主講：王斌梅單位：海寧一中為什么能用祖暅原理求球的體積主講：王斌梅為什么能用祖暅原理求球的體積

知識背景早在1000多年前，數(shù)學(xué)家祖暅就能用巧妙的方法計算出球體體積.為了紀(jì)念祖暅的貢獻，我們把這種方法成為“祖暅原理”.

提出問題什么是祖暅原理呢？

如何來用它求球的體積呢？

實驗分析取一疊裁切相同的紙張堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改變其形狀．思考：推斜以后體積變化了嗎？高度有沒有改變？每張紙的面積有沒有改變？

祖暅原理祖暅在長期實踐的基礎(chǔ)上，提出了下面的體積計算原理：

冪勢既同，則積不容異

祖暅原理兩個夾在平行平面間的幾何體，被平行于兩平面的任意平面所截，若截面積總相等，則這兩個幾何體的體積必相等．

冪勢既同，則積不容異

祖暅原理在西方，球體的體積計算方法雖然早已由希臘數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)，但“祖暅原理”是在獨立研究的基礎(chǔ)上得出的，且比阿基米德的內(nèi)容要豐富，涉及的問題要復(fù)雜。二者有異曲同工之妙。這一原理主要應(yīng)用于計算一些復(fù)雜幾何體的體積上面。在西方，直到17世紀(jì)，才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里(Cavalieri.B,1589-1647)發(fā)現(xiàn)。于1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》中，提出了等積原理，所以西方人把它稱之為"卡瓦列里原理"。其實，他的發(fā)現(xiàn)要比我國的祖暅晚1100多年。

柱的體積這三個柱體等高，所以可夾在兩個平行平面之間；三個柱體被平行于兩平面的任意平面所截；三個截面的面積總相等．

柱的體積定理柱體的體積等于它的底面積S和高h的積V=Sh

錐的體積如何把一個三棱柱分割成三個等體積的棱錐？如圖，我們可以把三棱柱分割成三個等體積的三棱錐。三棱錐如果以三角形ABC為底面。這說明三棱錐的體積等于它的底面積乘以高的積的三分之一。

錐的體積事實上，對于一個任意的錐體，設(shè)它的底面積為S，高為h，那么錐體的體積等于三分之一的底乘高，即

球的體積我們不妨研究半球（半徑為R）的體積，用平行于底面且與底面的距離為l的平面截半球，所得的圓面半徑為r，.

球的體積我們?nèi)∫粋€底面半徑和高都為R的圓柱，從圓柱中間挖去一個圓錐（圓錐的頂點為圓柱下底面的圓心，底面為圓柱的上底面）.

球的體積圓環(huán)面面積，故圓面的面積

根據(jù)祖暅原理，這兩個幾何體體積相等.即

練習(xí)1.判斷：

（1）底面積相等高相等的兩個幾何體體積相等.（）（2）體積相等的兩個幾何體大小形狀一定相同.（）

（3）大小形狀相同的兩個幾何體體積一定相等.（）2.計算如圖半球在高度h處的截面面積RRh

祖暅原理運用球的體積的推導(dǎo)在中學(xué)教材中是構(gòu)造性證明的典范，也是我國古代數(shù)學(xué)的杰出成就之一。在中學(xué)教材中對其有詳細的推導(dǎo)過程，但如果我們只停留在球的體積推導(dǎo)上面，那么這種構(gòu)造性證明對思維的鍛煉價值就不能得到充分發(fā)揮。所以請思考如下問題：

祖暅原理運用球是圓的旋轉(zhuǎn)體，而橢圓、雙曲線、拋物線與圓同屬于圓錐曲線，那么橢圓、雙曲線、拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體，體積又如何求呢？我們能不能將球的體積的推導(dǎo)方法遷移到旋轉(zhuǎn)橢球體，旋轉(zhuǎn)雙曲體和旋轉(zhuǎn)拋物體的求法中去？

祖暅原理運用橢球的體積將橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體稱之為旋轉(zhuǎn)橢球體。那么這個橢球體的體積如何求呢？分析：橢圓和圓屬于圓錐曲線，它們是類似圖形，那么類似圖形是否也有類似的推導(dǎo)方法呢？下面我們嘗試一下如何構(gòu)建幾何模型。

祖暅原理運用取一個底面圓半徑為a高為b的圓柱，從圓柱中挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐，把所得的幾何體和半橢球體放在同一平面α上，那么這兩個幾何體也就夾在兩個平行平面之間了，現(xiàn)在用平行于平面α的任意平面β去截這兩個幾何體，則截面分別是圓面和圓環(huán)面。

祖暅原理運用

祖暅原理運用小結(jié)：上述推導(dǎo)方法其實是球的體積推導(dǎo)方法的“重演”。這實質(zhì)上是一種同化性遷移。它是在不改變原有知識結(jié)構(gòu)的前提下，直接將原有的經(jīng)驗應(yīng)用到本質(zhì)相同的一類事物中去，從而直接完成遷移。在這里主要依賴于事物之間的本質(zhì)特征的相似性，從而在實質(zhì)認(rèn)同的基礎(chǔ)上實現(xiàn)本質(zhì)類化。

祖暅原理運用旋轉(zhuǎn)拋物體的體積已知拋物線（p＞0）。以y軸為繞轉(zhuǎn)軸將拋物線旋轉(zhuǎn)一周，得到一旋轉(zhuǎn)拋物面，設(shè)x軸繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的平面為α，β為平行于α且到α的距離為h的平面，求平面α與旋轉(zhuǎn)拋物面所圍成的幾何體體積。分析：在前面我們通過本質(zhì)類化的方法，很容易地將問題解決了，在構(gòu)造模型時，我們利用了兩個基本的幾何體——圓錐和圓柱。而作為同屬于圓錐曲線的拋物線所旋轉(zhuǎn)得到的幾何體，是否也可利用這兩個基本圖形來構(gòu)造新的模型呢？

祖暅原理運用模型的構(gòu)造：以旋轉(zhuǎn)拋物體的上底面為底面作一高為h的圓柱體，然后將旋轉(zhuǎn)拋物體取出，如圖所示，置于平面是α內(nèi)。現(xiàn)用一平行于平面α且距α的距離為h1的平面去截這個幾何體，則截面分別為一圓環(huán)和圓。

祖暅原理運用

祖暅原理運用旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面的體積將雙曲線繞虛軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體稱之為旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面，如果把實軸繞虛軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的平面記為α，平面β是一個平行于α且距α的距離為h的平面，求α、β和旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面所圍成的幾何體的體積。分析：如果我們還是仿照之前問題中的方法去構(gòu)造圓柱體，再挖出一個圓錐體，已不再湊效，那么我們可考慮一下雙曲線有什么特殊的性質(zhì)？

祖暅原理運用雙曲線有兩條漸近線，而橢圓與拋物線則沒有。如果我們從這一差異入手讓兩條漸近線也一同繞虛軸旋一周，那么在α與β之間也就形成了一個圓錐體，這正是我們所需的幾何圖模型。

祖暅原理運用

祖暅原理運用評注：對于此問題的解決，我們沒有去構(gòu)造兩個幾何體使它們的體積相等，而是運用了割補思想，創(chuàng)造性應(yīng)用了祖暅原理。在旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面問題中，我們將基本經(jīng)驗（圓柱體中挖出一個幾何體）進行了調(diào)整，將基本要素：所求幾何體、圓錐體、圓柱體等進行了重組，擴展了基本原理的適應(yīng)范圍，體現(xiàn)了創(chuàng)造性思維。

謝謝!謝謝!主講：王斌梅單位：海寧一中為什么能用祖暅原理求球的體積主講：王斌梅為什么能用祖暅原理求球的體積

知識背景早在1000多年前，數(shù)學(xué)家祖暅就能用巧妙的方法計算出球體體積.為了紀(jì)念祖暅的貢獻，我們把這種方法成為“祖暅原理”.

提出問題什么是祖暅原理呢？

如何來用它求球的體積呢？

實驗分析取一疊裁切相同的紙張堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改變其形狀．思考：推斜以后體積變化了嗎？高度有沒有改變？每張紙的面積有沒有改變？

祖暅原理祖暅在長期實踐的基礎(chǔ)上，提出了下面的體積計算原理：

冪勢既同，則積不容異

祖暅原理兩個夾在平行平面間的幾何體，被平行于兩平面的任意平面所截，若截面積總相等，則這兩個幾何體的體積必相等．

冪勢既同，則積不容異

祖暅原理在西方，球體的體積計算方法雖然早已由希臘數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)，但“祖暅原理”是在獨立研究的基礎(chǔ)上得出的，且比阿基米德的內(nèi)容要豐富，涉及的問題要復(fù)雜。二者有異曲同工之妙。這一原理主要應(yīng)用于計算一些復(fù)雜幾何體的體積上面。在西方，直到17世紀(jì)，才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里(Cavalieri.B,1589-1647)發(fā)現(xiàn)。于1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》中，提出了等積原理，所以西方人把它稱之為"卡瓦列里原理"。其實，他的發(fā)現(xiàn)要比我國的祖暅晚1100多年。

柱的體積這三個柱體等高，所以可夾在兩個平行平面之間；三個柱體被平行于兩平面的任意平面所截；三個截面的面積總相等．

柱的體積定理柱體的體積等于它的底面積S和高h的積V=Sh

錐的體積如何把一個三棱柱分割成三個等體積的棱錐？如圖，我們可以把三棱柱分割成三個等體積的三棱錐。三棱錐如果以三角形ABC為底面。這說明三棱錐的體積等于它的底面積乘以高的積的三分之一。

錐的體積事實上，對于一個任意的錐體，設(shè)它的底面積為S，高為h，那么錐體的體積等于三分之一的底乘高，即

球的體積我們不妨研究半球（半徑為R）的體積，用平行于底面且與底面的距離為l的平面截半球，所得的圓面半徑為r，.

球的體積我們?nèi)∫粋€底面半徑和高都為R的圓柱，從圓柱中間挖去一個圓錐（圓錐的頂點為圓柱下底面的圓心，底面為圓柱的上底面）.

球的體積圓環(huán)面面積，故圓面的面積

根據(jù)祖暅原理，這兩個幾何體體積相等.即

練習(xí)1.判斷：

（1）底面積相等高相等的兩個幾何體體積相等.（）（2）體積相等的兩個幾何體大小形狀一定相同.（）

（3）大小形狀相同的兩個幾何體體積一定相等.（）2.計算如圖半球在高度h處的截面面積RRh

祖暅原理運用球的體積的推導(dǎo)在中學(xué)教材中是構(gòu)造性證明的典范，也是我國古代數(shù)學(xué)的杰出成就之一。在中學(xué)教材中對其有詳細的推導(dǎo)過程，但如果我們只停留在球的體積推導(dǎo)上面，那么這種構(gòu)造性證明對思維的鍛煉價值就不能得到充分發(fā)揮。所以請思考如下問題：

祖暅原理運用球是圓的旋轉(zhuǎn)體，而橢圓、雙曲線、拋物線與圓同屬于圓錐曲線，那么橢圓、雙曲線、拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體，體積又如何求呢？我們能不能將球的體積的推導(dǎo)方法遷移到旋轉(zhuǎn)橢球體，旋轉(zhuǎn)雙曲體和旋轉(zhuǎn)拋物體的求法中去？

祖暅原理運用橢球的體積將橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體稱之為旋轉(zhuǎn)橢球體。那么這個橢球體的體積如何求呢？分析：橢圓和圓屬于圓錐曲線，它們是類似圖形，那么類似圖形是否也有類似的推導(dǎo)方法呢？下面我們嘗試一下如何構(gòu)建幾何模型。

祖暅原理運用取一個底面圓半徑為a高為b的圓柱，從圓柱中挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐，把所得的幾何體和半橢球體放在同一平面α上，那么這兩個幾何體也就夾在兩個平行平面之間了，現(xiàn)在用平行于平面α的任意平面β去截這兩個幾何體，則截面分別是圓面和圓環(huán)面。

祖暅原理運用

祖暅原理運用小結(jié)：上述推導(dǎo)方法其實是球的體積推導(dǎo)方法的“重演”。這實質(zhì)上是一種同化性遷移。它是在不改變原有知識結(jié)構(gòu)的前提下，直接將原有的經(jīng)驗應(yīng)用到本質(zhì)相同的一類事物中去，從而直接完成遷移。在這里主要依賴于事物之間的本質(zhì)特征的相似性，從而在實質(zhì)認(rèn)同的基礎(chǔ)上實現(xiàn)本質(zhì)類化。

祖暅原理運用旋轉(zhuǎn)拋物體的體積已知拋物線（p＞0）。以y軸為繞轉(zhuǎn)軸將拋物線旋轉(zhuǎn)一周，得到一旋轉(zhuǎn)拋物面，設(shè)x軸繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的平面為α，β為平行于α且到α的距離為h的平面，求平面α與旋轉(zhuǎn)拋物面所圍成的幾何體體積。分析：在前面我們通過本質(zhì)類化的方法，很容易地將問題解決了，在構(gòu)造模型時，我們利用了兩個基本的幾何體——圓錐和圓柱。而作為同屬于圓錐曲線的拋物線所旋轉(zhuǎn)得到的幾何體，是否也可利用這兩個基本圖形來構(gòu)造新的模型呢？

祖暅原理運用模型的構(gòu)造：以旋轉(zhuǎn)拋物體的上底面為底面作一高為h的圓柱體，然后將旋轉(zhuǎn)拋物體取出，如圖所示