復變函數與積分變換》期末考試一試卷及[1]復變函數與積分變換》期末考試一試卷及[1]8/8復變函數與積分變換》期末考試一試卷及[1]一．填空題〔每題3分，合計15分〕1．1i3的幅角是〔32k,k0,1,2〕；22.Ln(1i)的主值是〔1ln23i〕；243.f(z)1，f(5)(0)〔0〕，1z24．z0zsinz是z4的〔一級〕極點；5．f(z)1，Res[f(z),]〔-1〕；z二．選擇題〔每題4分，共24分〕1．分析函數f(z)u(x,y)iv(x,y)的導函數為〔B〕；〔A〕f(z)uxiuy；〔B〕f(z)uxiuy；〔C〕f(z)uxivy；〔D〕f(z)uyivx.2．C是正向圓周z3，假如函數f(z)〔D〕，那么f(z)dz0．C33(z1)3(z1)3〔A〕z2；〔B〕z2；〔C〕(z2)2；〔D〕(z2)2.3．假如級數cnzn在z2點收斂，那么級數在〔C〕n1〔A〕z2點條件收斂；〔B〕z2i點絕對收斂；〔C〕z1i點絕對收斂；〔D〕z12i點必定發散．４．以下結論正確的選項是(B)〔A〕假如函數f(z)在z0點可導，那么f(z)在z0點必定分析；(B)假如f(z)在C所圍成的地區內分析，那么f(z)dz0C〔C〕假如f(z)dz0，那么函數f(z)在C所圍成的地區內必定分析；C〔D〕函數f(z)u(x,y)iv(x,y)在地區內分析的充分必需條件是u(x,y)、v(x,y)在該地區內均為調解函數．5．以下結論不正確的選項是〔D〕．(A)、為sin1的可去奇點；(B)、為sinz的天性奇點；z(C)、為11的孤立奇點.(D)、為1的孤立奇點；sinsinzz三．按要求達成以下各題〔每題10分，共40分〕〔1〕．設f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2)是分析函數，求a,b,c,d.解：由于f(z)分析，由C-R條件uvuvxyyx2xaydx2yax2by2cxdy,a2,d2,，a2c,2bd,c1,b1,給出C-R條件6分，正確求導給2分，結果正確2分。〔2〕．計算ezdz此中C是正向圓周：C(z1)2z解：本題能夠用柯西公式柯西高階導數公式計算也可用留數計算洛朗睜開計算，僅給出用前者計算過程由于函數f(z)ez在復平面內只有兩個奇點z10,z21，分別以z1,z2為圓心畫互不(z1)2z相交互不包含的小圓c1,c2且位于c內ezez2ezdz(z1)z2dz(z1)2zdzC2(z1)CzC12i(ez)2iez2izz1(z1)2z0不論采納那種方法給出公式起碼給一半分，其余酌情給分。z15〔3〕．解：設f(z)在有限復平面內所有奇點均在：z3內，由留數定理z3(1z15z4)3dz2iRes[f(z),]〔5分〕z2)2(22iRes[f(1)1]〔8分〕zz211(1)151zf(z)z2(11)2(2(1)4)3z2z2zf(1)113有獨一的孤立奇點z0,z2z(1z2)2(2z41)zRes[f(1)12,0]limzf(1)12lim(1z2)2141)31zzz0zzz0(2zz15z3(1z2)2(2z4)3dz2i〔10分〕〔4〕函數f(z)z(z21)(z2)33)2在擴大復平面上有什么種類的奇點，假如有極點，(sinz)3(z請指出它的級.解：f(z)z(z21)(z2)3(z3)2的奇點為zk,k0,1,2,3,，(sinz)3〔1〕zk,k0,1,2,3,為〔sin30的三級零點，z〕〔2〕z0，z1,為f(z)的二級極點，z2是f(z)的可去奇點，3〕z3為f(z)的一級極點，〔4〕z2,3,4，為f(z)的三級極點；〔5〕為f(z)的非孤立奇點。備注：給出所有奇點給5分，其余酌情給分。1在以下地區內睜開成羅朗級數；四、〔本題14分〕將函數f(z)z2(z1)〔1〕0z11，〔2〕0z1，〔3〕1z解：〔1〕當0z11f(z)111z2(z1)[](z1)(z11)而[(z1][(1)n(z1)n]11)n0(1)nn(z1)n1n0f(z)(1)n1n(z1)n26分n0〔2〕當0z1f(z)111znz2(z1)z2(1z)=z2n0zn210分n0〔3〕當1zf(z)11z2(z1)31z)(1zf(z)1(1)n114分z3n0zn0zn3一．填空題〔每題3分，合計15分〕1．2,k01,2,〕；242.Ln(1i)的主值是〔1ln2i〕；243.f(z)12，f(7)(0)〔0〕；1z4．f(z)zsinz，Res[f(z),0]〔0〕；z3f(z)15．z2，Res[f(z),]〔0〕；得分二．選擇題〔每題3分，合計15分〕1．x2y2是分析函數f(z)u(x,y)iv(x,y)的實部，那么〔A〕；〔A〕f(z)2(xiy)；〔B〕f(z)2(xiy)；〔C〕f(z)2(yix)；〔D〕f(z)2(yix).2．C是正向圓周z2，假如函數f(z)〔A〕，那么f(z)dz0．C〔A〕1；〔B〕sinz12；〔D〕12.z；〔C〕1)1z(z3)(z3．假如級數cnzn在z2i點收斂，那么級數在(C)n1〔A〕z2點條件收斂；〔B〕z2i點絕對收斂；〔C〕z1i點絕對收斂；〔D〕z12i點必定發散．４．以下結論正確的選項是(C)〔A〕假如函數f(z)在z0點可導，那么f(z)在z0點必定分析；(B)假如f(z)dz0,此中C復平面內正向關閉曲線,那么f(z)在C所圍成的地區內必定分析；C〔C〕函數f(z)在z0點分析的充分必需條件是它在該點的鄰域內必定能夠睜開成為zz0的冪級數，并且睜開式是獨一的；〔D〕函數f(z)u(x,y)iv(x,y)在地區內分析的充分必需條件是u(x,y)、v(x,y)在該地區內均為調解函數．5．以下結論不正確的選項是〔C〕．〔A〕lnz是復平面上的多值函數；〔B〕cosz是無界函數；〔C〕sinz是復平面上的有界函數；〔D〕ez是周期函數．得分三．按要求達成以下各題〔每題10分，合計40分〕〔1〕求a,b,c,d使f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2)是分析函數，解：由于f(z)分析，由C-R條件u

v

u

vx

y

y

x2xaydx2yax2by2cxdy,a2,d2,，a2c,2bd,c1,b1,給出C-R條件6分，正確求導給2分，結果正確2分。〔2〕．1dz．此中C是正向圓周z2；Cz(z1)2解：本題能夠用柯西公式柯西高階導數公式計算也可用留數計算洛朗睜開計算，僅給出用前者計算過程由于函數f(z)1在復平面內只有兩個奇點z10,z21，分別以z1,z2為圓心畫互不(z1)2z相交互不包含的小圓c1,c2且位于c內1211(z1)zC(z1)2zdzC1zdzC2(z1)2dz2i(1)2i10zz1(z1)2z01〔3〕．計算z3ezdz，此中C是正向圓周z2；C(1z)解：設f(z)在有限復平面內所有奇點均在：z2內，由留數定理z2f(z)dz2iRes[f(z),]2ic1〔5分〕1z11z3ezz2ezz2(1111)(1111)(1z)1z2!z23!z3zz2z31z(z2z111)(1111)2!3!z4!z2zz2z3c1(1111)82!3!3zf(z)dz82i23〔4〕函數f(z)(z21)(z2)3(sinz)3在擴大復平面上有什么種類的奇點，假如有極點，請指出它的級.f(z)的奇點為zk,k0,1,2,3,，zk,k0,12,3,為〔sin30的三級零點，〕,zz1,為f(z)的二級極點，z2是f(z)的可去奇點，z0,2,3,4，為f(z)的三級極點；為f(z)的非孤立奇點。給出所有奇點給5分。其余酌情給分。得分14分〕將函數f(z)1四、〔本題z2在以下地區內睜開成羅朗級數；(z1)〔1〕0z11，〔2〕0z1，〔3〕1z〔1〕0z11，〔2〕0z1，〔3〕1z