率分布(X,Y的聯(lián)合分布可唯一地確定X和Y的邊緣分布,反之,若已知X,Y的邊緣分布,并不一定能確定它們的聯(lián)合分布.§3.

條件分布

一、二維離散型r.v.的情況:例1.設(shè)(X,Y)的分布律為:Y012300.8400.0300.0200.01010.0600.0100.0080.00220.0100.0050.0040.001求在X=1時Y的條件分布律.X用表格形式表示為:

k012P{Y=k|X=1}2/32/91/9例2一射擊手進行射擊,擊中目標的概率為p(0<p<1),射擊到擊中目標兩次為止,設(shè)以X表示首次擊中目標進行的射擊次數(shù),以Y表示總共進行的射擊次數(shù),試求X和Y的聯(lián)合分布律和條件分布律.二、二維連續(xù)型r.v.首先引入條件分布函數(shù),然后得到條件概率密度.進一步可以化為:進一步可以化為:例3.設(shè)數(shù)X在區(qū)間(0,1)上隨機地取值,當觀察到X=x(0<x<1)時,數(shù)Y在區(qū)間(x,1)上隨機地取值,求Y的概率密度.§4.

相互獨立的隨機變量

由兩個事件相互獨立的概念可引出兩個隨機變量相互獨立的概念.若P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A,B相互獨立.2.等價定義:例:設(shè)X和Y都服從參數(shù)=1的指數(shù)分布且相互獨立,

試求P{X+Y≤1}.3.命題：設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則X,Y相互獨立的充要條件是=0.所以:=0.4.一個重要定理:設(shè)(X1,X2,…,Xm)和(Y1,Y2,…Yn)相互獨立,則Xi(i=1,2,m)和Yj(j=1,2,n)相互獨立,又若h,g是連續(xù)函數(shù),則h(x)和g(y)相互獨立.5.邊緣分布及相互獨立性的概念可以推廣到n維r.v.的情況.§5.

兩個r.v.的函數(shù)的分布(一)和(Z=X+Y)的分布:

已知(X,Y)的聯(lián)合密度是f(x,y),求Z=X+Y的分布密度.結(jié)論:若X,Y是連續(xù)型r.v.且X與Y相互獨立,則X+Y也是連續(xù)型r.v.且它的密度函數(shù)為X與Y的密度函數(shù)的卷積.例1.(P86)設(shè)X和Y相互獨立,且都服從N(0,1),求:Z=X+Y的分布密度.結(jié)論:(二)M=max(X,Y)及m=min(X,Y)的分布:設(shè)X,Y相互獨立,分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y).首先求M=max(X,Y)的分布.推廣:

設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨立,分布函數(shù)分別為F1(x),F2(x),…,Fn(x),則M=max(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)為

FM(z)=F1(z)·F2(z)…Fn(z)N=min(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)為FN(z)=1-(1-F1(z))·(1-F2(z))…(1-Fn(z))特別地,當X1,X2,…,Xni.i.d.時,設(shè)分布函數(shù)為F(x),(四)利用“分布函數(shù)法”導(dǎo)出兩r.v.的和,商等的分布函數(shù)或密度函數(shù)的公式,其要點為:(五)對于離散型r.v.的函數(shù)的分布:設(shè)X,Y是離散型r.v.且相互獨立,其分布律分別為:P{X=i}=pi,i=0,1,2,3,…,P{Y=j}=qj,j=0,1,2,3,…,求Z=X+Y的分布律.解:P{Z=i}=P{X+Y=i}(X與Y相互獨立)于是有:這就是Z=X+Y的分布律.例設(shè)X,Y是相互獨立的r.v.,分別服從參數(shù)為1,2的泊松分布,試證明Z=X+Y也服從泊松分布.證明:已知由上式知,P{Z=i}從而證明Z=X+Y也服泊松分布.第三章習(xí)題課一.主要內(nèi)容：(1)二維r.v.的分布函數(shù),離散型r.v.的聯(lián)合分布,連續(xù)型r.v.的聯(lián)合概率密度.(2)邊緣分布函數(shù);邊緣分布律;邊緣概率密度.(3)條件分布律;條件概率密度.(4)隨機變量的相互獨立.(5)兩個r.v.函數(shù)的分布.1.設(shè)某人從1,2,3,4四個數(shù)中依次取出兩個數(shù),記X為第一次所取出的數(shù),Y為第二次所取出的數(shù),若第一次取后不放回,求X和Y的聯(lián)合分布律.二.練習(xí)題:1.設(shè)某人從1,2,3,4四個數(shù)中依次取出兩個數(shù),記X為第一次所取出的數(shù),Y為第二次所取出的數(shù),若第一次取后不放回,求X和Y的聯(lián)合分布律.=P{X=i}P{Y=j|X=i}6.設(shè)離散型隨機變量X與Y的分布列分別為X012Y01pk1/23/81/8pk

1/32/3且X與Y相互獨立,求:(1)Z=X+Y的分布列;(2)(X,Y)的聯(lián)合分布列;(3)M=max(X,Y);(4)N=min(X,Y).6.設(shè)離散型隨機變量X與Y的分布列分別為X012Y01pk1/23/81/8pk

1/32/3且X與Y相互獨立,求:(1)Z=X+Y的分布列;(2)(X,Y)的聯(lián)合分布列;(3)M=max(X,Y);(4)N=min(X,Y).解:Z0123pk1/12P{Z=0}=P{X=0,Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=1/6.1/6P{Z=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}=11/24.11/24P{Z=2}=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=0}=7/24.7/24P{Z=3}=P{X=2,Y=1}=1/12.(2)Y0101/61/311/81/421/241/12x(3)M012

pkP{M=0}=P{X=0,Y=0}=1/6;1/6P{M=1}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=1}=1/4+1/8+1/3=17/24;17/24P{M=2}=P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=1/8;1/8(4)N01pkP{N=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}=1/6+1/3+1/8+1/24=2/3;2/3P{N=1}=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=1}=1/31/3復(fù)習(xí)題（三）第4題第四章

隨機變量的數(shù)字特征§1.隨機變量的數(shù)學(xué)期望解:計算X1的均值,由定義有

E(X1)例1.甲,乙兩人進行打靶,所得分數(shù)分別記為X1,X2,它們的分布律分別為:X1012X2012pk00.20.8pk

0.60.30.1試評定他們的成績好壞.=00+10.2+20.8=1.8E(X2)=00.6+10.3+20.1=0.5顯然,乙的成績比甲的差.解:Xk(k=1,2)的分布函數(shù)為:例3，例4，例53.隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式:說明:1.在已知Y是X的連續(xù)函數(shù)前提下,當我們求E(Y)時不必知道Y的分布,只需知道X的分布就可以了.2.上述定理可以推廣到多維r.v.函數(shù).4.均值的性質(zhì):(1)E(c)=c;(c為常數(shù))說明:i.性質(zhì)(3)和(4)可以推廣到有限個r.v.(X1,X2,…,Xn)的情況.(2)E(cX)=cE(X);(c為常數(shù))(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4)設(shè)X,Y相互獨立,則E(XY)=E(X)E(Y);(5)|E(XY)|2≤E(X2)E(Y2).(柯西-許瓦爾茲不等式)ii.對于“和”,不要求X1,X2,…,Xn相互獨立;對于“積”要求X1,X2,…,Xn相互獨立.例.二項分布的均值的計算:設(shè)X~b(n,p),引入r.v.Xi(i=1,2,…,n),它們是相互獨立的且都服從0--1分布:P{Xi=1}=p,P{Xi=0}=q,X表示n次獨立重復(fù)試驗中A發(fā)生的次數(shù),Xi表示第i次試驗的結(jié)果:Xi=1表示A發(fā)生,Xi=0表示A不發(fā)生,所以說明:

將X分解成數(shù)個r.v.之和,然后利用r.v.和的數(shù)學(xué)期望等于r.v.的數(shù)學(xué)期望之和來求解.這個方法具有一定的普遍意義.§2.方差

方差描述了r.v.對其數(shù)學(xué)期望的離散程度,在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中十分重要.一、定義若X為離散型r.v.其分布律為

P{X=xk}=pk,k=1,2,…,則例1.設(shè)隨機變量X具有(0--1)分布,其分布律為P{X=0}=1-p,P{X=1}=p,求:D(X).解:E(X)=0?(1-p)+1?p=p,E(X2)=02?(1-p)+12?p=p,故D(X)=E(X2)-[E(X)]2=p-p2=p(1-p).二、方差的性質(zhì)及切比雪夫不等式：1.性質(zhì):10設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0;20

設(shè)X是r.v.,C是常數(shù),則有D(CX)=C2D(X);30設(shè)X,Y是兩個相互獨立的隨機變量,則有

D(X+Y)=D(X)+D(Y);40D(X)=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)C,

即P{X=C}=1.2.切比雪夫不等式:

幾種重要r.v.的數(shù)學(xué)期望及方差

1.一些常用的離散型r.v.的均值及方差:100--1分布:(參見例1).2.一些常用的連續(xù)型r.v.的均值及方差:切比雪夫不等式:§3.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)(i)XY是一個無量綱的量.(ii)Cov(X,X)=D(X).(iii)對于任意兩個r.v.X和Y,有

D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).(iv)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(二)協(xié)方差的性質(zhì):10Cov(X,Y)=Cov(Y,X);20Cov(a1X,a2Y)=a1a2Cov(X,Y),其中a1,a2,是常數(shù);30Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);40|Cov(X,Y)|2≤D(X)·D(Y);50

若X,Y相互獨立,則Cov(X,