第=page11頁，共=sectionpages11頁浙江省稽陽聯誼學校2025年4月高三聯考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知全集U={x∈N|x≤3}，A={1,2,3}，B={x∈N|x2?x≤2}，則?A.{0,1,3} B.{0,1} C.{0,3} D.{0,2,3}2.已知i為虛數單位，復數z滿足z(1+i)=(3?i)，則z的共軛復數z的模為(

)A.5 B.22 C.3.下列可以作為方程x3+y3A. B.

C. D.4.已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如下圖所示，y=f(x)的圖象與y軸交于點C，D(5,0)，B(2,A)，且BC?CDA.4 B.25 C.105.記數列{an}的前n項和為Sn，若a1=1，aA.33 B.46 C.49 D.426.如下圖，橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)與雙曲線x2m2?y2n2=1有共同的右焦點FA.5?12 B.22 7.已知函數f(x)的定義域為[2,+∞)，f′(x)為f(x)的導函數，滿足f′(x)xlnx+f(x)=x2，且f(2)=2ln2.已知a與bA.22?2 B.52 C.8.有6張卡片，正面分別寫有數字1，2，3，4，5，6，且背面均寫有數字7.先把這些卡片正面朝上排成一排.規定一次試驗：擲一顆均勻的骰子一次，若點數為n，則將向上數字為n的卡片翻面并放置原處;若沒有向上數字為n的卡片，則卡片不作翻動.進行上述試驗3次，發現卡片朝上的數字之和為偶數，在這一條件下，骰子恰有一次點數為2的概率為(

)A.1336 B.313 C.1139二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.若隨機變量X服從正態分布X~N(3,σ2),且P(X≤4)=0.7,則P(3<X<4)=0.2

B.數據5,8,10,12,13的第40百分位數是8

C.在一元線性回歸模型中,若決定系數R2=1,則殘差的平方和為0

D.x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4的方差分別為S12和S22,若x10.正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，點P、Q分別在線段A1D、A.正方體被經過P、Q兩點的平面所截，其截面的形狀有可能是六邊形

B.PQ不可能與A1D、AC都垂直

C.PQ有可能與正方體的六個表面所成的角都相等

D.線段PQ的中點M所圍成的區域的面積為11.設a和b是兩個整數，如果a和b除以正整數m所得的余數相同，則稱a和b對于模m同余，記作a≡b(modm).(

)A.若公比為q的等比數列{an}滿足a1≡a2(modq)，則Sn≡an(modq)

B.若公比為q的等比數列{an}滿足Sn≡an(modq)，則a1≡a2(modq)

C.若{an三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若非零向量a，b滿足|a|=2|b|，且向量b在向量a上的投影向量是?34a，則向量13.已知P是直線l:x+y?2=0上的任意一點，若過點P作圓O:x2+y2=1的兩條切線，切點分別記為A、B，則劣弧14.若eax+1?x≥(ax+lnx+1)(ax?lnx+1)恒成立，則實數四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，BC=1且bcosC+3(1)求∠B的大?。?2)如圖所示，D為△ABC外一點，∠DCB=∠B，CD=3，AC=AD，求sin16.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，AB=AC，D為BC的中點，P在底面的投影O落在線段AD上．

(1)證明：AP⊥BC;(2)若BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.M在線段AP上，且滿足平面AMC⊥平面BMC.求直線BM與直線CP夾角的余弦值．17.(本小題15分)已知整數數列{an}滿足2an=an+1+an?1(n≥2)，數列{bn}是公比大于1的等比數列，且b1+b2(1)求Sn和(2)用[x]表示不超過x的最大整數，求數列{[Tn]}的前2025項和18.(本小題17分)已知函數f(x)=a(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(2)若函數f(x)無極值點，求實數a的取值范圍;(3)若x0為函數f(x)的極小值點，證明：3219.(本小題17分)位于第一象限的一點P1(x1,y1)滿足x12>2y1，過P(1)證明：x(2)ⅰ.若過P2的另一條切線切x2=2y于A2，設P3為P2關于A2的對稱點，如此重復進行下去，若Pn+1為ⅱ.由ⅰ所設且P1(1,0)，求|P參考答案1.C

2.A

3.D

4.C

5.A

6.C

7.B

8.C

9.AC

10.ACD

11.ABD

12.5π613.π214.[115.解：(1)∵bcosC+3csinB=1+2c=?a+2c，

∴在△ABC中，由正弦定理得，sinBcosC+3sinCsinB=sinA+2sinC，

由三角形內角和為180°可得sinA=sin(B+C)，

∴sinBcosC+3sinCsinB=sin(B+C)+2sinC=sinBcosC+cosBsinC+2sinC，

即3sinCsinB?cosBsinC=2sinC，

16.解：(1)證明：因為AB=AC，D為BC的中點，故AD⊥BC，

又PO⊥面ABC，故得PO⊥BC，

PO∩AD=O,PO,AD?面APO，

所以BC⊥面APO，又AP?面APO，

從而AP⊥BC。

(2)以O為坐標原點，以射線OD為y軸正半軸，射線OP為z軸正半軸建立如圖所示的空間直角坐標系O?xyz

，

則AO=3，O(0,0,0)，A(0,?3,0)，B(4,2,0)，C(?4,2,0)，P(0,0,4).于是AP=(0,3,4)，BC=(?8,0,0)，

令AM=λAP=(0,3λ,4λ)，所以M=(0,3λ?3,4λ)，又

因為AC=(?4,5,0)，設面AMC的法向量為m=(x,y,z)．

所以?4x+5y=03λy+4λz=0，所以m=(5,4,?3)．

又BC=(?8,0,0)，BA=(?4,?5,0)，

所以BM=BA+AM=(?4,3λ?5,4λ)，

設面BMC的法向量為n=(x1,y1,z1);

所以8x1=0?4x1+(3λ?5)y1+4λz1=0，所以n17.(1)當n=1時，1<2S1<4．

又因為an∈Z，所以a1=1．

設an=1+(n?1)d，則Sn=n+n(n?1)2d，

依題意，n2<2n+n(n?1)d<(n+1)2，

得1?dn+d?2<0d?1n2?dn?1<0恒成立，

解得d=1，所以，an=n，Sn=12n(n+1)，

設等比數列{bn}的公比為q，b1+b2+b3=14，b1b2b3=64．

所以b1+b1q+b1q2=14，b13q3=64．

18.解：(1)因為f′(x)=acosx+21?x2，所以f′(0)=a+2，

又因為f(0)=0，所以切線方程為y=(a+2)x；

(2)函數f(x)定義域為(?1,1)，因為函數f(x)無極值點，

所以f′(x)=acosx+21?x2恒大于等于0，或者恒小于等于0．

又因為21?x2>0，所以f′(x)=acosx+21?x2≥0.

所以f′(0)=a+2≥0，即a≥?2，所以由必要性開路可得a≥?2；

下證充分性：即a≥?2且x∈(?1,1)時，f′(x)=acosx+21?x2≥0.

令g(a)=acosx+21?x2，則g′(a)=cosx>0，

所以g(a)=acosx+21?x2在a≥?2上單調遞增，

所以g(a)≥?2cosx+21?x2，所以即證?2cosx+21?x2≥0.

令?(x)=?2cosx+21?x2，

則?′(x)=2sinx+4x(1?x2)2在x∈(?1,1)單調遞增，且?′(0)=0．

所以?(x)在(?1,0)上單調遞減，在(0,1)上單調遞增，所以?(x)≥?(0)=0，得證；

綜上可得，若函數f(x)無極值點，實數a的取值范圍為a≥?2。

(3)由(2)可得，當a≥?2時，函數f(x)無極值點．

當a<?2時，又因為此時f′′(x)=?asinx+4x(1?x2)2在x∈(?1