2017年普通高等學校招生全國統一考試理科數學一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x〈1},B={x|3x<1},則A.AQB={xIx<0}B.AUB=RC.AUB={xIx>1}D.AQB=02.如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是1

A.一4nB.—81C.—2nD.一43.設有下面四個命題々若復數z滿足|R，則zeR；P2:若復數Z滿足Z2&R，則Z&RP3:若復數今Z2滿足'1Z2&RP4:若復數Z&R，則Z&R-其中的真命題為A.P,PB.P,P13144.記S為等差數列{A.P,PB.P,P13144.記S為等差數列{a}的前n項和.nA.1nB.25.函數f(x)在(—g,)單調遞減,是A.[—2,2]B.[—1,1]6.C.D.P,P24則{a}的公差為np,p23若a+a=24,S=48,456C.4D.8且為奇函數?若f⑴=—1，則滿足—1<f（x一2）<1的x的取值范圍C.[0,4]D.[1,3](1+m(i+x)6展開式中x2的系數為A.15B.20C.30D.357.7.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為10B.12C.14D.16右面程序框圖是為了求出滿足3n2n>1000的最小偶數n，那么在和―兩個空白框中，可以分別填入A.A>1000和n二n+1B.A>1000和n二n+2C.A<1000和n二n+1D.A<1000和n二n+22n已知曲線C：y二cosx，C:y二sin(2x+)，則下面結論正確的是123nA?把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變’再把得到的曲線向右平移6個單位長度’得到曲n把C上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移百個單位長度，得到曲112線C21n把C上各點的橫坐標縮短到原來的A倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移2個單位長度，得到曲126線C21nd.把C上各點的橫坐標縮短到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移12個單位長度，得到曲線c210?已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l,l,直線l與C交于A、B兩點，直線12112與C交于D、E兩點，貝I」|AB|+|DE|的最小值為A.16B.14C.12D.10設xyz為正數，且2x=3y=5z，貝A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z幾位大學生響應國家的創業號召，開發了一款應用軟件。為激發大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16,…，其中第一項是2。，接下來的兩項是2°,21，再接下來的三項是2°,21，22,依此類推。求滿足如下條件的最小整麹：N>100且該數列的前N項和為2的整數幕。那么該款軟件的激活碼是A.440B.330C.220D.110二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,貝川a+2b|=.x+2y<114?設x,y滿足約束條件<2x+y>-1，則z=3x-2y的最小值為.、x-y<015?已知雙曲線C：蘭-竺=1（a>0,b>0）的右頂點為A,以A為圓心，b為半徑做圓A,圓A與雙曲線C的a2b2一條漸近線交于M、N兩點。若ZMAN=60°，則C的離心率為。16?如圖，圓形紙片的圓心為0,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為0。D、E、F為圓0上的點，△DBC,AECA,AFAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,^ECA,^FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐。當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共60分。a2（12分）AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為—-3sinA

（］）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=l,a=3，求△ABC的周長.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABZBAP=ZCDP=90°(1)證明：平面PAB丄平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC,ZAPD二90°，求二面角A-PB-C的余弦值.19．(12分)為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)?根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布N(RQ2)?假設生產狀態正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(卩-3d,卩+3d)之外的零件數，求P(X>1)及x的數學期望；—天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在(卩-3d,卩+3d)之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．(i)試說明上述監控生產過程方法的合理性;(ii)下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸:(ii)下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸:其中x為抽取i用樣本平均數x作為n的估計值用樣本標準差s作為d的估計值&，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查剔除(n-3d，n+3d)之外的數據，用剩下的數據估計卩和d(精確到).附：若隨機變量z服從正態分布n(n,d2)，則p(n-3d<z<n+3d)二0.9974,0.997416二0.9592，<0.008沁0.09?（12分）x2y2x/3)中恰有已知橢圓C：施+礦1（a>b>0），四點P!（1，1），P2（0，1），P3（-1，?。琍4（b三點在橢圓C上.)中恰有求C的方程；設直線l不經過P點且與C相交于A,B兩點。若直線PA與直線PB的斜率的和為-1,證明：l過定222點.（12分）已知函數f(x)二ae2x+(a-2)ex-x.(1)討論/(x)的單調性；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分［選修4—4:坐標系與參數方程］(10分){x二3cos0(0為參數)，直線l的參數方程為y=sin0,［x=a+4(t為參數).〔y=1-t,(1)若a=1,求C與l的交點坐標；(2)若C上的點到l的距離的最大值為*17，求a.23.［選修4—5:不等式選講］(10分)已知函數f(x)=-x^ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)當a=1時，求不等式f(x)2g(x)的解集；(2)若不等式f(x)2g(x)的解集包含［-1,1］，求a的取值范圍.7137132017年普通高等學校招生全國統一考試理科數學參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.A2．B3．B4．C5．D6．C7．B8．D9．D10．A11．D12．A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.2j314.-515.16.J15cm3三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共60分。a2（12分）AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為—-3sinA（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1,a=3，求△ABC的周長.解：（1）TOC\o"1-5"\h\z1a2由題意可得S=bcsmA=丁aabc23smA化簡可得2a2二3bcsin2A,根據正弦定理化簡可得：2sin2A二3sinBsinCsin2AnsinBsinC二3。2)sinBsinC=—123ncosA=-cos(A+B)=sinBsinC-cosBcosC=—nA=,123cosBcosC=-671因此可得B=y-C,將之代入sinBsinC=2將之代入sinBsinC=23中可得:sin(—-C]sinC=13丿sinCcosC-2化簡可得tanC=兀..6,B=61212利用正弦定理可得b=sinB=x-=^3,sinAV32利用正弦定理可得b=sinB=x-=^3,sinAV321-同理可得c=\疔,故而三角形的周長為3+2J3。(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABZBAP=ZCDP=90°(1)證明：平面PAB丄平面PAD；(2)若PA二PD二AB二DC,ZAPD=90，求二面角A-PB-C的余弦值.(1)證明：???AB//CD,CD丄PD:.AB丄PD,又AB丄PA,PAnPD=P,PA、PD都在平面PAD內,故而可得AB丄PAD。又AB在平面PAB內，故而平面PAB丄平面PAD。2)解：不妨設PA=PD=AB=CD=2a，故而可得各點坐標：P因此可得PA=以AD中點0為原點，0A為x軸，0P為z軸建立平面直角坐標系。,BC/2a,2a,0)CJ近a,2a,0),假設平面PAB的法向量ni=G，y,1)，平面PBC的法向量n2=(%n,1)，n-PA=42ax-近a=0nx=1一/）丄一ll，即n=U，0,l丿,n-PB=J2ax-2ay—J2a=0ny=01Jin-PC=-近am+2an-近a=0nm=02_—‘，即nTOC\o"1-5"\h\zn-PB=42am+2an-近a=0nn=——I22因此法向量的夾角余弦值：cos<n,n>=—1=￡33很明顯，這是一個鈍角，故而可得余弦為斗19．（12分）1515為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)?根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布N(RQ2)?(1)假設生產狀態正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(卩-36卩+3d)之外的零件數,求P(X>1)及X的數學期望;(2)—天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在(卩-3d,卩+3d)之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查.(i)試說明上述監控生產過程方法的合理性;(ii)下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸:(ii)下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸:其中x為抽取i用樣本平均數X作為a的估計值用樣本標準差s作為d的估計值&，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查剔除(卩-3d，a+3d)之外的數據，用剩下的數據估計卩和d(精確到).附：若隨機變量z服從正態分布n(a,d2)，則p(a-3d<z<a+3d)二°.9974，0.997416二0.9592，<0.008沁0.09.解：(1)P(X>1)=1-P(X二0)=1-0.997416二1-0.9592二0.0408由題意可得，x滿足二項分布X~B(16,0.0016),因此可得EX(16,0.0016)=16x0.0016二0.02562)0由(1)可得P(X>1)=0.0408<5%，屬于小概率事件,故而如果出現(a-3d,a+3d)的零件，需要進行檢查。⑥由題意可得a二9.97,d二0.212na-3d=9.334,a+3d=10.606,故而在(9.334,10.606)范圍外存在這一個數據，因此需要進行檢查。此時：a二X二9.97%￡—9.22二10.02,i=1(12分)22)中恰有x2y2)中恰有已知橢圓Ca2+厲=i(毗＞°)，四點p「i，i)，P2(0，1)，P3(-b三點在橢圓C上.求C的方程；設直線l不經過P點且與C相交于A,B兩點。若直線PA與直線PB的斜率的和為-1,證明：l過定222點.解：(1)根據橢圓對稱性可得，P1(1,1)P根據橢圓對稱性可得，P142P3r亭),P41,P3r亭),P41,亭)一定同時在橢圓上,因此可得橢圓經過P2(0,1),p(-1,￡),p32413代入橢圓方程可得：b=1,a2+4=1na=2‘x2故而可得橢圓的標準方程為：-+y2=⑵由題意可得直線P2A與直線PB的斜率一定存在,不妨設直線PA為:2y=kx+1y=kx+1,PB為：y=(1不妨設直線PA為:2y=kx+1n(4k2+1)x2+8kx=0,假設A假設A(x,y),B(x,y)此時可得:22,B(8,B(8(1+k)1-4(1+k)2)4(1+k)2+f4(1+k)2+1J1-4(1+k)21-4k2此時可求得直線的斜率為：7y―yk=2+此時可求得直線的斜率為：7y―yk=2+ABx-x214(1+k)2+14k2+18(1+k)'-8k4(1+k)2+14k2+1化簡可得kAB=1(1+2k)2,此時滿足k①當k=-2時，AB兩點重合，不合題意。?當k豐?當k豐—g時，直線方程為:1(1+2k)28k)

+

4k2+1丿因此直線恒過定點(2,-1)。(4k2+4k—1+因此直線恒過定點(2,-1)。即y一(1+2k)，當X二2時，""(12分)已知函數(x)=ae2+(a-2)ex-x.(1)討論f(x)的單調性；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.解：1)對函數進行求導可得f1)對函數進行求導可得f'(x)—2ae2x+(a—2)ex—1—(aex—1)(ex+1)ex'(x)=(aex一l)Cx+1)<0恒成立，故而函數恒遞減'(x)—(aex—1)(ex+1)>0nx>ln一，故而可得函數在|—g,ln二|上單調遞a減，在ln二,+8上單調遞增。<a丿2)/1\函數有兩個零點，故而可得a>0，此時函數有極小值fln—2)<a丿要使得函數有兩個零點，亦即極小值小于0，11故而可得lna—一+1<0(a>0)，令g(a)—lna——+1,aa對函數進行求導即可得到g'(a)—纟學>0，故而函數恒遞增,a21又g(1)—0，g(a)—lna-—+1n0<a<1,a因此可得函數有兩個零點的范圍為ag(0,1)。(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4—4:坐標系與參數方程](10分)\x—3cos0,在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為｛.a(9為參數)，直線l的參數方程為[y—sm0,[x=a+4(t為參數).卜=1—t,若a=1