BS版九年級上3正方形的性質與判定第一章特殊平行四邊形第3課時正方形的性質與判定的綜合應用BS版九年級上3正方形的性質與判定第一章特殊平行四4提示：點擊進入習題1234提示：點擊進入習題1231．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E，F分別在OD，OC上，且DE＝CF，連接DF，AE，并延長AE交DF于點M.求證：AM⊥DF.1．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E證明：∵AC，BD是正方形ABCD的兩條對角線，∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC＝OB.∴∠AOE＝∠DOF＝90°.∵DE＝CF，∴OE＝OF.∴△AOE≌△DOF.∴∠OAE＝∠ODF.∵∠DOF＝90°，∴∠DFO＋∠FDO＝90°.∴∠DFO＋∠FAE＝90°.∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.證明：∵AC，BD是正方形ABCD的兩條對角線，2．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB，DC(或它們的延長線)于點M，N.(1)如圖①，當∠MAN繞點A旋轉到BM＝DN時，易證：BM＋DN＝MN.當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時，如圖②，請問圖①中的結論是否還成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由．2．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時解：仍有BM＋DN＝MN成立．證明如下：過點A作AE⊥AN，交CB的延長線于點E，則∠EAM＝∠NAM＝45°.易證△ABE≌△ADN，∴DN＝BE，AE＝AN.又∵AM＝AM，∴△EAM≌△NAM.∴ME＝MN.∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴BM＋DN＝MN.解：仍有BM＋DN＝MN成立．證明如下：過點A作AE⊥AN

(2)當∠MAN繞點A旋轉到如圖③所示的位置時，線段BM，DN和MN之間有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并說明理由．

DN－BM＝MN.理由如下：如圖，在DN上截取DE＝BM，連接AE.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD.(2)當∠MAN繞點A旋轉到如圖③所示的位置時，線段BM，又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE.∴AM＝AE，∠BAM＝∠DAE.∵∠DAB＝90°，∴∠MAE＝90°.∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝45°＝∠MAN.又∵AM＝AE，AN＝AN，∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN.∴DN＝DE＋EN＝BM＋MN.∴DN－BM＝MN.又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE.3．如圖，正方形ABCD中，動點E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF＝AE，連接BE.(1)求證：BF＝DE.3．如圖，正方形ABCD中，動點E在AC上，AF⊥AC，垂足特殊平行四邊形《正方形的性質與判定的綜合應用》課件(北師版九上)

(2)當點E運動到AC的中點時(其他條件都保持不變)，問四邊形AFBE是正方形嗎？請說明理由．(2)當點E運動到AC的中點時(其他條件都保持不變)，問四∴∠FAE＝∠BEC，∴BE∥AF.∵BE＝AF，∴四邊形AFBE為平行四邊形．∵∠FAE＝90°，AF＝AE，∴平行四邊形AFBE是正方形．∴∠FAE＝∠BEC，∴BE∥AF.4．如圖，P，Q，R，S四個小球分別從正方形的四個頂點A，B，C，D同時出發，以同樣的速度分別沿AB，BC，CD，DA的方向滾動，其終點分別是B，C，D，A.(1)求證：在任何時刻，連接四個小球所得的四邊形PQRS總是正方形．4．如圖，P，Q，R，S四個小球分別從正方形的四個頂點A，B證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.又∵在任何時刻，AP＝BQ＝CR＝DS，∴PB＝QC＝RD＝SA.∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.∴PS＝QP＝RQ＝SR，∠ASP＝∠BPQ.∴在任何時刻，四邊形PQRS是菱形．又∵∠APS＋∠ASP＝90°，∴∠APS＋∠BPQ＝90°.∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴在任何時刻，四邊形PQRS總是正方形．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝

(2)四邊形PQRS在什么時候面積最大？(3)四邊形PQRS在什么時候面積為正方形ABCD面積的一半？解：當P，Q，R，S四個小球剛出發時或到達終點時面積最大，此時的面積等于正方形ABCD的面積．當P，Q，R，S四個小球滾動到正方形ABCD四邊中點時，四邊形PGRS的面積為正方形ABCD面積的一半。(2)四邊形PQRS在什么時候面積最大？解：當P，Q，R，BS版九年級上3正方形的性質與判定第一章特殊平行四邊形第3課時正方形的性質與判定的綜合應用BS版九年級上3正方形的性質與判定第一章特殊平行四4提示：點擊進入習題1234提示：點擊進入習題1231．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E，F分別在OD，OC上，且DE＝CF，連接DF，AE，并延長AE交DF于點M.求證：AM⊥DF.1．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E證明：∵AC，BD是正方形ABCD的兩條對角線，∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC＝OB.∴∠AOE＝∠DOF＝90°.∵DE＝CF，∴OE＝OF.∴△AOE≌△DOF.∴∠OAE＝∠ODF.∵∠DOF＝90°，∴∠DFO＋∠FDO＝90°.∴∠DFO＋∠FAE＝90°.∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.證明：∵AC，BD是正方形ABCD的兩條對角線，2．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB，DC(或它們的延長線)于點M，N.(1)如圖①，當∠MAN繞點A旋轉到BM＝DN時，易證：BM＋DN＝MN.當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時，如圖②，請問圖①中的結論是否還成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由．2．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時解：仍有BM＋DN＝MN成立．證明如下：過點A作AE⊥AN，交CB的延長線于點E，則∠EAM＝∠NAM＝45°.易證△ABE≌△ADN，∴DN＝BE，AE＝AN.又∵AM＝AM，∴△EAM≌△NAM.∴ME＝MN.∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴BM＋DN＝MN.解：仍有BM＋DN＝MN成立．證明如下：過點A作AE⊥AN

(2)當∠MAN繞點A旋轉到如圖③所示的位置時，線段BM，DN和MN之間有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并說明理由．

DN－BM＝MN.理由如下：如圖，在DN上截取DE＝BM，連接AE.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD.(2)當∠MAN繞點A旋轉到如圖③所示的位置時，線段BM，又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE.∴AM＝AE，∠BAM＝∠DAE.∵∠DAB＝90°，∴∠MAE＝90°.∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝45°＝∠MAN.又∵AM＝AE，AN＝AN，∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN.∴DN＝DE＋EN＝BM＋MN.∴DN－BM＝MN.又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE.3．如圖，正方形ABCD中，動點E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF＝AE，連接BE.(1)求證：BF＝DE.3．如圖，正方形ABCD中，動點E在AC上，AF⊥AC，垂足特殊平行四邊形《正方形的性質與判定的綜合應用》課件(北師版九上)

(2)當點E運動到AC的中點時(其他條件都保持不變)，問四邊形AFBE是正方形嗎？請說明理由．(2)當點E運動到AC的中點時(其他條件都保持不變)，問四∴∠FAE＝∠BEC，∴BE∥AF.∵BE＝AF，∴四邊形AFBE為平行四邊形．∵∠FAE＝90°，AF＝AE，∴平行四邊形AFBE是正方形．∴∠FAE＝∠BEC，∴BE∥AF.4．如圖，P，Q，R，S四個小球分別從正方形的四個頂點A，B，C，D同時出發，以同樣的速度分別沿AB，BC，CD，DA的方向滾動，其終點分別是B，C，D，A.(1)求證：在任何時刻，連接四個小球所得的四邊形PQRS總是正方形．4．如圖，P，Q，R，S四個小球分別從正方形的四個頂點A，B證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.又∵在任何時刻，AP＝BQ＝CR＝DS，∴PB＝QC＝RD＝SA.∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.∴PS＝QP＝RQ＝SR，∠ASP＝∠BPQ.∴在任何時刻，四邊形PQRS是菱形．又∵∠APS＋∠ASP＝90°，∴∠APS＋∠BPQ＝90°.∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴在任何時刻，四邊形PQR