二、收斂數列的性質一、數列極限的定義§2.數列的極限“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”（1）割圓術：播放——劉徽1、概念的引入一、數列極限的定義44頁正6=3×2

邊形的面積正形的面積即,得一列有次序的面積數:(數列)進而,需要討論其變化趨勢(極限)正邊形的面積（3）曲邊三角形的面積我們利用階梯形的面積來逼近曲邊三角形的面積(見下頁演示).觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊三角形面積的關系．播放53頁即,得一列有次序的面積數:進而,需要討論其變化趨勢從以上問題中,抽象出數列、數列的極限的定義.(數列)(極限)稱為無窮數列,簡稱數列.從小到大排列的一列數定義:如果按照某一對應法則，對每個,對應一個確定的實數

這些實數按照下標對于數列,我們要研究的是:?即極限的問題.2、數列的定義nO123n注：數列是整標函數，其圖形為xoy平面上點的集合.3、數列的極限播放3、數列的極限如果數列沒有極限,就說數列是發散的.注意：幾何解釋:當

x

=n,則相應的點都落在綠色區域內nf(n)0aN123N+1N+2數列極限幾何解釋對一切n>N自然數

Na的鄰域當

x

=n,則nf(n)0aN123N+1N+2數列極限幾何解釋.相應的點都落在綠色區域內對一切n>N自然數

Na的鄰域當

x

=n,則nf(n)0aN123N+1N+2.相應的點都落在綠色區域內對一切n>N自然數

NA的鄰域數列極限幾何解釋當

x

=n,則nf(n)0a123NNNNNN+1N+2因此，數列的極限定義也稱數列極限的

—N定義.相應的點都落在綠色區域內對一切n>N自然數

Na的鄰域數列極限幾何解釋例2證所以,由于例3證要使思考：N的取法是否唯一？不等式放大(適當放大)過程中是否還可以作其他形式的放大？所以,例6證明證明當a=1時為常數列，結論顯然成立.若則則當時,由伯努利不等式綜上所述，即知結論成立.1、唯一性定理1收斂的數列有唯一的極限.證由定義,故收斂數列極限唯一.二、收斂數列的性質方法2(由反證法)：例7證由定義,區間長度為1.不可能同時位于長度為1的區間內.由定理1,其極限唯一.2、有界性例如,有界無界定義定理2收斂的數列必定有界.證由定義,注意：有界是數列收斂的必要條件,但非充分條件,即推論無界數列發散.收斂有界3、保號性定理3證證反證法,推論4、子數列的收斂性注意：例如，在子數列中，一般項是第k項而在原數列中是第nk項顯然，nk≥k定理4收斂數列的任一子數列也收斂,且極限相同．證證畢．注:子列分別稱為的偶子列和奇子列，并有：例7則*定理5(致密性定理)任何有界數列必有收斂的子列*定理6

對于無界數列而言,則中必有一個子列小結數列:研究其變化規律;數列極限:極限思想、精確定義、幾何意義;收斂數列的性質:有界性、唯一性、保號性、子數列的收斂性.作業(P30)1;3(3)(4);6.思考題1.如何判斷極限不存在?方法1.

找一個趨于∞的子數列;方法2.

找兩個收斂于不同極限的子數列.思考題證明要使只要使從而由取當時，必有成立2.指出下列證明中的錯誤．思考題解答~（等價）證明中所采用的實際上就是不等式即證明中沒有采用“適當放大”的值從而時，僅有成立，但不是的充分條件．反而縮小為（1）割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽1、概念的引入（1）割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽1、概念的引入“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”（1）割圓術：——劉徽1、概念的引入“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”（1）割圓術：——劉徽1、概念的引入“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”（1）割圓術：——劉徽1、概念的引入“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”（1）割圓術：——劉徽1、概念的引入“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”（1）割圓術：——劉徽1、概念的引入“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”（1）割圓術：——劉徽1、概念的引入“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”（1）割圓術：——劉徽1、概念的引入2頁矩形面積和與曲邊三角形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊三角形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊三角形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊三角形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊三角形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊三角形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊三角形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊三角形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊三角形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊三角形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊三角形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊三角形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊三角形面積的關系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊三